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《用向量解決立體幾何問題的探究》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、用向量解決立體幾何問題的探究立體幾何是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，從平面幾何到立體幾何是一道難度較高的臺階，立體幾何成了中學(xué)生進入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的又一道障礙，也是學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生分化的一個分水嶺，學(xué)生們往往對立體幾何的學(xué)習(xí)倍感畏懼。究其原因，不外乎沿襲平面幾何的思維，缺乏空間想象力，造成思維受阻。因此，培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，突破空間思維上的障礙，是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵。用傳統(tǒng)的方法去解決一直是困繞許多同學(xué)的難題，如何去找、作、證、求，讓許多同學(xué)有時覺得無從下手，有一種有力使不出的感覺。那么有什么方法能夠解決這一困繞老師和學(xué)生的難題呢？新
2、教材“向量”這一章節(jié)的設(shè)置，向量在立體幾何的引進及應(yīng)用就解決了傳統(tǒng)方法中所存在的諸多弊端，為我們解決立體幾何的有關(guān)問題提供了強有力的工具。下就這個問題作一些說明，僅供大家參考，不當(dāng)之處盡請批評指正。一、解決有關(guān)平行問題的方法：1：線線平行a=λb2：線面平行a·N（平面的法向量）=03：面面平行N1=λN2（N1、N2分別是兩個平面的法向量）傳統(tǒng)的方法來處理，往往需要找、作、證，但有些學(xué)生找不到，作不出，證不出來，拿到這類問題就發(fā)怵，心理緊張，這是難點之一；定義、定理及有關(guān)公理的使用和說理，往往學(xué)生說不清，說不明甚至張冠李戴或遺
3、忘，造成解題的失分，這是難點之二。學(xué)生由此而喪失了對立體幾何解題的信心和勇氣。向量方法的引入和使用使上述煩瑣的證明及說理簡單化，這就是把立體幾何問題代數(shù)化，公式化，使學(xué)生有了新鮮感，從而激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)立體幾何的興趣和積極性?！芭d趣是最好的老師”，其所帶來的結(jié)果就可想而知。二、解決有關(guān)垂直問題的方法：1：線線垂直a·b=02：線面垂直a·l1=0a·l2=0（其中l(wèi)1、l2為平面內(nèi)兩條相交直線）3：面面垂直N1·N2=0（N1、N2分別是兩個平面的法向量）例題1：ABCDA1B1C1D1xQyz圖（1）P已知正方體ABCD—A1
4、B1C1D1的棱長為2，P，Q分別是BC、CD上的動點，且︱PQ︱=，建立如圖所示的坐標(biāo)系。（Ⅰ）確定P，Q的位置，使得B1Q⊥D1P（Ⅱ）當(dāng)B1Q⊥D1P時，求二面角C1—PQ—A的大小分析：本題主要考查空間直角坐標(biāo)系的概念，空間向量的坐標(biāo)表示以及兩個向量夾角的計算方法，考查運用空間向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法。分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系如圖（2），寫出相關(guān)點的坐標(biāo)。（3）設(shè)出P、Q兩點的坐標(biāo)，由B1Q⊥D1P使用相關(guān)向量垂直的公式，列出關(guān)系式，求出未知量即可確立P、Q兩點的位置。（4）在第一問的基礎(chǔ)上求第二問比較容易些
5、，用向量求二面角的大小，主要注意二面角是鈍角還是銳角。由上面的分析可知，解決問題關(guān)鍵是學(xué)生有“章”可尋，有“法”可依。所學(xué)的知識有了可發(fā)揮的空間，自然也就有了解題信心和興趣，下面的問題也就不言而喻了。三、解決有關(guān)距離問題的方法1：點、線距離a、ld﹦2：點、面距離a、N（平面法向量）d﹦3：異面直線的距離4：平行的線、線，線、面，面、面轉(zhuǎn)化為1、2這兩個方面去解決。立體幾何中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉(zhuǎn)化的思想方法，它貫穿立體幾何教學(xué)的始終，在立體幾何教學(xué)中占有很重要的地位。立體幾何中的轉(zhuǎn)化主要是空間問題向平
6、面問題的轉(zhuǎn)化，平面問題代數(shù)化。這樣就解決了傳統(tǒng)方法方法中說理和證明說不清的問題，同時也解決了運算煩瑣及易出錯的問題。例題2：下例為2003屆數(shù)學(xué)高考題GDA1C1ABCEB1zxy圖（2）如圖，在直角三棱住ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)棱AA1=2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是ABD的重心G（Ⅰ）求A1B與平面ABD所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（Ⅱ）求點A1到平面AED的距離。分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系（如圖（2））標(biāo)出相應(yīng)點的坐標(biāo)；（2）點E在
7、平面ABD上的射影是ABD的重心G，則EG垂直平面ABD，則EG所對應(yīng)的向量即為平面ABD的一個法向量，這樣只要求出向量A1B與向量EG所成的角，即可求出A1B與平面ABD所成角的大小。（3）要求點A1到平面AED的距離，只要先求出平面AED的法向量N，然后求出向量A1A在向量N上的射影長即可。四、解決有關(guān)角的問題的方法一些立體幾何問題，不通過使用模型是很難作出判斷的。如：“一個二面角的兩個面與另一個二面角的兩個面分別垂直，這兩個二面角的大小關(guān)系是什么？”此題僅靠空間想象很難得出結(jié)果，作圖呢又較難，且作出的圖形是不會運動的（模型
8、是可以運動的），要作出各種情況下的圖形既費時圖形也難畫，另外學(xué)生往往還會依據(jù)平面幾何中一個類似的結(jié)論而去習(xí)慣性思維，得出“相等或互補”的錯誤結(jié)果，其實此題只需用兩本打開的書本比劃一下，結(jié)論很快就可以得到（兩個角沒有任何關(guān)系）。這一教法，融知識性和趣味性于一體，形
