幾何條件代數(shù)化與代數(shù)運(yùn)算幾何化

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1、幾何條件代數(shù)化與代數(shù)運(yùn)算幾何化——突破解析幾何難點(diǎn)之兩方法解析幾何解題方向：找關(guān)系。（1）找關(guān)系，設(shè)直線方程；（2）找關(guān)系，找解題方向；（3）找所設(shè)兩變量關(guān)系（如找與關(guān)系，找與關(guān)系等），進(jìn)行消元。方法：代數(shù)運(yùn)算幾何化。幾何條件代數(shù)化：把題目中的幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系（一般是坐標(biāo)關(guān)系）。所謂“代數(shù)運(yùn)算幾何化”是指：執(zhí)行代數(shù)運(yùn)算時(shí)，要結(jié)合幾何條件。畢竟，解析幾何研究的是幾何問(wèn)題。常見(jiàn)文字表述是“點(diǎn)在曲線上”，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算可找到“兩變量之間的關(guān)系”，達(dá)到“消元目標(biāo)”。這是種“消元意識(shí)”。大多數(shù)同學(xué)解析幾何題解

2、不出，缺的就是這種“運(yùn)算能力和消元意識(shí)”。其它重要意識(shí)：幾何條件代數(shù)化；一般問(wèn)題特殊化；最值問(wèn)題多樣化；去除思維模式化。下面以春期周考數(shù)學(xué)理科解析幾何題來(lái)說(shuō)明。1、（第一次周考）21.設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線的傾斜角為60o，.（1）求橢圓C的離心率；（2）如果

3、AB

4、=，求橢圓C的方程.分析：1、幾何條件代數(shù)化：本質(zhì)特征：且；代數(shù)關(guān)系：或.

5、AB

6、=代數(shù)關(guān)系：弦長(zhǎng)公式。解題方向：聯(lián)立直線和橢圓方程解題。（21）解：設(shè)，由題意知＜0，＞0.（Ⅰ）直線l的方程為，

7、其中.聯(lián)立得解得因?yàn)?，所?即得離心率.……6分-10-（Ⅱ）因?yàn)椋?由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為.……12分2、（第二次周考）21.設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn)，已知向量，若且橢圓的離心率，短軸長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）若直線AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值。（2）試問(wèn)：的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：1、幾何條件代數(shù)化：平面向量條件本質(zhì)特征：與垂直；代數(shù)關(guān)系：.的面積代數(shù)關(guān)系：弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式。2、一般問(wèn)題特殊化直線

8、AB分斜率存在與不存在討論。3、代數(shù)運(yùn)算幾何化利用找關(guān)系，把二元轉(zhuǎn)化為一元。解題方向：聯(lián)立直線和橢圓方程解題。21.（1），解得a=2,所求橢圓的方程為知設(shè)直線AB的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得消元，得則。由已知得-10-（2）①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，即則聯(lián)立，得整理，得又點(diǎn)A在橢圓上，故，解得的面積②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+b,聯(lián)立，得整理，得，由得即，將代入整理，得的面積=三角形的面積為定值1。2、（第三次周考）20.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓：在軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為的直線

9、與交與、兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足.(1)證明：點(diǎn)在上；(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：、、、四點(diǎn)在同一圓上.分析：1、幾何條件代數(shù)化：本質(zhì)特征：；代數(shù)關(guān)系：.、、、四點(diǎn)在同一圓上-10-本質(zhì)特征：找圓心，PQ與AB垂直平分線交于圓心，圓心到四點(diǎn)距離相等；代數(shù)關(guān)系：找斜率與直線上一點(diǎn)。解題方向：聯(lián)立直線和橢圓方程解題。20.(1),的方程為,代入并化簡(jiǎn)得.設(shè),則由題意得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.經(jīng)驗(yàn)證點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,故點(diǎn)在橢圓上(2)由和題設(shè)知，，的垂直平分線的方程為.①設(shè)的中點(diǎn)為,則,的垂直平分線的方程為.②由①、②得、

10、的交點(diǎn)為.,,,,,故,又,,所以,由此知、、、四點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上。4、（第四次周考）20.設(shè)橢圓過(guò)M（2，），N（，1）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓E的方程；-10-（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求

11、AB

12、的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.分析：1、幾何條件代數(shù)化：平面向量條件本質(zhì)特征：與垂直；代數(shù)關(guān)系：.2、圓的切線圓心到切線的距離等于半徑，找關(guān)系。

13、AB

14、的取值范圍代數(shù)關(guān)系：弦長(zhǎng)公式和范圍問(wèn)題多樣化。3、一

15、般問(wèn)題特殊化分斜率存在與不存在討論。無(wú)斜率任何條件時(shí)，直線設(shè)成.4、代數(shù)運(yùn)算幾何化利用找關(guān)系，把二元轉(zhuǎn)化為一元。解題方向：聯(lián)立直線和橢圓方程解題。20.解：（1）將的坐標(biāo)代入橢圓E的方程得解得所以橢圓E的方程為（2）證明：假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為，其中設(shè)該圓的任意一條切線AB和橢圓E交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，令直線AB的方程為，①將其代入橢圓E的方程并整理得由韋達(dá)定理得②因?yàn)?，所以③將①代入③并整理得?lián)立②得④因?yàn)橹本€AB和圓相切，因此,由④得-10-所以

16、存在圓滿足題意.當(dāng)切線AB的斜率不存在時(shí)，易得由橢圓方程得顯然，綜上所述，存在圓滿足題意.解法一：當(dāng)切線AB的斜率存在時(shí)，由①②④得令，則，因此所以即.當(dāng)切線AB的斜率不存在時(shí)，易得，所以綜上所述，存在圓心在原點(diǎn)的圓滿足題意，且.5、（第五次周考）20.已知橢圓的離心率為，且橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)是線段上異于的一個(gè)定點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），是否存在過(guò)點(diǎn)且與軸不垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，使得，請(qǐng)說(shuō)