高中數(shù)學解題基本方法待定系數(shù)法及訓練習題集

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高中數(shù)學解題基本方法待定系數(shù)法及訓練習題集要確定變量間的函數(shù)關系，設出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應相等。待定系數(shù)法解題的關鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學問題是否具有某種確定的數(shù)學表達式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學表達形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：①利用對應系數(shù)相等列方程；②由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；③利用定義本身的屬性列方程；④利用幾何條件列方程。

1比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設所求方程的形式，其中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1.設f(x)＝＋m，f(x)的反函數(shù)f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次為_____。A.,－2B.－，2C.,2D.－，－22.二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，則a＋b的值是_____。A.10B.－10C.14D.－143.在(1－x)（1＋x）的展開式中，x的系數(shù)是_____。A.－297B.－252C.297D.2074.函數(shù)y＝a－bcos3x(b<0)的最大值為，最小值為－，則y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。5.與直線L：2x＋3y＋5＝0平行且過點A(1,-4)的直線L’的方程是_______________。6.與雙曲線x－＝1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是____________。

2【簡解】1小題：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比較系數(shù)易求，選C；2小題：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的兩根，代入兩根，列出關于系數(shù)a、b的方程組，易求得a＋b，選D；3小題：分析x的系數(shù)由C與(－1)C兩項組成，相加后得x的系數(shù)，選D；4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案；5小題：設直線L’方程2x＋3y＋c＝0，點A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；6小題：設雙曲線方程x－＝λ，點(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1。Ⅱ、示范性題組：例1.已知函數(shù)y＝的最大值為7，最小值為－1，求此函數(shù)式?！痉治觥壳蠛瘮?shù)的表達式，實際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實際是就是已知函數(shù)的值域，對分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”?！窘狻亢瘮?shù)式變形為：(y－m)x－4x＋(y－n)＝0，x∈R,由已知得y－m≠0

3∴△＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0即：y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0①不等式①的解集為(-1,7)，則－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的兩根，代入兩根得：解得：或∴y＝或者y＝此題也可由解集(-1,7)而設(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后與不等式①比較系數(shù)而得：，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)?！咀ⅰ吭谒蠛瘮?shù)式中有兩個系數(shù)m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數(shù)值域問題，得到了含參數(shù)m、n的關于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法”：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了關于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用“判別式法”的關鍵是否可以將函數(shù)化成一個一元二次方程。例2.設橢圓中心在(2,-1)，它的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的端點距離是－，求橢圓的方程。

4yB’xAFO’F’A’B【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問題就全部解決了。設a、b、c后，由已知垂直關系而聯(lián)想到勾股定理建立一個方程，再將焦點與長軸較近端點的距離轉化為a－c的值后列出第二個方程。【解】設橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c，則|BF’|＝a∴解得：∴所求橢圓方程是：＋＝1也可有垂直關系推證出等腰Rt△BB’F’后，由其性質推證出等腰Rt△B’O’F’，再進行如下列式：，更容易求出a、b的值。【注】圓錐曲線中，參數(shù)（a、b、c、e、p）的確定，是待定系數(shù)法的生動體現(xiàn)；如何確定，要抓住已知條件，將其轉換成表達式。在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)（a、b、c、e）不變，本題就利用了這一特征，列出關于a－c的等式。一般地，解析幾何中求曲線方程的問題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設方程（或幾何數(shù)據(jù)）→幾何條件轉換成方程→求解→已知系數(shù)代入。

5例3.是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結論。（89年全國高考題）【分析】是否存在，不妨假設存在。由已知等式對一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出關于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學歸納法證明等式對所有自然數(shù)n都成立?！窘狻考僭O存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得：,解得，于是對n＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立，下面用數(shù)學歸納法證明對任意自然數(shù)n，該等式都成立：假設對n＝k時等式成立，即1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)；當n＝k＋1時，1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]，也就是說，等式對n＝k＋1也成立。

6綜上所述，當a＝8、b＝11、c＝10時，題設的等式對一切自然數(shù)n都成立?！咀ⅰ拷㈥P于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個特殊值代入而得到。此種解法中，也體現(xiàn)了方程思想和特殊值法。對于是否存在性問題待定系數(shù)時，可以按照先試值、再猜想、最后歸納證明的步驟進行。本題如果記得兩個特殊數(shù)列1＋2＋…＋n、1＋2＋…＋n求和的公式，也可以抓住通項的拆開，運用數(shù)列求和公式而直接求解：由n(n＋1)＝n＋2n＋n得S＝1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n＋11n＋10)，綜上所述，當a＝8、b＝11、c＝10時，題設的等式對一切自然數(shù)n都成立。例4.有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方形，將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？【分析】實際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標函數(shù)，將實際問題轉化為函數(shù)最大值和最小值的研究?！窘狻恳李}意，矩形盒子底邊邊長為(30－2x)cm，底邊寬為(14－2x)cm，高為xcm?！嗪凶尤莘eV＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x，顯然:15－x>0，7－x>0，x>0。

7設V＝(15a－ax)(7b－bx)x(a>0,b>0）要使用均值不等式，則解得：a＝，b＝，x＝3。從而V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576。所以當x＝3時，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm。【注】均值不等式應用時要注意等號成立的條件，當條件不滿足時要湊配系數(shù)，可以用“待定系數(shù)法”求。本題解答中也可以令V＝(15a－ax)(7－x)bx或(15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項該進行湊配的系數(shù)，本題也體現(xiàn)了“湊配法”和“函數(shù)思想”。Ⅲ、鞏固性題組：1.函數(shù)y＝logx的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，則a的取值范圍是_____。A.2>a>且a≠1B.02或0

81.如果函數(shù)y＝sin2x＋a·cos2x的圖像關于直線x＝－對稱，那么a＝_____。A.B.－C.1D.－12.滿足C＋1·C＋2·C＋…＋n·C<500的最大正整數(shù)是_____。A.4B.5C.6D.73.無窮等比數(shù)列{a}的前n項和為S＝a－,則所有項的和等于_____。A.－B.1C.D.與a有關4.(1＋kx)＝b＋bx＋bx＋…＋bx，若b＋b＋b＋…＋b＝－1，則k＝______。5.經(jīng)過兩直線11x－3y－9＝0與12x＋y－19＝0的交點，且過點(3,-2)的直線方程為_____________。8.正三棱錐底面邊長為2，側棱和底面所成角為60°，過底面一邊作截面，使其與底面成30°角，則截面面積為______________。9.設y＝f(x)是一次函數(shù)，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比數(shù)列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。10.設拋物線經(jīng)過兩點(-1,6)和(-1,-2)，對稱軸與x軸平行，開口向右，直線y＝2x＋7和拋物線截得的線段長是4,求拋物線的方程。