希爾伯特23項(xiàng)問(wèn)題

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1、編輯詞條希爾伯特問(wèn)題　　在1900年8月巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學(xué)問(wèn)題》的著名講演。他根據(jù)過(guò)去特別是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢(shì)，提出了23個(gè)最重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這23個(gè)問(wèn)題通稱(chēng)希爾伯特問(wèn)題，后來(lái)成為許多數(shù)學(xué)家力圖攻克的難關(guān)，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，并起了積極的推動(dòng)作用，希爾伯特問(wèn)題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的想信每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以解決的信念，對(duì)于數(shù)學(xué)工作者是一種巨大的鼓舞?！　∠柌氐?3個(gè)問(wèn)題分屬四大塊：第1到第6問(wèn)題是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題；第7到第12問(wèn)題是數(shù)論問(wèn)題；第13到第18問(wèn)題屬于代數(shù)

2、和幾何問(wèn)題；第19到第23問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)分析?！　。?）康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問(wèn)題。　　1874年，康托猜測(cè)在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒(méi)有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，僑居美國(guó)的奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德?tīng)栕C明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF集合論公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。1963年，美國(guó)數(shù)學(xué)家科恩（P.Choen）證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理彼此獨(dú)立。因而，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用ZF公理加以證明。在這個(gè)意義下，問(wèn)題已獲解決?！　。?）算術(shù)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。　　歐氏幾何的無(wú)矛盾性可以歸結(jié)為算術(shù)公理的無(wú)矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加以證明，哥德?tīng)?931年發(fā)表不完備性定理作出

3、否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性?！　。?）只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩個(gè)四面體有相等之體積是不可能的。　　問(wèn)題的意思是：存在兩個(gè)等高等底的四面體，它們不可能分解為有限個(gè)小四面體，使這兩組四面體彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解決。　　（4）兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問(wèn)題?！　〈藛?wèn)題提的一般。滿足此性質(zhì)的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在對(duì)稱(chēng)距離情況下，問(wèn)題獲解決?！　。?）拓?fù)鋵W(xué)成為李群的條件（拓?fù)淙海??！　∵@一個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)稱(chēng)連續(xù)

4、群的解析性，即是否每一個(gè)局部歐氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊賓（Zippin）共同解決。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結(jié)果?！　。?）對(duì)數(shù)學(xué)起重要作用的物理學(xué)的公理化?！　?933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸驅(qū)⒏怕收摴砘：髞?lái)，在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論方面取得成功。但對(duì)物理學(xué)各個(gè)分支能否全盤(pán)公理化，很多人有懷疑?！　。?）某些數(shù)的超越性的證明?！　⌒枳C：如果α是代數(shù)數(shù)，β是無(wú)理數(shù)的代數(shù)數(shù)，那么αβ一定是超越數(shù)或至少是無(wú)理數(shù)（例如，2√2和eπ）。蘇聯(lián)的蓋爾封特（Gelfond）1929年、德國(guó)的

5、施奈德（Schneider）及西格爾（Siegel）1935年分別獨(dú)立地證明了其正確性。但超越數(shù)理論還遠(yuǎn)未完成。目前，確定所給的數(shù)是否超越數(shù)，尚無(wú)統(tǒng)一的方法?！　。?）素?cái)?shù)分布問(wèn)題，尤其對(duì)黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問(wèn)題。　　素?cái)?shù)是一個(gè)很古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素?cái)?shù)問(wèn)題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)問(wèn)題目前也未最終解決，其最佳結(jié)果均屬中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)?！　。?）一般互反律在任意數(shù)域中的證明?！　?921年由日本的高木貞治，1927年由德國(guó)的阿廷（E.Artin）各自給以基本

6、解決。而類(lèi)域理論至今還在發(fā)展之中?！　。?0）能否通過(guò)有限步驟來(lái)判定不定方程是否存在有理整數(shù)解？　　求出一個(gè)整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱(chēng)為丟番圖（約210-290，古希臘數(shù)學(xué)家）方程可解。1950年前后，美國(guó)數(shù)學(xué)家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關(guān)鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費(fèi)羅斯（Philos）對(duì)含兩個(gè)未知數(shù)的方程取得肯定結(jié)論。1970年。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況答案是否定的。盡管得出了否定的結(jié)果，卻產(chǎn)生了一系列很有價(jià)值的副產(chǎn)品，其中不少和計(jì)算機(jī)科學(xué)有密切聯(lián)系。　?。?1）一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)的二

7、次型論。　　德國(guó)數(shù)學(xué)家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結(jié)果。60年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家魏依（A.Weil）取得了新進(jìn)展?！　。?2）類(lèi)域的構(gòu)成問(wèn)題?！　〖磳⒇悹栍蛏系目肆_內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。此問(wèn)題僅有一些零星結(jié)果，離徹底解決還很遠(yuǎn)?！　。?3）一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性。　　七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴(lài)于3個(gè)參數(shù)a、b、c；x=x(a,b,c)。這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來(lái)？此問(wèn)題已接近解決。1957年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德（Arnold）證明了任一在〔0，1〕上連續(xù)的實(shí)函數(shù)