考研數(shù)學(xué) 線性代數(shù)講義第5章線性方程組

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1、水木艾迪www.etsinghua.org電話：010-62701055/82378805地址：清華同方科技廣場B座503室第5章線性方程組n元線性方程組?a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1??a21x1+a22x2+L+a2nxn=b2?，LLLLLLLLLLL???am1x1+am2x2+L+amnxn=bm其中x,x,L,x表示n個未知量，m是方程個12n數(shù)，a表示第i個方程中含x項的系數(shù)，ijjb,b,L,b叫常數(shù)項．12m記系數(shù)矩陣為A=(a)，ijTx=(x,x,L,x)，常數(shù)項向量為1

2、2nTb=(b,b,L,b)，則線性方程組可寫作矩陣12m形式：Ax=b．T如果記α=()a,a,L,a，11121m1()Tα=a,a,L,a，21222m2()TL,α=a,a,L,a，則線性方程組可n1n2nmn以表示成向量方程：1水木艾迪www.etsinghua.org電話：010-62701055/82378805地址：清華同方科技廣場B座503室xα+xα+L+xα=b．1122nn若將一組數(shù)c,c,L,c代替未知量12nx,x,L,x，使方程組中的m個等式都成立，就12n說(c,c,L,c)是

3、方程組的一個解．方程組的全體12n解稱為方程組的解集．解集相同的方程組稱為同解方程組．線性方程組中，如果常數(shù)項為０，即b=0，稱Ax=0為齊次線性方程組．若常數(shù)項不為０，稱Ax=b為非齊次線性方程組．5.1高斯消元法解方程組的最基本的方法是高斯消元法．設(shè)n元線性方程組?a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1??a21x1+a22x2+L+a2nxn=b2?，LLLLLLLLLLL???am1x1+am2x2+L+amnxn=bm矩陣?a11a12La1nb1????a21a22La2nb2??LLLLL

4、??????am1am2Lamnbm?2水木艾迪www.etsinghua.org電話：010-62701055/82378805地址：清華同方科技廣場B座503室叫線性方程組的增廣矩陣．記作A=(Ab)．所謂高斯消元法就是對線性方程組的增廣矩陣施行矩陣的初等行變換，化作行階梯形．?a11a12La1nb1????a21a22La2nb2??LLLLL??????am1am2Lamnbm??c11c12Lc1rLc1nd1????c22Lc2rLc2nd2??OMMMM????crrLcrndr?→L→??d

5、r+1???0???M?????0?根據(jù)行階梯形，對方程組的解有如下的結(jié)論：（１）若d≠0，方程組無解；r+1（２）若d=0，方程組有解．這時又分兩種情況：r+1情況１：r=n，方程組有唯一解；情況２：r

6、線性方程組Ax=b有解的條件非齊次線性方程組有解的充分必要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩．即r(A)=r(A)．如果從方程組的向量表示形式來看，方程組為xα+xα+L+xα=b．1122nn方程組有解就意味著b可由系數(shù)矩陣A的列向量組線性表出，或說b是系數(shù)矩陣A的列向量組的線性組合．若n元非齊次線性方程組Ax=b有解，當(dāng)r(A)=n時，方程組Ax=b有惟一解；r(A)

7、singhua.org電話：010-62701055/82378805地址：清華同方科技廣場B座503室（）．(A)r(A)=n；(B)r(A)=n；(C)r(A)=m；(D)r(A)=n且為bA的列向量組的線性組合．5.3齊次線性方程組有非零解的充分必要條件齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是：若A是m×n矩陣，則齊次線性方程組Ax=0有非零解?r(A)

8、（２）若A是n階方陣，齊次線性方程組Ax=0只有零解?A≠0．（３）若A是m×n矩陣，當(dāng)m