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《2.1 極限的定義與性質(zhì)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
第二章三、極限的性質(zhì)二、函數(shù)的極限第一節(jié)極限的定義與性質(zhì)一、數(shù)列的極限四、無窮小與無窮大
一、數(shù)列的極限1、數(shù)列★無窮多個(gè)實(shí)數(shù)按一定次序排成一列稱為無窮數(shù)列（簡稱數(shù)列），記成其中稱為數(shù)列的第n項(xiàng)或通項(xiàng)。
★數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取點(diǎn):★數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列的幾何意義.
n=19n=32n=42n=50
問題:1)當(dāng)n無限增大時(shí),數(shù)列xn是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何用數(shù)學(xué)語言描述?2)“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.
隨著n的增加，1/n會(huì)越來越小。我們可用兩個(gè)數(shù)之間的‘距離’來刻化兩個(gè)數(shù)的接近程度
只要n無限增大，xn就會(huì)與1無限靠近。引入符號(hào)N和?來刻化無限增大和無限接近。
定義2.2給定數(shù)列如果存在常數(shù)a，使得（無論它多么?。?，使得當(dāng)時(shí)，絕對(duì)值不等式恒成立，則稱數(shù)列以a為極限，記為或者若數(shù)列存在極限，則稱此數(shù)列收斂，否則稱此數(shù)列發(fā)散或不收斂。
例如,趨勢(shì)不定收斂發(fā)散
機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束用數(shù)學(xué)語言給出極限的定義：
幾何解釋:由此可知，改變數(shù)列的有限項(xiàng)不會(huì)影響其斂散性.
例1證所以,
注:用定義證明數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是從主要不等式出發(fā),由??>0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).有時(shí)找N比較困難，可把不等式適當(dāng)變形、放大。
例2(常用結(jié)論)證思考：
二、函數(shù)的極限定義2.3.設(shè)函數(shù)若存在1、自變量趨向∞時(shí)函數(shù)的極限
（2）幾何解釋:直線y=A為曲線的水平漸近線說明：定義為函數(shù)極限的定義。(1)
類似地可以定義下面兩種情況:當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有從上述定義容易得到：的充要條件是
一般地，若則直線為函數(shù)的圖形的水平漸近線.或或例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，
例5.證明證:取因此注:就有為使只需
2、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限1).時(shí)函數(shù)極限的定義定義2.4設(shè)函數(shù)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)有定義，或即當(dāng)時(shí),有若存在常數(shù)A,
(3)幾何解釋:極限存在函數(shù)局部有界這表明:說明：本定義稱為函數(shù)的定義，的接近程度，刻畫與的接近程度.(1)(2)當(dāng)?shù)臉O限與在點(diǎn)是否有定義無關(guān).
例6.證明證:故對(duì)任意的當(dāng)時(shí),因此總有
例7.證明證:欲使取則當(dāng)時(shí),必有因此只要
例8.證明證:故取當(dāng)時(shí),必有因此
2）.左極限與右極限左極限:當(dāng)時(shí),有右極限:當(dāng)時(shí),有左極限與右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.
由定義可知單側(cè)極限與極限有下述關(guān)系：說明：當(dāng)兩個(gè)單側(cè)極限有一個(gè)不存在，或者雖然兩個(gè)單側(cè)極限都存在但不相等時(shí)，極限不存在.
例9.設(shè)函數(shù)討論時(shí)的極限是否存在.解:因?yàn)轱@然所以不存在.
三、極限的性質(zhì)性質(zhì)1.(唯一性）若存在，那么極限唯一.(有界性)若那么存在常數(shù)和使得當(dāng)有性質(zhì)2.以下性質(zhì)對(duì)所有極限過程均成立，統(tǒng)一以表示.
性質(zhì)3.（保號(hào)性）且A>0則存在(A<0)，若
性質(zhì)4.（保號(hào)性）則思考:若將條件改為是否必有不能!如
性質(zhì)5.（極限存在準(zhǔn)則（I）——兩邊夾準(zhǔn)則）且常用結(jié)論：反之不對(duì)，但當(dāng)
證?解?
圓扇形AOB的面積證:當(dāng)即亦即時(shí)，顯然有△AOB的面積＜＜△AOD的面積故有重要極限
定義.若則稱函數(shù)四、無窮小與無窮大1、無窮小當(dāng)例如:函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮小;函數(shù)時(shí)為無窮小;函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮小.
說明:(1)除0以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小!因?yàn)轱@然C只能是0!CC(2)一個(gè)變量是否為無窮小，與極限過程有關(guān).
定理2.2.(無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)證:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
2、無窮大定義.若任給M>0,若在定義中將①式改為①記作記作（負(fù)無窮大）
當(dāng)例如:函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大;函數(shù)時(shí)為負(fù)無窮大;函數(shù)當(dāng)時(shí)為正無窮大.
說明:1.無窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.一個(gè)變量是否為無窮大，與極限過程有關(guān).
若則直線為曲線的鉛直漸近線.漸近線一般地，
3、無窮小與無窮大的關(guān)系(1)若為無窮大,為無窮小;(2)若為無窮小,且則為無窮大.則據(jù)此定理,關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.定理2.3.在自變量的同一變化過程中,說明:
定義2.5.4、無窮小的比較
例如,當(dāng)～時(shí)～～對(duì)無窮大可以類似比較.
作業(yè)P503；5（4）；6；8
