求極限的幾種方法

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1、求函數(shù)極限的方法和技巧摘要:本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作了一個(gè)比較全面的概括、綜合。關(guān)鍵詞：函數(shù)極限引言在數(shù)學(xué)分析與微積分學(xué)中,極限的概念占有主要的地位并以各種形式出現(xiàn)而貫穿全部內(nèi)容,因此掌握好極限的求解方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和微積分的關(guān)鍵一環(huán)。本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作一個(gè)比較全面的概括、綜合,力圖在方法的正確靈活運(yùn)用方面,對讀者有所助益。主要內(nèi)容一、求函數(shù)極限的方法1、運(yùn)用極限的定義例:用極限定義證明:證:由19取則當(dāng)時(shí),就有由函數(shù)極限定義有:2、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)若(I)(II)(III)若B≠0

2、則：（IV）（c為常數(shù)）上述性質(zhì)對于19例：求解:=3、約去零因式（此法適用于例:求解:原式=====4、通分法（適用于型）例:求解:原式==19=5、利用無窮小量性質(zhì)法（特別是利用無窮小量與有界量之乘積仍為無窮小量的性質(zhì)）設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足：（I）(II)(M為正整數(shù))則：例:求解:由而故原式=6、利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系。（I）若：則(II)若:且f(x)≠0則例:求下列極限①②解:由故19由故=7、等價(jià)無窮小代換法設(shè)都是同一極限過程中的無窮小量，且有：，存在，則也存在，且有=例:求極限解:=注：在

3、利用等價(jià)無窮小做代換時(shí)，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時(shí)可以互換，若以和、差出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換，因?yàn)榇藭r(shí)經(jīng)過代換后，往往改變了它的無窮小量之比的“階數(shù)”8、利用兩個(gè)重要的極限。19但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：例：求下列函數(shù)極限199、利用函數(shù)的連續(xù)性（適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限）。例：求下列函數(shù)的極限（2）10、變量替換法（適用于分子、分母的根指數(shù)不相同的極限類型）特別地有：m、n、k、l為正整數(shù)。例：求下列函數(shù)極限19①、n②解:①令t=則當(dāng)時(shí),于是原式=②由于=令：則===11、利用函數(shù)極限的存在性定理定理:設(shè)在的

4、某空心鄰域內(nèi)恒有g(shù)(x)≤f(x)≤h(x)且有:則極限存在,且有例:求(a>1,n>0)解:當(dāng)x≥1時(shí),存在唯一的正整數(shù)k,使k≤x≤k+119于是當(dāng)n>0時(shí)有:及又當(dāng)x時(shí),k有及=012、用左右極限與極限關(guān)系(適用于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的極限，以及用定義求極限等情形)。定理：函數(shù)極限存在且等于A的充分必要條件是左極限及右極限都存在且都等于A。即有：==A例：設(shè)=求及19由13、羅比塔法則（適用于未定式極限）定理：若此定理是對型而言，對于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。注：運(yùn)用羅比塔法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、

5、要注意條件，也就是說，在沒有化為時(shí)不可求導(dǎo)。2、19應(yīng)用羅比塔法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。1、要及時(shí)化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用羅比塔法則，否則會(huì)引起錯(cuò)誤。4、當(dāng)不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時(shí)求極限須用另外方法。例：求下列函數(shù)的極限①②解：①令f(x)=,g(x)=l,由于但從而運(yùn)用羅比塔法則兩次后得到②由故此例屬于19型，由羅比塔法則有：14、利用泰勒公式對于求某些不定式的極限來說，應(yīng)用泰勒公式比使用羅比塔法則

6、更為方便，下列為常用的展開式：1、2、3、4、5、6、上述展開式中的符號都有:例:求解:利用泰勒公式，當(dāng)有19于是===15、利用拉格朗日中值定理定理:若函數(shù)f滿足如下條件：(I)f在閉區(qū)間上連續(xù)(II)f在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得此式變形可為:例:求19解:令對它應(yīng)用中值定理得即:連續(xù)從而有:16、求代數(shù)函數(shù)的極限方法(1)有理式的情況，即若:(I)當(dāng)時(shí)，有(II)當(dāng)時(shí)有:①若則②若而則③若,,則分別考慮若為19的s重根,即:也為的r重根,即:可得結(jié)論如下：例：求下列函數(shù)的極限①②解:①分

7、子，分母的最高次方相同，故=②必含有（x-1）之因子，即有1的重根故有:(2)無理式的情況。雖然無理式情況不同于有理式，但求極限方法完全類同，這里就不再一一詳述.在這里我主要舉例說明有理化的方法求極限。例：求19解:二、多種方法的綜合運(yùn)用上述介紹了求解極限的基本方法，然而，每一道題目并非只有一種方法。因此我們在解題中要注意各種方法的綜合運(yùn)用的技巧，使得計(jì)算大為簡化。例:求[解法一]:=19注:此法采用羅比塔法則配合使用兩個(gè)重要極限法。[解法二]:=注：此解法利用“三角和差化積法”配合使用兩個(gè)重要極限法。[解法三]:注

8、:此解法利用了兩個(gè)重要極限法配合使用無窮小代換法以及羅比塔法則[解法四]:19注:此解法利用了無窮小代換法配合使用兩個(gè)重要極限的方法。[解法五]:注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用無窮小代換法。[解法六]：令注：此解法利用變量代換法配合使用羅比塔法則。[解法七]:19注:此解法利用了羅比塔法則配合使用兩個(gè)重要極限。19