高中數(shù)學方法講解之反證法

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1、反證法從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明的證明方法叫反證法。它是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”

2、。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結論與“否定的結論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定→推理→否定”。即從否定結論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”第10頁共10頁。應用反證法證明的主要三步是：否定結論→推導出矛盾→結

3、論成立。實施的具體步驟是：第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。在應用反證法證題時，一定要用到“反設”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數(shù)學解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧?。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結論以“否定

4、形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。例1.[05.北京]設是定義在上的函數(shù)，若存在使得在上單調遞增，在上單調遞減，則稱為上的單峰函數(shù)，為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間。對任意的上單峰函數(shù)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法。求證：對任意的若，則第10頁共10頁為含峰區(qū)間；若則為含峰區(qū)間；【巧證】：設為的峰點，則由單峰函數(shù)定義可知在上單調遞增，在上單調遞減。當時，假設，則從而這與矛盾，所以，即是含峰區(qū)間。當時，假設，則，從而這與矛盾，所以

5、，即是含峰區(qū)間。例2.求證：函數(shù)f(x)=sinx的最小正周期是2π．【巧證】：由誘導公式知，對任意x∈R，有sin(x＋2π)=sinx，即2π是函數(shù)sinx的一個周期．下面再用反證法證明2π是sinx的最小正周期，假設還有一個正數(shù)T也是sinx的周期，且0＜T＜2π，則對任意x∈R都有sin(x＋T)=sinx．特別地，對x=0，有sinT=sin0=0，而在(0，2π)中，只有T=π才使sinT=0，但π不是sinx的周期，故sinx的最小正周期是2π．注：若直接證明比較困難，因適合0＜T＜2π第10頁共10頁的正數(shù)有無窮多個，我們無法直接驗證．當“反設”中斷言某些性質對于變量的一

6、切值都成立時，顯然對變量的一些特殊值也成立，故常賦予特殊值，便可得到一些等式或不等式，從而推得矛盾，反證原命題．1＋x≥2y，且1＋y≥2x．兩式相加，得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，即2≥x＋y，這與已知矛盾，故注：“集合M中至少有一個元素m不具有性質a”的否定是“集合M中所有元素都具有性質a”．反之亦對．因為“集合M中至少有一個元素不具有性質a”，它包含了“M中有一個元素不具有性質a、兩個元素不具有性質a……所有元素都不具有性質a”等各種情形．因此它的否定是“M中所有元素都具有性質a”．如“三角形中至少有一個內(nèi)角大于或等于60°”的否定是“三角形中所有內(nèi)角都小于60°”．注意“都不是

7、”的否定不是“都是”，而是“不都是”，也即“至少有一個是”．如“a、b都不是零”的否定是“a，b中至少有一個是零”．第10頁共10頁∴C＜B＜A≤60°．∴A＋B＋C＜180°，這不可能．例5.[88.全國理]給定實數(shù)a，a≠0且a≠1，設函數(shù)y＝(其中x∈R且x≠)，證明：①.經(jīng)過這個函數(shù)圖像上任意兩個不同點的直線不平行于x軸；②.這個函數(shù)的圖像關于直線y＝x成軸對稱圖像。?！痉治觥俊安黄叫小钡姆穸ㄊ恰捌叫小?，假設“平行”后得出矛