函數(shù)的最大值和最小值

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1、3-44.4函數(shù)的最大值和最小值1n最值與極值的區(qū)別n最大最小值的求法3-43.4函數(shù)的最大值和最小值2若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，x?[a,b],如果對0任意x?[a.b],有f(x)3f(x)(或f(x)￡f(x)),00則稱f(x)為函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大(小)值.0yyyoabxoabxoabx3-43最值與極值的區(qū)別設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在區(qū)間[a,b]上.(1)最大(小)值是對整個區(qū)間而言的，而極大（?。┲凳菍O值點的某個鄰域而言的,是局部性的.所以說，最值是函數(shù)的整體性質(zhì)，而極值是函數(shù)的局部性質(zhì).(2)最

2、大（最小）值可以在區(qū)間的端點取得，而極值只能在開區(qū)間內(nèi)取得.3-44本節(jié)中關(guān)于連續(xù)函數(shù)的假設(shè)由連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定能取得最大最小值.為了簡化討論，在本節(jié)中我們假設(shè)所討論的函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)只有有限個駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點，因此極值點只能有有限多個.3-45函數(shù)在哪些點處可能取最值？由前面的討論，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取得最值，則此最值點必為極值點，故它為駐點或?qū)?shù)不存在的點.因此最值只能在區(qū)間端點或駐點或?qū)?shù)不存在的點處取得.由于我們假設(shè)了函數(shù)只有有限個駐點和極限不存在的點，因此我們只需要從有限個函數(shù)值（函數(shù)在端點，駐

3、點或?qū)?shù)不存在的點處的函數(shù)值）中找出最大最小值.3-4求最大最小值的步驟61.求函數(shù)的駐點和不可導(dǎo)點.2.求函數(shù)在區(qū)間端點、駐點和不可導(dǎo)點處的函數(shù)值,比較大小,最大者即為最大值,最小者即為最小值.注:如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部只有一個極大（?。┲?而沒有極小（大）值，則這個極大（?。┲稻褪亲畲螅ㄐ。┲?（請考慮:為什么?)3-4例1732求函數(shù)y=2x+3x-12x+14的在[-3,4]上的最大值與最小值.解Qf￠(x)=6(x+2)(x-1)解方程f￠(x)=0,得x1=-2,x2=1.可能取最大最小值的點：x=-3,-2,1,4.計算

4、f(-3)=23;f(-2)=34;f(1)=7;f(4)=142;比較得最大值f(4)=142，最小值f(1)=7.3-4例1中函數(shù)之圖像832y=2x+3x-12x+14最大值f(4)=142，最小值f(1)=7.3-49實際問題求最值(1)建立所論問題中變量的函數(shù)關(guān)系式（目標(biāo)函數(shù)）;(2)求最值;注：若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點，又根據(jù)問題的實際意義最大(小)值存在,則該點的函數(shù)值即為所求的最大（或最?。┲?-4例2102由直線y=08，x==及拋物線圍yx2成一個曲邊三角形，在曲邊yx=上求一點，使曲線在該點處的切線與直線及yx==

5、08所圍成的三角形面積最大．yTBPoACx例2之解答3-4（p1）11解如圖,y設(shè)所求切點為P(x,y),T00B則切線PT為Py-y0=2x0(x-x0),oACx21Qy=x,,0),200A(x0C(8,0),B(8,16x0-x0)2112S=(8-x)(16x-x)(0￡x￡8)DABC000022目標(biāo)函數(shù)例2之解答3-4（p2）1212令S￠=(3x-64x+16′16)=0,00416解得x0=,x0=16(舍去).316164096Qs￠￠()=-8<0.s()=為極大值.33217164096故s()=為所有

6、三角形中面積的最大者.3273-4例313某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時，公寓會全部租去．當(dāng)租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護(hù)費．試問房租定為多少可獲得最大收入？3-4例3之解答14解：設(shè)房租為每月元x，?x-180?租出去的房子有50-?÷套，è10?每月總收入為?x-180?R(x)=(x-20)?50-÷è10?R￠(x)=0Tx=350故每月每套租金為350元時收入最高。?350?最大收入為R(x)=(350-20)?68-÷è10?=10890(元)

7、3-4練習(xí)題15一、填空題：1、最值可_____________處取得.322、函數(shù)y=2x-3x(-1￡x￡4)的最大值為_________；最小值為__________.23、函數(shù)y=100-x在[0,8]上的最大值為____________；最小值為___________.4、設(shè)有重量為5kg的物體，置于水平面上，受力f的作用而開始移動，摩擦系數(shù)m=0.25，問力f與水平線的交角a為_____時，才可使力f的大小為最小，則此問題的目標(biāo)函數(shù)為______________，討論區(qū)間為_____________.3-4165、從一塊半

8、徑為R的圓缺片上挖去一個扇形做成一個漏斗，問留下的扇形的中心角為_________時，做成的漏斗的容積為最大？此問題的目標(biāo)函數(shù)為________________考察區(qū)間為_______________.254二、求函數(shù)y