指數(shù)分布在嵌入馬氏鏈構(gòu)造中的應(yīng)用

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1、第22卷第2期　　　　　　　懷化學(xué)院學(xué)報(bào)　　Vol1221No122003年4月JOURNALOFHUAIHUAUNIVERSITYApr.,2003數(shù)學(xué)前沿指數(shù)分布在嵌入馬氏鏈構(gòu)造中的應(yīng)用向　陽,李玉梅(懷化學(xué)院數(shù)學(xué)系,湖南懷化　418008)摘　要:對(duì)于出現(xiàn)指數(shù)分布的過程,利用指數(shù)分布的無記憶性,結(jié)合實(shí)例,構(gòu)造出了馬氏更新過程,導(dǎo)出了其相伴的半馬氏核和嵌入馬氏鏈的轉(zhuǎn)移陣1關(guān)鍵詞:馬氏更新過程;　半馬爾可夫核;　指數(shù)分布中圖分類號(hào):O211　　　文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A　　　文章編號(hào):1671-9743(2003)02-0023-031預(yù)備知識(shí)定義111設(shè)隨機(jī)過程{X(t),t

2、≥0}取值于狀態(tài)空間X={0,1,2,??},0=t0

3、X0,?,Xn,t0,?tn)=P(Xn+1=j,tn+1-tn≤t

4、Xn)(111)我們就說過程{(Xn,tn),n≥0}構(gòu)成一個(gè)具有狀態(tài)空間X的馬氏更新過程1假設(shè)過程是齊次的,即轉(zhuǎn)移概率P(Xn+1=j,tn+1-tn≤t

5、Xn=i)=Qij(t)(112)與n無關(guān)1我們稱轉(zhuǎn)移概率簇Q={Qij(t),i,j∈X,t≥0}為空間X上的半馬氏核1記Pij

6、=limQij(t)=P(Xn+1=j

7、Xn=i)(113)t→∞∞易知Pij≥0和∑Pij=11j=0定義112設(shè)隨機(jī)過程{X(t),t≥0}的狀態(tài)空間X={0,1,2,?}1如果它具有如下性質(zhì):當(dāng)已知過程到達(dá)狀態(tài)i時(shí)(1)過程下一次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率是Pij,且∑Pij=11j(2)給定下一個(gè)狀態(tài)j時(shí),過程在原來狀態(tài)i逗留時(shí)間有分布函數(shù)Fij(t)1則稱隨機(jī)過程{X(t),t≥0}為半馬氏過程1由定義立得如下結(jié)論:結(jié)論111給定馬氏更新過程{(Xn,tn),n≥0},則由X(t)=Xn,tn≤t

8、論112給定一半馬氏過程{X(t);t≥0},則由這過程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移時(shí)間t0,t1,t2,?和Xn=X(tn)(n≥0)確定的過程{(Xn,tn),n≥0}是一馬氏更新過程1且隨機(jī)過程{Xn,n≥0}是一馬氏鏈,有轉(zhuǎn)移概率矩陣(Pij),稱此馬氏鏈為半馬氏過程{X(t);t≥0}的嵌入馬氏鏈1收稿日期:2003-01-23作者簡(jiǎn)介:向陽(1970-),男,湖南溆浦人,懷化學(xué)院講師,碩士,主要研究隨機(jī)過程和風(fēng)險(xiǎn)理論1·24·懷化學(xué)院學(xué)報(bào)　　　　　　　　　　　　　　　　　　2003年4月2兩個(gè)實(shí)例例211MPGP1排隊(duì)系統(tǒng)假設(shè)顧客依照參數(shù)為λ的Poisson過程來到一個(gè)服務(wù)中

9、心,只有一個(gè)服務(wù)員,來客發(fā)現(xiàn)服務(wù)員空著馬上得到服務(wù),其他人排隊(duì)等待直至輪到他們1相繼的顧客的服務(wù)時(shí)間假定是獨(dú)立的隨機(jī)變量,具有共同有分布G,并假定服務(wù)時(shí)間與來到過程獨(dú)立1以Z(t)記時(shí)刻t系統(tǒng)中的顧客人數(shù),則{Z(t),t≥0}不具有馬氏性1若我們只在顧客離去的時(shí)刻考察系統(tǒng),用Xn表示第n個(gè)到達(dá)系統(tǒng)的顧客離開后余下的顧客數(shù),n≥11令t0=0,t1,t2,?是顧客離開系統(tǒng)的時(shí)間序列,Tn=tn-tn-1是第n個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間,則{(Xn,tn),n≥0}是一馬氏更新過程1對(duì)應(yīng)的由(114)式確定的半馬氏過程X(t)表示排隊(duì)系統(tǒng)在時(shí)刻t前最近一次顧客離開時(shí)留在系統(tǒng)中的顧客

10、數(shù)1又以Yn表示第n+1個(gè)顧客受服務(wù)期間來到的顧客數(shù)1可知Xn-1+Yn,若Xn>0Xn+1=(211)Yn,若Xn=0由于顧客達(dá)到過程是Poisson過程,顧客到達(dá)間隔時(shí)間服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,由指數(shù)分布有無記憶性,知∞j-λx(λx)P{Yn=j}=edG(x),j=0,1,2?(212)∫0j!由(211)(212)得{Xn}是馬氏鏈1對(duì)應(yīng)的半馬氏核為Qij(t)=P(Xn+1=j,Tn≤t

11、Xn=i)(213)當(dāng)Xn=i>0時(shí),因Yn=j-i+1≥0故有j≥i-1,此時(shí)Qij(t)=P(Xn+1=j,Tn≤t

12、Xn=i)=P(Yn=j-i+1,Tn≤t)tj-

13、i+1-λx(λx)=edG(x)(214)∫0(j-i+1)!當(dāng)Xn=i=0時(shí),Xn+1=Yn,故有Q0j(t)=P(Xn+1=j,Tn≤t

14、Xn=0)=P(Yn=j,Tn≤t)tj-λx(λx)=edG(x)(215)∫0j!綜上所述,tj-λx(λx)edG(x),i=0,j≥0∫0j!tj-i+1Qij(t)=-λx(λx)(216)edG(x),i≥1,j≥i-1∫0(j-i+1)!0,其它由(113)式Pij=limQij(t)=P(Xn+1=j

15、Xn=i)立得嵌入馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率:t→∞∞j-λx(λx)edG(x),i=0