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1、《非平穩(wěn)信號分析與處理》組長：講課安排：第一小組：(1-4節(jié))第二小組：（5-8節(jié)）2時(shí)頻表示與時(shí)頻分布本章主要內(nèi)容：討論非平穩(wěn)信號的時(shí)－頻分析，包括分析的有關(guān)概念短時(shí)傅立葉變換、Wigner分布及Cohen類分布。重點(diǎn)是Wigner的性質(zhì)、Wigner分布的實(shí)現(xiàn)、Wigner分布中交叉項(xiàng)的行為及Cohen分布中核函數(shù)對交叉項(xiàng)的抑制等。14時(shí)頻表示與時(shí)頻分析的提出分析與處理平穩(wěn)信號最常用的數(shù)學(xué)工具是Fourier分析。它建立了信號從時(shí)域到頻域變換的橋梁。它表征了信號從時(shí)域到頻域的一種整體（全局）變換。在許多實(shí)際應(yīng)用中
2、，信號大多是非平穩(wěn)的，其統(tǒng)計(jì)量（如均值、相關(guān)函數(shù)、功率譜等）是時(shí)變的，這時(shí)采用傳統(tǒng)的Fourier變換并不能反映信號頻譜隨時(shí)間變化的情況，需引入新的處理信號的數(shù)學(xué)工具，時(shí)頻表示和時(shí)頻分析是源于考慮信號的局部特性而引入的。時(shí)頻表示：用時(shí)間和頻率的聯(lián)合函數(shù)來表示信號，記作T（t，f）。時(shí)頻分析：能夠描述信號的能量密度分布的時(shí)頻表示稱為時(shí)頻分析，記作P（t，f）。典型的線性時(shí)頻表示有：短時(shí)Fourier變換、小波變化和Gabor變換。2．1基本概念1．傳統(tǒng)的Fourier變換及反變換：S（f）=14s（t）=2．解析信號與
3、基帶信號⑴定義（解析信號）：與實(shí)信號s（t）對應(yīng)的解析信號（analyticsignal）z（t）定義為z（t）=s（t）+jн[s（t）]，其中н[s（t）]是s（t）的Hilbert變換。實(shí)函數(shù)的Hilbert變換的性質(zhì)：若x(t)=н[s(t)]則有s(t)=-н[x（t）]s(t)=-н2[x（t）]⑵實(shí)的調(diào)頻信號a（t）cos對應(yīng)的解析信號為z（t）=a（t）cos+jн[a（t）cos]=A（t）（2.1）⑶任何一個(gè)實(shí)調(diào)幅-調(diào)頻信號a（t）cos的解析信號若滿足一定的條件，就可寫成式(2.1)所示的形式。
4、⑷實(shí)窄帶高頻信號s（t）=a（t）cos[2πf0t+]的解析信號為z（t）=a（t）（2.2）將上式乘以，即經(jīng)過向左頻移f0成為零載頻，其結(jié)果稱為基帶信號zB（t）=a（t）14它是解析信號的復(fù)包絡(luò)，也是解析信號的頻移形式，因此在時(shí)頻分析中和解析信號具有相同的性質(zhì)。⑸高頻窄帶信號的實(shí)信號、解析信號和基帶信號的比較及其轉(zhuǎn)換。3．瞬時(shí)頻率和群延遲⑴瞬時(shí)頻率fi信號s（t）=a（t）cos的瞬時(shí)頻率定義為可以看出它為解析信號的相位的導(dǎo)數(shù)。物理意義：把解析信號z（t）表示為復(fù)平面的一向量，則瞬時(shí)頻率即為向量幅角的轉(zhuǎn)速。⑵群
5、延遲τg（f）頻率信號的群延遲定義為τg（f）=物理意義：設(shè)零相位的信號加有一線性相位，則信號做不失真延遲，其延遲時(shí)間為該線性相位特性的負(fù)斜率。需要指出的是，瞬時(shí)頻率和群延遲可以描述非平穩(wěn)信號的時(shí)頻局域特性，但它們只能用于理想的單分量信號場合。4．不確定性原理對有限能量的零均值復(fù)信號z（t），其有限寬度T=和頻譜Z（f）的有限寬度B=分別稱為該信號的時(shí)寬和帶寬，并定義為：T2==和B==14對信號z（t）沿時(shí)間軸做拉伸zk（t）=z（kt），由時(shí)寬定義可求得拉伸信號是原信號時(shí)寬的k倍，即；類似地，可求出拉伸信號的帶寬
6、是原信號帶寬的,即。由此可見==常數(shù)，這一結(jié)論說明對任何信號恒有TB=常數(shù)的可能性。命題：（不確定性原理）對于有限能量的任意信號，其時(shí)寬和帶寬的乘積總滿足不等式：時(shí)寬-帶寬乘積=TB=≥或TB=≥不確定性原理也稱測不準(zhǔn)原理或Heisenberg不等式，式中的Δt和Δf分別稱為時(shí)間分辨率和頻率分辨率，表示兩時(shí)間點(diǎn)和兩頻率點(diǎn)之間的區(qū)分能力。重要意義：既有任意小的時(shí)寬，又有任意小的帶寬的窗函數(shù)是根本不存在的。2．2短時(shí)Fourier變換線性時(shí)頻表示：滿足疊加原理或線性原理，如：z（t）=c1z1（t）+c2z2（t）→Tz
7、（t，f）=c1Tz1（t，f）+c2Tz2（t，f）1．連續(xù)短時(shí)Fourier變換⑴定義：給定一個(gè)時(shí)間寬度很短的窗函數(shù)γ（t），令窗滑動，則信號z（t）的短時(shí)Fourier變換定義為STFTz（t，f）=（2.3）14可以看出，由于窗函數(shù)γ（t）的移位使短時(shí)Fourier變換具有選擇局域的特性，它既是時(shí)間的函數(shù)，又是頻率的函數(shù)，對于一定的時(shí)刻t，STFTz（t，f）可視為該時(shí)刻的“局部頻譜”。⑵信號完全重構(gòu)的條件：重構(gòu)就是由STFTz（t，f）求出原信號z（t）的過程p（u）=（2.4）===z(u)=z(u)顯然
8、，為了實(shí)現(xiàn)信號的“完全重構(gòu)”，則需窗函數(shù)滿足如下條件：=1（2.5）才能使p(u)=z(u)?？梢钥闯?，滿足式（2.5）的窗函數(shù)很多，如何選擇將取決于所研究信號的局域平穩(wěn)特性。這里有三種最簡單的選擇：①g(t)=γ(t)②g(t)=(t)③g(t)=1當(dāng)取條件①時(shí)，完全重構(gòu)條件成為14=1即所謂能量歸一化，這時(shí)式（2.4）可寫成：z(t)=（2
