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《浙江省A9協(xié)作體2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)Word版含解析》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
浙江省A9協(xié)作體2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線恒過一定點，則此定點為（???）A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?2.已知且,則x的值是（???）A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?63.若直線與互相垂直，則（???）A.?-2??????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????C.?-1或2??????????????????????????????????????D.?-1或-24.已知中心在坐標(biāo)原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線方程是，則它的離心率為（???）A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.?或?????????????????????????????????????D.?不確定5.若直線和圓沒有公共點，則過點的直線與橢圓的交點個數(shù)是（???）A.?0?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?不確定6.如圖，在三棱柱中，與相交于點，，，，，則線段的長度為（???）
1A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?7.設(shè)，點，過點引圓的兩條切線，，若的最大值為，則的值為（???）A.?2?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?18.已知拋物線：和圓：，過點作直線與上述兩曲線自左而右依次交于點，，，，則的最小值為（???）A.??????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線C：，下列對雙曲線C判斷正確的是（???）A.?實軸長是虛軸長的2倍??????????B.?焦距為4??????????C.?離心率為??????????D.?漸近線方程為10.點在圓：上，點在圓：上，則（???）A.?兩圓有且僅有兩條公切線????????????????????????????????????B.?的最大值為10C.?兩個圓心所在直線斜率為???????????????????????????D.?兩個圓相交弦所在直線方程為11.下列命題中，正確的有（???）
2A.?若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；B.?若非零向量，，滿足，，則有；C.?在四面體中，若，，則；D.?若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底.12.已知橢圓：上有一點，?分別為左?右焦點，，的面積為，則下列選項正確的是（???）A.?若，則???????????????????????????????B.?若，則滿足題意的點有四個C.?橢圓內(nèi)接矩形周長的最大值為20?????????????D.?若為鈍角三角形，則三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知直線的向上方向與軸正向所成的角為60°，則直線的斜率為??????.14.已知，為雙曲線的左右焦點，點在雙曲線上，滿足，求的面積為??????.15.已知實數(shù)，滿足，則的最大值為??????.16.已知A、B是拋物線上異于坐標(biāo)原點O的兩點，滿足，且面積的最小值為36，則正實數(shù)P＝??????；若OD⊥AB交AB于點D，若為定值，則點Q的坐標(biāo)為??????．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.直線經(jīng)過兩直線：和：的交點.（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）若點到直線的距離為5，求直線的方程.18.已知點，圓：.（1）若過點的圓的切線只有一條，求實數(shù)的值及切線方程；
3（2）若過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線被圓截得的弦長為，求實數(shù)的值.19.如圖，已知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，且，，?分別是?的中點，點在線段上，且.（1）求證：面；（2）求平面與平面所成二面角的余弦值.20.如圖，橢圓：的離心率是，點在短軸上，且.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，過點的動直線與橢圓交于?兩點，求面積的最大值.21.如圖，在棱長為的正方體中，，分別是棱，上的動點，且.
4（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，求與面所成角的正弦值.22.已知點是曲線上任意一點，點到點的距離與到直線軸的距離之差為1.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線，為曲線的兩條互相垂直切線，切點為A，，交點為點.（i）求點的軌跡方程；（ii）求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo).
5答案解析部分浙江省A9協(xié)作體2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期中聯(lián)考試卷一、單選題1.直線恒過一定點，則此定點為（???）A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?【答案】A【考點】恒過定點的直線【解析】【解答】直線可變形為：，由直線的點斜式方程可知：直線恒過定點。故答案為：A【分析】將直線變形為直線的點斜式方程，從而求出直線恒過的定點坐標(biāo)。2.已知且,則x的值是（???）A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6【答案】C【考點】數(shù)量積的坐標(biāo)表達式【解析】【解答】因為所以,解得。故答案為：C.【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而求出實數(shù)x的值。3.若直線與互相垂直，則（???）A.?-2??????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????C.?-1或2??????????????????????????????????????D.?-1或-2
6【答案】D【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系【解析】【解答】∵直線與互相垂直，∴解得或。故答案為：D【分析】利用已知條件結(jié)合兩直線垂直斜率之積等于-1，從而求出實數(shù)a的值。4.已知中心在坐標(biāo)原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線方程是，則它的離心率為（???）A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.?或?????????????????????????????????????D.?不確定【答案】C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【解析】【解答】雙曲線的一條漸近線方程是，當(dāng)焦點在軸上時，，；當(dāng)焦點在軸上時，，故離心率為或。故答案為：C.【分析】利用已知條件結(jié)合分類討論的方法，從而結(jié)合雙曲線中a,b,c三者的關(guān)系式和雙曲線的離心率公式，從而求出雙曲線的離心率。5.若直線和圓沒有公共點，則過點的直線與橢圓的交點個數(shù)是（???）A.?0?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?不確定【答案】C【考點】直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓錐曲線的關(guān)系【解析】【解答】因為直線和圓沒有交點，
7所以圓心到直線的距離，可得：，即點在圓內(nèi)，又因為圓內(nèi)切于橢圓，所以點在橢圓內(nèi)，即過點的直線與橢圓有兩個交點。故答案為：C.【分析】利用直線和圓沒有交點，再結(jié)合直線與圓相交位置關(guān)系判斷方法結(jié)合點到直線的距離公式，從而得出，再結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，從而判斷出點在圓內(nèi)，再利用圓內(nèi)切于橢圓，所以點在橢圓內(nèi)，從而得出過點的直線與橢圓的交點個數(shù)。6.如圖，在三棱柱中，與相交于點，，，，，則線段的長度為（???）A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
8【答案】A【考點】平面向量的基本定理及其意義，平面向量數(shù)量積的含義與物理意義，平面向量數(shù)量積的運算【解析】【解答】三棱柱中，，因為與相交于點，所以是與的中點，，所以，因為，，，，所以，所以，則線段的長度為。故答案為：A【分析】在三棱柱中，，再利用與相交于點，所以是與的中點，再結(jié)合中點的性質(zhì)和平行四邊形法則以及三角形法則，從而利用平面向量基本定理得出，所以，再利用數(shù)量積求向量的模的公式和數(shù)量積的定義，從而得出線段的長度。7.設(shè)，點，過點引圓
9的兩條切線，，若的最大值為，則的值為（???）A.?2?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?1【答案】B【考點】直線和圓的方程的應(yīng)用【解析】【解答】根據(jù)題意，設(shè)直線，圓心為，如圖，集合表示直線的左下方區(qū)域（包括直線），要使最大，則必有最小，可得的最小值為到直線的距離，此時，，故。故答案為：B.【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線，再利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心坐標(biāo)，再結(jié)合已知條件得出集合表示直線的左下方區(qū)域（包括直線），要使最大，則必有最小，可得的最小值為到直線的距離，再利用點到直線的距離公式得出MP的長，再結(jié)合角之間的關(guān)系得出的值，再利用正弦函數(shù)的定義，從而求出r的值。
10?8.已知拋物線：和圓：，過點作直線與上述兩曲線自左而右依次交于點，，，，則的最小值為（???）A.??????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?【答案】D【考點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，拋物線的定義【解析】【解答】由拋物線：可知焦點為，設(shè)直線的方程為，由，得，設(shè)，則，由拋物線的定義可知∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。故答案為：D【分析】由拋物線：可知焦點F的坐標(biāo)，設(shè)直線的點斜式方程為，設(shè)，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合韋達定理得出，由拋物線的定義可知從而得出
11，再結(jié)合均值不等式求最值的方法，從而得出的最小值。?二、多選題9.已知雙曲線C：，下列對雙曲線C判斷正確的是（???）A.?實軸長是虛軸長的2倍??????????B.?焦距為4??????????C.?離心率為??????????D.?漸近線方程為【答案】B,D【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【解析】【解答】∵雙曲線C：∴..∴∴.∴雙曲線的實軸長是，虛軸長是，A不符合題意；焦距為.B符合題意；離心率為，C不符合題意：漸近線方程為，D符合題意.故答案為：BD【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點的位置，從而求出a,b的值，再利用雙曲線的長軸長和短軸長的定義，從而得出實軸長和虛軸長的關(guān)系；再利用雙曲線中a,b,c三者的關(guān)系式，從而求出c的值，進而求出雙曲線的焦距；再利用雙曲線的離心率公式，從而求出雙曲線的離心率；再利用雙曲線的漸近線方程求解方法得出雙曲線的漸近線，進而找出雙曲線C判斷正確的選項。10.點在圓：上，點在圓：上，則（???）A.?兩圓有且僅有兩條公切線????????????????????????????????????B.?的最大值為10C.?兩個圓心所在直線斜率為???????????????????????????D.?兩個圓相交弦所在直線方程為【答案】B,C
12【考點】圓與圓的位置關(guān)系及其判定【解析】【解答】圓的圓心坐標(biāo)，半徑圓，即的圓心坐標(biāo)，半徑因為圓心距，所以兩圓外切，所以兩圓有3條公切線，A不符合題意；又在圓上，在圓上則的最大值為，B符合題意；兩圓圓心所在的直線斜率為，C符合題意；因為兩圓外切，故兩圓沒有相交弦，D不符合題意。故答案為：BC【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓和圓的圓心坐標(biāo)和半徑長，再利用兩點距離公式得出圓心距，從而得出圓心距與兩圓半徑的關(guān)系式，再利用兩圓的位置關(guān)系的判斷方法，從而推出兩圓外切，再結(jié)合兩圓的位置關(guān)系，從而判斷出兩圓有3條公切線；再利用點在圓上，在圓上，再結(jié)合幾何法得出的最大值；再利用兩點求斜率公式得出兩圓圓心所在的直線斜率；再利用兩圓外切，從而得出兩圓沒有相交弦，進而找出正確的選項。11.下列命題中，正確的有（???）A.?若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；B.?若非零向量，，滿足，，則有；C.?在四面體中，若，，則；D.?若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底.【答案】A,C,D【考點】
13向量的共線定理，平面向量的基本定理及其意義，數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系【解析】【解答】對于A：若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，只能兩個向量為共線向量，即，A符合題意；對于B：若非零向量，，滿足，，則與不一定共線，B不符合題意；對于C：因為，，所以，，將上述兩式相加得，所以，所以，C符合題意；對于D：若向量，，，是空間一組基底，則空間任意一個向量，存在唯一實數(shù)組，使，則，，也是空間的一組基底.D符合題意.故答案為：ACD.【分析】利用已知條件結(jié)合向量基底的判斷方法、向量共線定理、向量垂直數(shù)量積為0的等價關(guān)系，從而找出正確的命題。12.已知橢圓：上有一點，?分別為左?右焦點，，的面積為，則下列選項正確的是（???）
14A.?若，則???????????????????????????????B.?若，則滿足題意的點有四個C.?橢圓內(nèi)接矩形周長的最大值為20?????????????D.?若為鈍角三角形，則【答案】B,C,D【考點】橢圓的應(yīng)用【解析】【解答】∵橢圓：，∴，∴，，設(shè)，則，，若，則，所以不存在，A不符合題意；若，則，可得，故滿足題意的點有四個，B符合題意；設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個頂點為，則橢圓內(nèi)接矩形周長為其中，由得，∴橢圓內(nèi)接矩形周長的范圍為，即，C符合題意；由上知不可能為鈍角，由對稱性不妨設(shè)是鈍角，先考慮臨界情況，當(dāng)為直角時，易得，此時，當(dāng)為鈍角三角形時，，所以，D符合題意.
15故答案為：BCD【分析】利用橢圓：得出a,b的值，再結(jié)合橢圓中a,b,c三者的關(guān)系式，從而求出c的值，再結(jié)合橢圓的定義和焦距的定義，得出的值，設(shè)，再利用三角形的面積公式，得出，，再利用分類討論的方法結(jié)合已知條件，若，則，所以三角形不存在；若，從而得出滿足題意的點有四個；設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個頂點為，再結(jié)合矩形的周長公式和輔助角公式，從而得出橢圓內(nèi)接矩形周長為其中，再由結(jié)合正弦型函數(shù)的圖像求值域的方法，得出橢圓內(nèi)接矩形周長的范圍；由上知不可能為鈍角，由對稱性不妨設(shè)是鈍角，先考慮臨界情況，當(dāng)為直角時，易得，從而結(jié)合三角形面積公式，進而求出此時三角形的面積，當(dāng)為鈍角三角形時，，從而結(jié)合三角形面積公式，得出三角形的面積的取值范圍，進而找出正確的選項。三、填空題13.已知直線的向上方向與軸正向所成的角為60°，則直線的斜率為??????.【答案】【考點】直線的傾斜角，直線的斜率【解析】【解答】因為直線的向上方向與軸正向所成的角為，所以直線的傾斜角為，
16所以直線的斜率為。故答案為：。【分析】直線的向上方向與軸正向所成的角為，所以直線的傾斜角為，再結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系式，從而求出直線的斜率。14.已知，為雙曲線的左右焦點，點在雙曲線上，滿足，求的面積為??????.【答案】【考點】雙曲線的定義，三角形中的幾何計算【解析】【解答】由題意得，又因為，所以，，又，所以，所以，所以。故答案為：。【分析】由題意得，再利用雙曲線定義，解方程組求出，的值，再利用，從而結(jié)合勾股定理推出，再利用三角形面積公式得出三角形的面積。15.已知實數(shù)，滿足，則的最大值為??????.
17【答案】34【考點】圓方程的綜合應(yīng)用【解析】【解答】設(shè)，則，，又，所以，化簡可得，其中，表示以為圓心，為半徑的圓的一部分，代表圓上一點到原點距離平方的一半，如圖所示，的最大值為。故答案為：34?！痉治觥吭O(shè)，則，，再利用，所以化簡可得，其中，表示以為圓心，為半徑的圓的一部分，代表圓上一點到原點距離平方的一半，進而結(jié)合幾何法求出實數(shù)的最大值。16.已知A、B是拋物線上異于坐標(biāo)原點O的兩點，滿足，且
18面積的最小值為36，則正實數(shù)P＝??????；若OD⊥AB交AB于點D，若為定值，則點Q的坐標(biāo)為??????．【答案】3；（3，0）【考點】拋物線的應(yīng)用，直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【解答】設(shè)，因為，即，兩邊平方化簡得，所以，所以，即，解得（舍去），設(shè)直線AB：，聯(lián)立得，所以，所以，所以，又，解得，又因為，所以：直線AB為恒過定點，因為，所以，所以點D在以點，為直徑的圓上，設(shè)圓心Q，則，半徑，所以為定值，，進而求出點Q的坐標(biāo)為。故答案為：3；。
19【分析】設(shè)，再利用平行四邊形法則和三角形法則，得出，兩邊平方化簡得，再結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，所以，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得出（舍去），設(shè)直線AB的斜截式方程為：，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合韋達定理，得出，所以，再利用三角形面積公式結(jié)合二次函數(shù)求最值的方法，得出三角形面積的最小值，再利用三角形面積的最小值為36，從而求出p的值，再利用t和p的關(guān)系式，從而求出t的值，進而求出直線AB為恒過定點M的坐標(biāo)，再利用，所以，所以點D在以點，為直徑的圓上，設(shè)圓心Q，再利用代入法和兩點求距離公式和直徑與半徑的關(guān)系，從而得出為定值，所以，進而求出點Q的坐標(biāo)為。四、解答題17.直線經(jīng)過兩直線：和：的交點.（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）若點到直線的距離為5，求直線的方程.【答案】（1）解：直線方程與方程聯(lián)立,得交點坐標(biāo)為設(shè)直線的方程為：，代入交點得，所以的方程為（2）解：當(dāng)直線的斜率不存在時，得的方程為：，符合條件.當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，
20根據(jù)，解得，所以直線的方程為.綜上所述，為或【考點】直線的一般式方程，直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系，兩條直線的交點坐標(biāo)，點到直線的距離公式【解析】【分析】（1）利用已知條件，將兩直線聯(lián)立求出交點坐標(biāo)，再利用兩直線平行斜率相等，從而求出所求直線的斜率，再利用點斜式方程求出直線的方程。（2）利用已知條件結(jié)合分類討論的方法，當(dāng)直線的斜率不存在時，結(jié)合已知條件求出直線的方程，符合條件；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線的點斜式方程為：，再利用點到直線的距離公式得出直線的斜率，從而求出直線的方程。??18.已知點，圓：.（1）若過點的圓的切線只有一條，求實數(shù)的值及切線方程；（2）若過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線被圓截得的弦長為，求實數(shù)的值.【答案】（1）解：若過點的圓的切線只有一條，則在圓上，即，解得，當(dāng)時，，則切線斜率為，則切線方程為，即；當(dāng)時，，則切線斜率為，則切線方程為，即；
21（2）解：設(shè)圓心到直線的距離為，則，當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線方程為，將代入直線中得：，又因為，計算得：，所以.當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線為，將代入直線中得，所以，又因為，計算得：（舍）或，所以.綜上所述，或.【考點】圓的切線方程，直線與圓相交的性質(zhì)【解析】【分析】（1)若過點的圓的切線只有一條，則在圓上，再結(jié)合代入法得出a的值，再結(jié)合分類討論的方法結(jié)合兩點求斜率公式，得出直線OA的斜率，再結(jié)合兩直線垂直斜率之積等于-1，從而求出切線的斜率，再結(jié)合點斜式求出切線的方程，再轉(zhuǎn)化為切線的一般式方程。（2）設(shè)圓心到直線的距離為，再利用勾股定理得出d的值，再利用分類討論的方法，當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線方程為，將代入直線中得出，再利用點到直線的距離公式得出直線的斜率，進而求出實數(shù)a的值；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線為，將代入直線中得，再利用點到直線的距離公式得出t的值，進而求出實數(shù)a的值。?19.如圖，已知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，且，，?分別是?的中點，點在線段上，且.
22（1）求證：面；（2）求平面與平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）證明：以點為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，又，所以為的中點，，因為，且易知平面的一個法向量為，，所以，所以面；（2）解：，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，得，則，又平面的一個法向量，設(shè)為平面與平面所成的銳二面角，則.
23因此，平面與平面所成二面角的余弦值是.【考點】直線與平面平行的判定，用空間向量求平面間的夾角【解析】【分析】（1）以點為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再結(jié)合已知條件，從而求出點的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，從而求出向量的坐標(biāo)，再利用中點的性質(zhì)和法向量的定義，所以平面的一個法向量為，再利用結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，從而證出，進而證出面。（2）由已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，得出，，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而得出平面的一個法向量和平面的一個法向量，設(shè)為平面與平面所成的銳二面角，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式，從而得出平面與平面所成二面角的余弦值。20.如圖，橢圓：的離心率是，點在短軸上，且.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，過點的動直線與橢圓交于?兩點，求面積的最大值.【答案】（1）解：由已知，則由題意得：得，
24所以的方程為（2）解：由已知可得的斜率必存在，設(shè)的方程為：，，，直線與橢圓方程聯(lián)立得：，整理得：，由可得所以令，所以，當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值為【考點】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】（1）利用橢圓：的離心率是結(jié)合橢圓的離心率公式，得出a,c的關(guān)系式，再利用點在短軸上，且，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得出b的值，再結(jié)合橢圓中a,b,c三者的關(guān)系式，從而解方程組求出a,c的值，進而求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）由已知可得的斜率必存在，設(shè)的斜截式方程為：，，，再利用直線與橢圓相交，將直線
25與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合判別式法和韋達定理，得出和，再結(jié)合三角形的面積公式，得出，令，，再結(jié)合均值不等式求最值的方法，得出三角形面積的最大值。21.如圖，在棱長為的正方體中，，分別是棱，上的動點，且.（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，求與面所成角的正弦值.【答案】（1）證明：如圖：以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
26設(shè)，則，則，，，，，，因為，所以，可得.（2）解：，當(dāng)且僅當(dāng)即時最大，所以當(dāng)?分別為，中點時體積最大，設(shè)面的法向量為，，，，由，令可得，，所以面的法向量為，設(shè)與面所成角為，則，【考點】數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，用空間向量求直線與平面的夾角【解析】【分析】（1）以為原點，分別以，，所在直線為，，
27軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，從而求出點的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示求出向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得出，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，所以，從而證出。（2）利用已知條件結(jié)合三棱錐的體積公式和均值不等式求最值的方法，得出當(dāng)時，最大，所以當(dāng)?分別為，中點時體積最大，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而求出平面的法向量，再利用數(shù)量積求向量夾角公式結(jié)合誘導(dǎo)公式，從而求出當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時的直線與面所成角的正弦值。22.已知點是曲線上任意一點，點到點的距離與到直線軸的距離之差為1.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線，為曲線的兩條互相垂直切線，切點為A，，交點為點.（i）求點的軌跡方程；（ii）求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo).【答案】（1）解：設(shè)，則當(dāng)時，，所以，當(dāng)x>0時化簡得；當(dāng)時，由題意得，所以曲線的方程為：或.（2）解：(i)當(dāng)時，不合題意，故設(shè)，
28，則過點A的切線為：，同理可得過點的切線為：.根據(jù)可得.所以聯(lián)立兩條切線方程可得，所以的軌跡為(ii)由題意可得的直線方程為：，所以必過【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】（1）設(shè)，則當(dāng)時，，再利用兩點距離公式結(jié)合分類討論的方法，從而求出曲線C的方程。（2）（i）當(dāng)時，不合題意，故設(shè)，，則過點A的切線的斜截式方程為：，同理可得過點的切線斜截式方程為：，再根據(jù)結(jié)合兩直線垂直斜率之積等于-1，從而可得，所以聯(lián)立兩條切線方程可得點交M的橫坐標(biāo)，進而求出點的軌跡；(ii)由題意可得的直線方程，再結(jié)合點斜式求出直線AB過的定點坐標(biāo)。浙江省A9協(xié)作體2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期中聯(lián)考試卷一、單選題1.直線恒過一定點，則此定點為（???）A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?【答案】A【考點】恒過定點的直線
29【解析】【解答】直線可變形為：，由直線的點斜式方程可知：直線恒過定點。故答案為：A【分析】將直線變形為直線的點斜式方程，從而求出直線恒過的定點坐標(biāo)。2.已知且,則x的值是（???）A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6【答案】C【考點】數(shù)量積的坐標(biāo)表達式【解析】【解答】因為所以,解得。故答案為：C.【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而求出實數(shù)x的值。3.若直線與互相垂直，則（???）A.?-2??????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????C.?-1或2??????????????????????????????????????D.?-1或-2【答案】D【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系【解析】【解答】∵直線與互相垂直，∴解得或。故答案為：D【分析】利用已知條件結(jié)合兩直線垂直斜率之積等于-1，從而求出實數(shù)a的值。4.已知中心在坐標(biāo)原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線方程是，則它的離心率為（???）
30A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.?或?????????????????????????????????????D.?不確定【答案】C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【解析】【解答】雙曲線的一條漸近線方程是，當(dāng)焦點在軸上時，，；當(dāng)焦點在軸上時，，故離心率為或。故答案為：C.【分析】利用已知條件結(jié)合分類討論的方法，從而結(jié)合雙曲線中a,b,c三者的關(guān)系式和雙曲線的離心率公式，從而求出雙曲線的離心率。5.若直線和圓沒有公共點，則過點的直線與橢圓的交點個數(shù)是（???）A.?0?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?不確定【答案】C【考點】直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓錐曲線的關(guān)系【解析】【解答】因為直線和圓沒有交點，所以圓心到直線的距離，可得：，即點在圓內(nèi)，又因為圓內(nèi)切于橢圓，所以點在橢圓內(nèi)，即過點的直線與橢圓有兩個交點。故答案為：C.
31【分析】利用直線和圓沒有交點，再結(jié)合直線與圓相交位置關(guān)系判斷方法結(jié)合點到直線的距離公式，從而得出，再結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，從而判斷出點在圓內(nèi)，再利用圓內(nèi)切于橢圓，所以點在橢圓內(nèi)，從而得出過點的直線與橢圓的交點個數(shù)。6.如圖，在三棱柱中，與相交于點，，，，，則線段的長度為（???）A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?【答案】A【考點】平面向量的基本定理及其意義，平面向量數(shù)量積的含義與物理意義，平面向量數(shù)量積的運算【解析】【解答】三棱柱中，，因為與相交于點，所以是與的中點，，所以，因為
32，，，，所以，所以，則線段的長度為。故答案為：A【分析】在三棱柱中，，再利用與相交于點，所以是與的中點，再結(jié)合中點的性質(zhì)和平行四邊形法則以及三角形法則，從而利用平面向量基本定理得出，所以，再利用數(shù)量積求向量的模的公式和數(shù)量積的定義，從而得出線段的長度。7.設(shè)，點，過點引圓的兩條切線，，若的最大值為，則的值為（???）A.?2?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?1【答案】B【考點】直線和圓的方程的應(yīng)用【解析】【解答】根據(jù)題意，設(shè)直線，圓心為，如圖，集合表示直線的左下方區(qū)域（包括直線），
33要使最大，則必有最小，可得的最小值為到直線的距離，此時，，故。故答案為：B.【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線，再利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心坐標(biāo)，再結(jié)合已知條件得出集合表示直線的左下方區(qū)域（包括直線），要使最大，則必有最小，可得的最小值為到直線的距離，再利用點到直線的距離公式得出MP的長，再結(jié)合角之間的關(guān)系得出的值，再利用正弦函數(shù)的定義，從而求出r的值。?8.已知拋物線：和圓：，過點作直線與上述兩曲線自左而右依次交于點，，，，則的最小值為（???）A.??????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?【答案】D【考點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，拋物線的定義
34【解析】【解答】由拋物線：可知焦點為，設(shè)直線的方程為，由，得，設(shè)，則，由拋物線的定義可知∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。故答案為：D【分析】由拋物線：可知焦點F的坐標(biāo)，設(shè)直線的點斜式方程為，設(shè)，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合韋達定理得出，由拋物線的定義可知從而得出，再結(jié)合均值不等式求最值的方法，從而得出的最小值。?二、多選題9.已知雙曲線C：，下列對雙曲線C判斷正確的是（???）A.?實軸長是虛軸長的2倍??????????B.?焦距為4??????????C.?離心率為??????????D.?漸近線方程為
35【答案】B,D【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【解析】【解答】∵雙曲線C：∴..∴∴.∴雙曲線的實軸長是，虛軸長是，A不符合題意；焦距為.B符合題意；離心率為，C不符合題意：漸近線方程為，D符合題意.故答案為：BD【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點的位置，從而求出a,b的值，再利用雙曲線的長軸長和短軸長的定義，從而得出實軸長和虛軸長的關(guān)系；再利用雙曲線中a,b,c三者的關(guān)系式，從而求出c的值，進而求出雙曲線的焦距；再利用雙曲線的離心率公式，從而求出雙曲線的離心率；再利用雙曲線的漸近線方程求解方法得出雙曲線的漸近線，進而找出雙曲線C判斷正確的選項。10.點在圓：上，點在圓：上，則（???）A.?兩圓有且僅有兩條公切線????????????????????????????????????B.?的最大值為10C.?兩個圓心所在直線斜率為???????????????????????????D.?兩個圓相交弦所在直線方程為【答案】B,C【考點】圓與圓的位置關(guān)系及其判定【解析】【解答】圓的圓心坐標(biāo)，半徑圓，即的圓心坐標(biāo)，半徑因為圓心距，所以兩圓外切，
36所以兩圓有3條公切線，A不符合題意；又在圓上，在圓上則的最大值為，B符合題意；兩圓圓心所在的直線斜率為，C符合題意；因為兩圓外切，故兩圓沒有相交弦，D不符合題意。故答案為：BC【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓和圓的圓心坐標(biāo)和半徑長，再利用兩點距離公式得出圓心距，從而得出圓心距與兩圓半徑的關(guān)系式，再利用兩圓的位置關(guān)系的判斷方法，從而推出兩圓外切，再結(jié)合兩圓的位置關(guān)系，從而判斷出兩圓有3條公切線；再利用點在圓上，在圓上，再結(jié)合幾何法得出的最大值；再利用兩點求斜率公式得出兩圓圓心所在的直線斜率；再利用兩圓外切，從而得出兩圓沒有相交弦，進而找出正確的選項。11.下列命題中，正確的有（???）A.?若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；B.?若非零向量，，滿足，，則有；C.?在四面體中，若，，則；D.?若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底.【答案】A,C,D【考點】向量的共線定理，平面向量的基本定理及其意義，數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系【解析】【解答】對于A：若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，只能兩個向量為共線向量，即，A符合題意；對于B：若非零向量，，滿足，，則與不一定共線，B不符合題意；對于C：因為，，
37所以，，將上述兩式相加得，所以，所以，C符合題意；對于D：若向量，，，是空間一組基底，則空間任意一個向量，存在唯一實數(shù)組，使，則，，也是空間的一組基底.D符合題意.故答案為：ACD.【分析】利用已知條件結(jié)合向量基底的判斷方法、向量共線定理、向量垂直數(shù)量積為0的等價關(guān)系，從而找出正確的命題。12.已知橢圓：上有一點，?分別為左?右焦點，，的面積為，則下列選項正確的是（???）A.?若，則???????????????????????????????B.?若，則滿足題意的點有四個C.?橢圓內(nèi)接矩形周長的最大值為20?????????????D.?若為鈍角三角形，則【答案】B,C,D【考點】橢圓的應(yīng)用【解析】【解答】∵橢圓：，
38∴，∴，，設(shè)，則，，若，則，所以不存在，A不符合題意；若，則，可得，故滿足題意的點有四個，B符合題意；設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個頂點為，則橢圓內(nèi)接矩形周長為其中，由得，∴橢圓內(nèi)接矩形周長的范圍為，即，C符合題意；由上知不可能為鈍角，由對稱性不妨設(shè)是鈍角，先考慮臨界情況，當(dāng)為直角時，易得，此時，當(dāng)為鈍角三角形時，，所以，D符合題意.故答案為：BCD【分析】利用橢圓：得出a,b的值，再結(jié)合橢圓中a,b,c三者的關(guān)系式，從而求出c的值，再結(jié)合橢圓的定義和焦距的定義，得出的值，設(shè)，再利用三角形的面積公式，得出，，再利用分類討論的方法結(jié)合已知條件，若，則，所以三角形不存在；若
39，從而得出滿足題意的點有四個；設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個頂點為，再結(jié)合矩形的周長公式和輔助角公式，從而得出橢圓內(nèi)接矩形周長為其中，再由結(jié)合正弦型函數(shù)的圖像求值域的方法，得出橢圓內(nèi)接矩形周長的范圍；由上知不可能為鈍角，由對稱性不妨設(shè)是鈍角，先考慮臨界情況，當(dāng)為直角時，易得，從而結(jié)合三角形面積公式，進而求出此時三角形的面積，當(dāng)為鈍角三角形時，，從而結(jié)合三角形面積公式，得出三角形的面積的取值范圍，進而找出正確的選項。三、填空題13.已知直線的向上方向與軸正向所成的角為60°，則直線的斜率為??????.【答案】【考點】直線的傾斜角，直線的斜率【解析】【解答】因為直線的向上方向與軸正向所成的角為，所以直線的傾斜角為，所以直線的斜率為。故答案為：?！痉治觥恐本€的向上方向與軸正向所成的角為，所以直線的傾斜角為，再結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系式，從而求出直線的斜率。14.已知，為雙曲線的左右焦點，點在雙曲線上，滿足
40，求的面積為??????.【答案】【考點】雙曲線的定義，三角形中的幾何計算【解析】【解答】由題意得，又因為，所以，，又，所以，所以，所以。故答案為：?！痉治觥坑深}意得，再利用雙曲線定義，解方程組求出，的值，再利用，從而結(jié)合勾股定理推出，再利用三角形面積公式得出三角形的面積。15.已知實數(shù)，滿足，則的最大值為??????.【答案】34【考點】圓方程的綜合應(yīng)用【解析】【解答】設(shè)，則，，又，所以，化簡可得，其中，表示以為圓心，為半徑的圓的一部分，
41代表圓上一點到原點距離平方的一半，如圖所示，的最大值為。故答案為：34?！痉治觥吭O(shè)，則，，再利用，所以化簡可得，其中，表示以為圓心，為半徑的圓的一部分，代表圓上一點到原點距離平方的一半，進而結(jié)合幾何法求出實數(shù)的最大值。16.已知A、B是拋物線上異于坐標(biāo)原點O的兩點，滿足，且面積的最小值為36，則正實數(shù)P＝??????；若OD⊥AB交AB于點D，若為定值，則點Q的坐標(biāo)為??????．【答案】3；（3，0）【考點】拋物線的應(yīng)用，直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【解答】設(shè)，因為，即，兩邊平方化簡得，所以，所以，即，解得（
42舍去），設(shè)直線AB：，聯(lián)立得，所以，所以，所以，又，解得，又因為，所以：直線AB為恒過定點，因為，所以，所以點D在以點，為直徑的圓上，設(shè)圓心Q，則，半徑，所以為定值，，進而求出點Q的坐標(biāo)為。故答案為：3；?！痉治觥吭O(shè)，再利用平行四邊形法則和三角形法則，得出，兩邊平方化簡得，再結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，所以，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得出（舍去），設(shè)直線AB的斜截式方程為：，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合韋達定理，得出，所以，再利用三角形面積公式結(jié)合二次函數(shù)求最值的方法，得出三角形面積的最小值，再利用三角形面積的最小值為36，從而求出p的值，再利用t和p的關(guān)系式，從而求出t的值，進而求出直線AB為恒過定點M的坐標(biāo)，再利用，所以，所以點D在以點
43，為直徑的圓上，設(shè)圓心Q，再利用代入法和兩點求距離公式和直徑與半徑的關(guān)系，從而得出為定值，所以，進而求出點Q的坐標(biāo)為。四、解答題17.直線經(jīng)過兩直線：和：的交點.（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）若點到直線的距離為5，求直線的方程.【答案】（1）解：直線方程與方程聯(lián)立,得交點坐標(biāo)為設(shè)直線的方程為：，代入交點得，所以的方程為（2）解：當(dāng)直線的斜率不存在時，得的方程為：，符合條件.當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，根據(jù)，解得，所以直線的方程為.綜上所述，為或【考點】直線的一般式方程，直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系，兩條直線的交點坐標(biāo)，點到直線的距離公式【解析】【分析】（1）利用已知條件，將兩直線聯(lián)立求出交點坐標(biāo)，再利用兩直線平行斜率相等，從而求出所求直線的斜率，再利用點斜式方程求出直線的方程。（2）利用已知條件結(jié)合分類討論的方法，當(dāng)直線的斜率不存在時，結(jié)合已知條件求出直線的方程，符合條件；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線的點斜式方程為：
44，再利用點到直線的距離公式得出直線的斜率，從而求出直線的方程。??18.已知點，圓：.（1）若過點的圓的切線只有一條，求實數(shù)的值及切線方程；（2）若過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線被圓截得的弦長為，求實數(shù)的值.【答案】（1）解：若過點的圓的切線只有一條，則在圓上，即，解得，當(dāng)時，，則切線斜率為，則切線方程為，即；當(dāng)時，，則切線斜率為，則切線方程為，即；（2）解：設(shè)圓心到直線的距離為，則，當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線方程為，將代入直線中得：，又因為，計算得：，所以.當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線為，將代入直線中得，所以，又因為，計算得：（舍）或，所以.綜上所述，或.【考點】圓的切線方程，直線與圓相交的性質(zhì)
45【解析】【分析】（1)若過點的圓的切線只有一條，則在圓上，再結(jié)合代入法得出a的值，再結(jié)合分類討論的方法結(jié)合兩點求斜率公式，得出直線OA的斜率，再結(jié)合兩直線垂直斜率之積等于-1，從而求出切線的斜率，再結(jié)合點斜式求出切線的方程，再轉(zhuǎn)化為切線的一般式方程。（2）設(shè)圓心到直線的距離為，再利用勾股定理得出d的值，再利用分類討論的方法，當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線方程為，將代入直線中得出，再利用點到直線的距離公式得出直線的斜率，進而求出實數(shù)a的值；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線為，將代入直線中得，再利用點到直線的距離公式得出t的值，進而求出實數(shù)a的值。?19.如圖，已知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，且，，?分別是?的中點，點在線段上，且.（1）求證：面；（2）求平面與平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）證明：以點為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
46則，，，，，又，所以為的中點，，因為，且易知平面的一個法向量為，，所以，所以面；（2）解：，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，得，則，又平面的一個法向量，設(shè)為平面與平面所成的銳二面角，則.因此，平面與平面所成二面角的余弦值是.【考點】直線與平面平行的判定，用空間向量求平面間的夾角【解析】【分析】（1）以點為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再結(jié)合已知條件，從而求出點的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，從而求出向量的坐標(biāo)，再利用中點的性質(zhì)和法向量的定義，所以平面的一個法向量為，再利用結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，從而證出，進而證出面。（2）由已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，得出，
47，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而得出平面的一個法向量和平面的一個法向量，設(shè)為平面與平面所成的銳二面角，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式，從而得出平面與平面所成二面角的余弦值。20.如圖，橢圓：的離心率是，點在短軸上，且.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，過點的動直線與橢圓交于?兩點，求面積的最大值.【答案】（1）解：由已知，則由題意得：得，所以的方程為（2）解：由已知可得的斜率必存在，設(shè)的方程為：，，，直線與橢圓方程聯(lián)立得：，整理得：，由可得
48所以令，所以，當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值為【考點】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】（1）利用橢圓：的離心率是結(jié)合橢圓的離心率公式，得出a,c的關(guān)系式，再利用點在短軸上，且，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得出b的值，再結(jié)合橢圓中a,b,c三者的關(guān)系式，從而解方程組求出a,c的值，進而求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）由已知可得的斜率必存在，設(shè)的斜截式方程為：，，，再利用直線與橢圓相交，將直線與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合判別式法和韋達定理，得出和，再結(jié)合三角形的面積公式，得出，令，，再結(jié)合均值不等式求最值的方法，得出三角形面積的最大值。21.如圖，在棱長為的正方體中，，分別是棱，上的動點，且.
49（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，求與面所成角的正弦值.【答案】（1）證明：如圖：以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，，，，，，因為，所以，可得.（2）解：
50，當(dāng)且僅當(dāng)即時最大，所以當(dāng)?分別為，中點時體積最大，設(shè)面的法向量為，，，，由，令可得，，所以面的法向量為，設(shè)與面所成角為，則，【考點】數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，用空間向量求直線與平面的夾角【解析】【分析】（1）以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，從而求出點的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示求出向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得出，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，所以，從而證出。（2）利用已知條件結(jié)合三棱錐的體積公式和均值不等式求最值的方法，得出當(dāng)時，
51最大，所以當(dāng)?分別為，中點時體積最大，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而求出平面的法向量，再利用數(shù)量積求向量夾角公式結(jié)合誘導(dǎo)公式，從而求出當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時的直線與面所成角的正弦值。22.已知點是曲線上任意一點，點到點的距離與到直線軸的距離之差為1.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線，為曲線的兩條互相垂直切線，切點為A，，交點為點.（i）求點的軌跡方程；（ii）求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo).【答案】（1）解：設(shè)，則當(dāng)時，，所以，當(dāng)x>0時化簡得；當(dāng)時，由題意得，所以曲線的方程為：或.（2）解：(i)當(dāng)時，不合題意，故設(shè)，，則過點A的切線為：，同理可得過點的切線為：.根據(jù)可得.所以聯(lián)立兩條切線方程可得，所以的軌跡為(ii)由題意可得的直線方程為：，
52所以必過【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】（1）設(shè)，則當(dāng)時，，再利用兩點距離公式結(jié)合分類討論的方法，從而求出曲線C的方程。（2）（i）當(dāng)時，不合題意，故設(shè)，，則過點A的切線的斜截式方程為：，同理可得過點的切線斜截式方程為：，再根據(jù)結(jié)合兩直線垂直斜率之積等于-1，從而可得，所以聯(lián)立兩條切線方程可得點交M的橫坐標(biāo)，進而求出點的軌跡；(ii)由題意可得的直線方程，再結(jié)合點斜式求出直線AB過的定點坐標(biāo)。
