微積分極限法問題詳析

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1、微積分極限法問題詳析沈衛(wèi)國(guó)（西北工業(yè)大學(xué)前邏輯與人工智能研究所，西安710072）摘要：為了解決牛頓、萊布尼茲求導(dǎo)法所產(chǎn)生的貝克萊悖論問題，微積分極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）被提出。但后者成立的前提是這個(gè)極限必須存在。筆者經(jīng)分析得到結(jié)論，增量比值函數(shù)在0點(diǎn)的極限與函數(shù)值一樣，也不存在。于是極限法并沒有也不可能解決根本問題。此問題的解決，必須要有新的思想。關(guān)鍵詞：微積分；極限；增量比值函數(shù)；貝克萊悖論；導(dǎo)數(shù)微積分極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）的提出是為了解決（而且通常也被“主流”看法認(rèn)為已經(jīng)解決）牛頓、萊布尼茲求導(dǎo)法產(chǎn)生的貝克萊悖論的。在極

2、限存在的前提下，單純從邏輯上講，這沒有問題。但它顯然沒有回答既然這個(gè)增量比值函數(shù)在0點(diǎn)的極限值永不可達(dá)、只能無(wú)限接近，那么，我們是如何得到或“達(dá)到”這個(gè)永不可達(dá)的極限值的？此外，作為一個(gè)永遠(yuǎn)不能被實(shí)際“達(dá)到”、“取值”的極限值（只可以無(wú)限逼近），為什么它又可以作為一個(gè)“實(shí)體”參與各種實(shí)際計(jì)算的？就好像它已經(jīng)被實(shí)際“達(dá)到”了一樣。更何況極限法的全部合理性，徹底依賴于這個(gè)極限在0點(diǎn)的存在性。過(guò)去包括筆者在內(nèi)的所有文獻(xiàn)，均未見對(duì)此提出異議。但在此文中，筆者經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，增量的比值函數(shù)在0點(diǎn)的極限根本就不存在，于是極限法賴以成

3、立的依據(jù)就不存在了。以往那種本來(lái)就很牽強(qiáng)的以極限值（盡管還是永不可達(dá)的）取代增量比值函數(shù)在0點(diǎn)本無(wú)定義的函數(shù)值（為0/0）的做法也隨之徹底不能成立了。筆者在【文獻(xiàn)26】圍繞該文中的公式11也就是下面的公式1，已經(jīng)對(duì)此進(jìn)行了討論，實(shí)際上幾乎已經(jīng)得到正確的結(jié)論了，但可惜尚未明確。下面詳細(xì)分析這個(gè)問題。上面公式1就是極限法求導(dǎo)數(shù)的最經(jīng)典的式子。由此式右數(shù)第二個(gè)等號(hào)兩邊可知，當(dāng)△x趨于0時(shí)，其自身也就是△x本身明確等于0。由此上式中左數(shù)第一個(gè)等號(hào)的右邊項(xiàng)，只能等于0/0。因?yàn)橥?，?dāng)△x趨于0時(shí)，此項(xiàng)無(wú)論分子還是分母中的△x

4、均為0，也就是當(dāng)△x趨于0時(shí)，整個(gè)比式的極限為0/0，也就是沒有極限?；蛟摫仁皆凇鱴等于0時(shí)根本就不存在有意義的極限值。而此項(xiàng)是導(dǎo)數(shù)的直接定義式，其“優(yōu)先級(jí)”顯然高于上式中左數(shù)第二個(gè)等號(hào)右邊那項(xiàng)，也就是后者必須無(wú)條件地“服從”其本源式本身所具有的、或由此為其所限定的前提條件（二者顯然必須一致，等式才能嚴(yán)格成立。而此處在求極限前已經(jīng)事先進(jìn)行了消去分母中的△x操作，而這個(gè)額外的操作顯然有意無(wú)意間等于人為取消了原導(dǎo)數(shù)定義式在△x趨于0時(shí)根本就沒有極限值的基本事實(shí)，因此就求極限而言，只能認(rèn)為是無(wú)效的）。而事實(shí)上嚴(yán)格地說(shuō)，式1

5、左數(shù)第二個(gè)等號(hào)根本就不成立，因?yàn)槠涞忍?hào)兩邊并不嚴(yán)格相等，只是有條件地相等。而一個(gè)必須附加限制條件才能成立的等式，卻不去或沒有注明這個(gè)條件，該等式嚴(yán)格說(shuō)是不能成立的，是錯(cuò)的。在這個(gè)具體問題上，就是：因?yàn)榉帜干系摹鱴被人為地拿掉了，于是原本不允許為0的△x，可以為0了。如此差別，怎么可以劃等號(hào)？這在數(shù)學(xué)上不是什么有失嚴(yán)格的問題，干脆說(shuō)就是錯(cuò)的。除非不但要附加上限制條件：△x≠0，而且還要特別要強(qiáng)調(diào)：必須還要充分地“尊重”其“本源”式即公式1中左數(shù)第一個(gè)等號(hào)的右邊項(xiàng)沒有極限(或極限為0/0）這一點(diǎn)，加上在△x=0時(shí)沒有極限

6、這個(gè)限制條件（新發(fā)現(xiàn)的），等式才可成立。而如此一來(lái)，公式1右數(shù)第二個(gè)等號(hào)左邊的△x趨于0時(shí)右邊的△x等于0還能成立嗎？因?yàn)榇隧?xiàng)早有限制條件△x不能為0在先了（在公式1左數(shù)第二個(gè)等號(hào)嚴(yán)格成立的前提下）。因此，也得不到最后的極限值2x。它只能是個(gè)“偽極限”。于是，皮之不存毛將焉附？極限都沒有了，還有什么極限法？還有什么建立其上的“標(biāo)準(zhǔn)分析”？如果硬要說(shuō)最后得到的2x是個(gè)極限值，那也是另一個(gè)函數(shù)（盡管與原增量比值函數(shù)在非0點(diǎn)完全一樣）的極限，而絕不是原增量比值函數(shù)的極限（式1左數(shù)第一個(gè)等號(hào)的右項(xiàng)）。于是傳統(tǒng)的所謂極限法（標(biāo)

7、準(zhǔn)分析）的本質(zhì)，不過(guò)是把一個(gè)本不是原增量比值函數(shù)的“極限值”（對(duì)這個(gè)“增量比值函數(shù)”而言，可以說(shuō)是個(gè)“偽極限”）去充當(dāng)根本就沒有極限值（△x趨于0時(shí)）的原增量比值函數(shù)的所謂極限值。這當(dāng)然不應(yīng)被允許?？傊?，極限原式也就是公式1左數(shù)第一個(gè)等號(hào)的右邊項(xiàng)，顯然具有兩個(gè)“特性”：比值特性和分子、分母共同趨0（盡管0點(diǎn)無(wú)值）特性。但公式1左數(shù)第二個(gè)等號(hào)的右邊項(xiàng)卻只剩下比值特性了（0點(diǎn)有值），“分子、分母共同趨0特性”被有意無(wú)意地“丟失”或“隱匿”了。顯然，由公式1左數(shù)第二個(gè)等號(hào)相連接的這兩個(gè)式子并不等價(jià)，相較于左邊而言，右邊丟失

8、了關(guān)鍵信息，所以等號(hào)右邊不能取代左邊，等號(hào)嚴(yán)格講必須換成不等號(hào)。而作為導(dǎo)數(shù)的定義式，顯然左邊的比值式（分母有△x）才是所有討論必須依賴的出發(fā)點(diǎn)。此處，我們可以再梳理一下傳統(tǒng)微積分極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）在求導(dǎo)問題上的具體做法，以看清其運(yùn)作的本質(zhì)：1、承認(rèn)牛頓、萊布尼茨法會(huì)產(chǎn)生貝克萊悖論；2、為了解決這個(gè)悖論，傳統(tǒng)極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）首先“悄悄地”或無(wú)意