資源描述：
《悄然升溫的空間軌跡問題》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學術(shù)論文-天天文庫。
1、悄然升溫的空間軌跡問題圖1ABCP通常的立體幾何題是線面平行和垂直關(guān)系的證明題或空間的角、距離、體積的計算題．隨著新的課程標準的實施，類以培養(yǎng)學生自主學習能力和開拓創(chuàng)新精神的探索題、開放題和交匯題正在逐步走進課堂，走進高考，成為大家關(guān)注的熱點，如空間動點軌跡問題，這類問題融開放性、探索性、交匯性于一體，既有利于激發(fā)學生參與的積極性，培養(yǎng)學生的各種思維能力，又能起到溝通立體幾何與解析幾何、立體幾何與代數(shù)之間聯(lián)系的作用．下面談?wù)勥@類問題的求解策略．一、聚焦軌跡平面，尋找線面關(guān)系在空間的某個或某些點運
2、動的前提條件下，要論證或判定某些位置關(guān)系，一般要找到運動變化中的不變因素，通常將動點聚焦到某一平面，再利用線面、面面平行或垂直的有關(guān)性質(zhì)加以證明或作出判定．例1．如圖1，定點A和B都在平面內(nèi)，定點，，C是內(nèi)異于A和B的動點，且PC⊥AC。那么，動點C在平面內(nèi)的軌跡是（）A.一條線段，但要去掉兩個點B.一個圓，但要去掉兩個點C.一個橢圓，但要去掉兩個點D.半圓，但要去掉兩個點解析：由三垂線定理的逆定理得∵AC⊥PC且PC在內(nèi)的射影為BC，∴AC⊥BC.∴∠ACB=900.∴C點的軌跡為以AB為直徑
3、圓，但除去A、B兩點SCPGFODBAE點評：動點軌跡問題是較為新穎的一種創(chuàng)新命題形式，它重點體現(xiàn)了在解析幾何與立體幾何的知識交匯處設(shè)計圖形。不但考查了立體幾何點線面之間的位置關(guān)系，而且又能巧妙地考查求軌跡的基本方法，是表現(xiàn)最為活躍的一種創(chuàng)新題型。這類立體幾何中的相關(guān)軌跡問題，如“線線垂直”問題，很在程度上是找與定直線垂直的平面，而平面間的交線往往就是動點軌跡。例2．如圖所示，在正四棱錐S-ABCD中，E為BC的中點，點P在側(cè)面SCD內(nèi)及其邊界上運動，且總保持PEAC。求動點P的軌跡解：當點P在
4、CD邊上時，由PEAC及BDAC可知，此時，P為CD的中點F；當點P在SC邊上時，由PEAC及SBAC可知，此時，P為SC的中點G。于是猜想P點的軌跡是SCD的CD和CS邊上的中位線FG。證明如下：因為FEAC，GEAC，所以AC平面EFG，得到ACFG。故P點的軌跡是SCD的CD和CS邊上的中位線FG。點評：本題以空間直線與平面的位置關(guān)系為依托，研究平面解析幾何的點的軌跡問題，立意新穎，構(gòu)思巧妙，有利于培養(yǎng)綜合運用多學科知識的能力．二、探尋軌跡條件，聯(lián)想軌跡定義圖2若動點P運動時保持某些距離或
5、角度滿足一定條件不變，求它運動的軌跡，通常聯(lián)想解析幾何中有關(guān)的軌跡定義（如圓、圓錐曲線、線段的垂直平分線、角平分線、球等），從而拓化條件，以利于軌跡判斷．例3．如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的的曲線是（）（A）直線（B）圓（C）雙曲線（D）拋物線解：顯然，點P到直線C1D1的距離就是點P到點C1的距離，由此，易知點P到C1的距離等于P到BC的距離，由拋物線的定義，應(yīng)選D
6、.點評：本題是以立體幾何知識為載體，考查圓錐曲線定義，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面解析幾何中的軌跡問題．AOP圖3例4．如圖3，已知平面∥平面，平面、間的距離為8，點P在平面內(nèi)，則在平面內(nèi)到點P的距離為10的點的軌跡是（）A.一個圓B.一條直線C.一個點D.不存在解：過點P作平面的垂線，設(shè)垂足為O，則PO=8，又設(shè)平面內(nèi)一點A到點P的距離為10，連PA、OA，則在PAO中，由勾股定理可得OA=6?？芍狝點的軌跡為圓，故選A。三、挖掘變量關(guān)系，建立目標函數(shù)由于某些點的運動，通常會引起與之相關(guān)的距離和角
7、的大小的變化，隨之而來的是求某距離戟角的取值范圍（或最值）一類問題．對這類問題，通常以引起尸運動的基本量（距離或角）為自變量，建立目標函數(shù)，再利用求函數(shù)最值的方法，使問題獲解．圖4（2）例5．高10米和高15米的兩根旗桿豎在地面上，相距20米，求地面上到兩旗桿頂點的仰角相等的點的軌跡．解：如圖4(1),AC,BD是兩根旗桿，平面ABP為地面，點P為地面上任一點，由題意知∠CPA=∠DPB,∴tan∠CPA=tan∠DPB,即如圖(2)，在平面ABP中以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，
8、建立直角坐標系，則A(-10,0),B(10，O），設(shè)點P(x,y)，則有
9、AP
10、=,
11、BP
12、=,∴化簡，得x2+y2+52x+100=0．即(x+26)2+y2=576．因此P點軌跡是以(-26,0)為圓心，以r=24為半徑的圓．點評：根據(jù)題目的信息，利用空間幾何性質(zhì)，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化到平面上，再利用解析幾何方法求軌跡，實現(xiàn)三體幾何到解析幾何的過渡．圖5例6．已知正方體ABCD-A1B1C1D1，的棱長為1，點P是平面AC內(nèi)的動點，若點P到直線A1D1的距離等于點P到直線CD的距離，則動點P
