應(yīng)用泛函分析教案7

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1、第六節(jié)壓縮映象原理及其應(yīng)用?本節(jié)作為完備度量空間何重要特征，我們介紹Banach壓縮映象原理，它在許多關(guān)于存在唯一性的定理證明中是一個(gè)有力的工具。隨著現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，我們?cè)诮夥匠蹋òǔＮ⒎址匠?、偏微分方程、積分方程、差分方程、代數(shù)方程等）的過(guò)程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。幾乎可以這樣說(shuō)：對(duì)一個(gè)方程，只要我們找到一個(gè)迭代公式，就算解出了這個(gè)方程（當(dāng)然我們還要考慮迭代公式的收斂性、解的穩(wěn)定性和收斂速度等問(wèn)題）。但是，在逐次迭代中，我們必須保證迭代過(guò)程中得到的是個(gè)收斂序列，否則就是毫無(wú)意義的了。而選代法解方程的實(shí)質(zhì)就是尋求變換（映射、映照）的不動(dòng)

2、點(diǎn)。例如求方程f(x)=0的根，我們可令g(x)=x-f(x)，則求f(x)=0的根就變成求g(x)的不動(dòng)點(diǎn)，即求,使.而在通常求映射的不動(dòng)點(diǎn)的方法中，最簡(jiǎn)單的就是下面我們所講的--Banach壓縮映象定理。定義（壓縮映象）設(shè)T是度量空間X到X中的映照，如果對(duì)都有（是常數(shù)）則稱T是X上的一個(gè)壓縮映照。從幾何上說(shuō)：壓縮映照即點(diǎn)x和y經(jīng)過(guò)映照T后，它們的像的距離縮短了（不超過(guò)d(x,y)的倍）?定理1（Banach壓縮映照原理）1922年（Banach1892-1945波蘭數(shù)學(xué)家）設(shè)（X,d）是一個(gè)完備度量空間，T是X上的一個(gè)壓縮映照，則丅有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。即的使

3、證：任取令（此即解方程的逐次迭代法）先證是Cauchy點(diǎn)列①①?先考慮相鄰兩點(diǎn)的距離②再考慮任意兩點(diǎn)的距離當(dāng)n>m時(shí)==是Cauchy點(diǎn)列是完備度量空間,使下證x為不動(dòng)點(diǎn)再證不動(dòng)點(diǎn)唯一若還有,使則因必須注:①定理?xiàng)l件(a)X完備,(b)缺一不可，反例如下(a)若X不完備,則定理不成立例如:令X=(0,1),用歐氏距離,則但不動(dòng)點(diǎn)(b)定理不成立例如:令X=R用歐氏距離則但顯然T無(wú)不動(dòng)點(diǎn)。②若將空間X條件加強(qiáng)為緊距空間，則壓縮因子條件可放寬為1，即可改為?限于我們的學(xué)時(shí)，我們只介紹一下Banach壓縮映象原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。定理2（隱函數(shù)存在定理）設(shè)在帶狀區(qū)域上處

4、處連續(xù)，處處有關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù),且如果存在常數(shù)m,M，適合.則方程f在閉區(qū)間上有唯一的連續(xù)函數(shù),使。證：（在中考慮映照，若其為壓縮映照，則有不動(dòng)點(diǎn)）在完備度量空間中作映照,顯然,對(duì)由連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有。是到自身的一個(gè)映照下證是壓縮的.即證,任取由微分中值定理,存在,使令則,故取最大值映照T是壓縮的.由Banach壓縮映象定理在上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)使顯然這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)適合注：①注意本定理的證明思路：先確定空間，再找映照（這是難點(diǎn)）,然后證明此映照是壓縮的，最后利用定理即得。注意到這是利用Banach壓縮映照定理解題的一般方法。①②?此隱函數(shù)存在定理給出的條件強(qiáng)于數(shù)學(xué)分

5、析中隱函數(shù)存在定理所給出的條件，因而得出的結(jié)論也強(qiáng)些：此處得出區(qū)間上的連續(xù)隱函數(shù).?下面我們介紹Banach不動(dòng)點(diǎn)定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的應(yīng)用--Picard定理.定理3：（Picard定理Cauchy--Peano微分方程解的存在唯一性定理）（Picard法國(guó)人1856—1941Peano意大利人1858--1932）設(shè)在矩形上連續(xù),設(shè)又在R上關(guān)于x満足Lipschitz（德國(guó)人1832--1903）條件,即存在常數(shù)k使對(duì)有,那么方程在區(qū)間上有唯一的滿足初始條件的連續(xù)函數(shù)解.其中證：設(shè)表示在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)全體。對(duì)成完備度量空間。又令表示中滿

6、足條件的連續(xù)函數(shù)全體所成的子空間。顯然閉,因而也是完備度量空間.令如果當(dāng)時(shí),而是R上的二元連續(xù)函數(shù),映照中積分有意義。又對(duì)一切故T是到的一個(gè)映照?下證是壓縮的。由Lipschitz條件,對(duì)中的任意兩點(diǎn)有令,則由有.則故T是壓縮的。由Banach壓縮映象定理,T在中有唯一的不動(dòng)點(diǎn).即使即且即是滿足初值條件的連續(xù)解。再證唯一性。如果也是滿足的連續(xù)解.那么因而而且也是T的不動(dòng)點(diǎn).而T的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的.故有唯一解。注：題設(shè)條件中Lipschitz條件的要求是十分強(qiáng)的，它保證了解的唯一性。實(shí)際上満足Lipschtz條件即為一致收斂。因而可在積分號(hào)下求導(dǎo)，如果把解的要求

7、降低，例如只要求廣義解，即只要求滿足積分方程則題設(shè)條件可大大放寬：只要有界,即可利用Lebesgue控制收斂定理得到廣義解。注意到Banach壓縮映照定理不僅證明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的方法--逐次逼近法：即只要任取令則解.且在Banach不動(dòng)點(diǎn)定理的證明中,有.即此式給出了用逼近解的誤差估計(jì)式。????補(bǔ)充：Brouwer不動(dòng)點(diǎn)是定理與Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理簡(jiǎn)介鑒于不動(dòng)點(diǎn)理論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中非常重要的地位，以及不動(dòng)點(diǎn)理論是現(xiàn)代泛函分析中一個(gè)十分活躍的重要分支，下面我們簡(jiǎn)單介紹Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理和Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用

8、。一、Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用：（一）Bro