11【例4】設(shè)/(x)連續(xù)，入f〃時(shí)f(x)是X—。的〃階無窮小,求證：￡f⑴dt是“一q的〃+1階無窮小.【例5】xf0時(shí)，是x的階無窮小；療-丘是x的階無窮\+x2.3?。籗1U?是X的階無窮小，「sin產(chǎn)力是X的階無窮小.ln(l+x)」＞【例6】工一0時(shí)，下列無窮小中()比其他三個(gè)的階高,(A)x2(B)1—cosx(C)-\j\—X2—1(D)x-taar【例7】當(dāng)尢■*0時(shí)，f(x)=「"sin/力與g(x)=x3+/比較是()的無窮小.(A)等價(jià)(B)同階非等價(jià)(C)高階(D)低階
12§4連續(xù)性及其判斷1.連續(xù)性概念(1)連續(xù)的定義：函數(shù)f(x)滿足lim/(x)=/(X。)，貝標(biāo)/(X)在點(diǎn)x=xo處連續(xù);y1(x)滿足lim/(x)=/(x0)(或limf(x)=/(x0)),則稱/(x)在x=xo處右(或左)連續(xù).*?0一若/(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，則稱/(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)；若/(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且在x=a處右連續(xù)，在點(diǎn)x=b處左連續(xù)，則稱/(x)在［a,回上連續(xù).(2)單雙側(cè)連續(xù)性f(X)在X=XO處連續(xù)<=>/(X)在X=XO處既左連續(xù)，又右連續(xù).(3)間斷點(diǎn)的分類：設(shè)/(X)在點(diǎn)X=Xo的某一空心鄰域內(nèi)有定義，且沏是/(X)的間斷點(diǎn).若/(x)在點(diǎn)x=xo處的左、右極限/(xo-O)與/(xo+O)存在并相等，但不等于函數(shù)值f(xo)或/(X)在X0無定義，則稱點(diǎn)X0是可去間斷點(diǎn)；若/(X)在點(diǎn)X=X0處的左、右極限/(xo-0)與f(xo+0)存在但不等，則稱點(diǎn)即是跳躍間斷點(diǎn)：它們統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).若f(X)在點(diǎn)X=X0處的左、右極限f(xo-0)與f(xo+0)至少有一個(gè)不存在，則稱點(diǎn)Xo為第二類間斷點(diǎn).2.函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)類型的判斷：若f(x)為初等函數(shù)，則/(X)在其定義域區(qū)間D上連續(xù)，即當(dāng)開區(qū)間(a,6)uD,則/(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)；當(dāng)閉區(qū)間［c,d］uD,則f(x)在匕，田上連續(xù).若/(x)是非初等函數(shù)或不清楚它是否為初等函數(shù)，則用連續(xù)的定義和連續(xù)性運(yùn)算法則(四則運(yùn)算，反函數(shù)運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算)來判斷.當(dāng)f(x)為分段函數(shù)時(shí)，在其分界點(diǎn)處則需按定義或分別判斷左、右連續(xù)性.判斷了(X)的間斷點(diǎn)的類型，就是求極限limf(x).x->xo±03.有界閉區(qū)間［a,加上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最大值和最小值定理：設(shè)f(x)在閉區(qū)間［a,句上連續(xù)，則存在4和〃e［a,b］,使得/(O可(x)可(7),有界性定理：設(shè)f(x)在閉區(qū)間［a,句上連續(xù)，則存在M>0,使得If(x)I這M,介值定理：設(shè)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［a,句上連續(xù)，且/(a)壬/?"),則對(duì)/(a)與/(b)之間的任意一個(gè)數(shù)c,在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)&,使得f(4)=c推論1(零值定理)：設(shè)/(x)在閉區(qū)間［a,切上連續(xù)，且/(a)/(b)<0,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得f(q)=0推論2：設(shè)/(x)在閉區(qū)間［a,句上連續(xù)，且機(jī)和M分別是f(x)在［a,句上最小值和最大值，若則/(x)在［a,句上的值域?yàn)椋踡,M］.
13［例1］函數(shù)/(x)=?"si/*—2］在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.jc(x-1)(x-2)2(A)F1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).【分析一】這里二有界.只須考察g(x)=—(±2),)是初等函數(shù)，它在定義Ixl(x-l)(x-2)2域(x#l,xH2)上連續(xù)，有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界，［-1,0］u定義域，g(x)在［-1,0］有界，選(A).【分析二】設(shè)〃(%)定義在(a,b)上，若lim〃(無)=oo或limh(x)=oo,則〃(x)在(〃,x—>a+0x—>fe-0b)因lim/(x)=oo,lim/(x)=oo=>f(x)在(0,1),(1,2),(2,3)選(A).x-Mx-?2rrfx，XW2Y~Y<1【例2】設(shè)/(x)=(，g(x)=2(x—1)2VxW5I-XX>1-L,i[x+35l)[%2(x<1)=/(g(x))=<1—X(Kx<2)11—2(x—1)(2/(g(x))在x=2或5連續(xù).x=1時(shí)lim/(g(x))=lim(1-x)=0x->l+0x->l+0limf(g(x))=limx2=1x->l-0x->l-0=>x=\是/(g(x))的第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn)).【分析與解法2］不必求出/(g(x))的表達(dá)式.g(x)的表達(dá)式中，x=2或5處可添加等號(hào)，左、右連接起來=g(x)在(-8,+OO)處處連續(xù).u=g(x)=lox=1
14因此，時(shí)由連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的"(g(X))連續(xù)/=1時(shí)lim=limf(x)=lim(1-x)=0*->1+0xtI+0jt->1+0lim=limf(x)=limx2=1x->l-0x->l-0XTl-0=>X=1是f(g(犬))的第一類間斷點(diǎn).第二講一元函數(shù)微分學(xué)的概念、計(jì)算及簡(jiǎn)單應(yīng)用一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖
15一元函數(shù)微分學(xué)的概念計(jì)算與簡(jiǎn)單應(yīng)用求導(dǎo)方法微分法則求n階導(dǎo)致表達(dá)式的方法二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是①導(dǎo)數(shù)與微分的定義、幾何意義，討論函數(shù)的可導(dǎo)性及導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性，特別是分段函數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.②按定義或微分法則求各種類型函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)或微分（包括：初等函數(shù)，基指數(shù)函數(shù)，反函數(shù)，隱函數(shù)，變限積分函數(shù)，參數(shù)式，分段函數(shù)及帶抽象函數(shù)記號(hào)的復(fù)合函數(shù)），求”階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式.③求平面曲線的切線與法線，描述某些物理量的變化率.④導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用如“彈性”，“邊際”等（只對(duì)數(shù)三，數(shù)四）.
16§1一元函數(shù)微分學(xué)中的基本概念及其聯(lián)系1.可導(dǎo)與可微的定義及其聯(lián)系/（X）在即導(dǎo)：lim'（）'（°）=lim―—-~—=/'（/）?ft）x-x04->oAx/（3+&）_/（%）=a+。（1）（Atf0）,即1無窮小量Ax/'(%)是曲線y=/(x)在點(diǎn)(Xo,/(Xo))處切線的斜率.A=力"(》)二=/(/枝是相應(yīng)于醺該切線上縱坐標(biāo)的增量.質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，?時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為x=x(r),x'(%)是r=，o時(shí)刻的速度.3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)與雙側(cè)導(dǎo)數(shù)f(X)在X=Xo可導(dǎo)=/'+/),均存在且相等.此時(shí)/，(x0)=/'+(x0)=/'_(x0)/■+(x0)=lim/(%+—)-/(%),/(/)=Hm〃xo+?〃x。),Ax->0+Ax4r->0-Ax【例i】說明下列事實(shí)的幾何意義(1)/u0)=g(x0),f,a0)=g,(x0).(2)於)，g(x)在x=xo處有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，f(x0)=g(x0),/(x0)=g(x0)/"(%)=g〃(x°)￥O.
17(3)Ax)在x=x0處存在f'+(Xo),/_(x0),但/'+(/)工/_(%).(4)y=fix)在x=x()處連續(xù)且lim*")_=co.*-?■??x-x0-fg(x)xn-d<.【例2】/(x)={,6>0為某吊數(shù)?設(shè)g(Xo)=/i(Xo),g_(Xo),〃+(/)h(x)x018【例3】請(qǐng)回答下列問題：(1)設(shè)y=/(x)在x=xo可導(dǎo)，相應(yīng)于Av有Ay=f(x0+Ax)—f(沏)，dy=/r(x0)AxAx-O時(shí)它們均是無窮小.試比較下列無窮?。篈y是Ar的無窮?。籢y~dy是Ax的無窮?。籪'(x0)H0時(shí)Ay與dy是無窮小.(2)du與小“是否相等？【例4】設(shè)/(X)連續(xù)，試討論/(%)的存在性與1/(只1'1』的存在性之間的關(guān)系.(1)考察下列兩個(gè)函數(shù)圖形，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義來分析/'(%)存在與存在之【證明】因/(%)力0,由連續(xù)性，n^>0,使得當(dāng)Ix-xoI<5時(shí)有/(x)>0或/(x)<0,于是在戈0該鄰域內(nèi)必有If(x)I=/(x)或I/(X)I=—fix)之一成立，故在點(diǎn)刀=式0處兩個(gè)函數(shù)的可導(dǎo)性是等價(jià)的.(3)/5)=0時(shí)，求證：/'(尤0)=0。"(犬)1(』存在.【證明】設(shè)f(xo)=0.i/a)r存在。lim"(x°+—)lg=Hm&to+Ax加to-Axo|im必a型(NO)=lim星址出(WO)—+Ax-—Ax。lim">+嘰1而">+M=0axto+Ax右—0-Ax
19olim/(一十—)￥%)=o0,=oAv-oAx綜合可得，題目中結(jié)論(2)和(3)成立.也可以概括為：點(diǎn)x=xo是可導(dǎo)函數(shù)/(x)的絕對(duì)值函數(shù)I/(x)I的不可導(dǎo)點(diǎn)的充分必要條件是它使得/(X。)=0但/'(/)#0.【評(píng)注】論證中用到顯然的事實(shí)：lim/(x)=00,則存在5>0,使得(A)/(x)在(0,S')內(nèi)單調(diào)增加.(B)/(x)在(-60)內(nèi)單調(diào)減少.(C)對(duì)任意的xe(0,5)有(0).(D)對(duì)任意的xw(-60)有/(x)>f(0).§2一元函數(shù)求導(dǎo)法反函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)/(x)在區(qū)間可導(dǎo)，/'(x)￥0,值域區(qū)間為4，則它的反函數(shù)x=s(y)在4可導(dǎo)且dr_1dy一包dxJI【例】設(shè)y=y(x)滿足y'=2e',求它的反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)dyrAZ,,dr11_xd'x
20drI2dy4【解】一=——=-e--dyy，(x)2dy2變限積分求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)/(x)在M，句上連續(xù)，則F(x)=f/Q)df在⑶句上可導(dǎo)，且F'(x)=f(x),(aQWb)設(shè)/(x)在［c,d］上連續(xù)，當(dāng)xe［a,b］時(shí)函數(shù)"(x),v(x)可導(dǎo)，且“(x)和v(x)的值域不超出[c,d],貝iJF(x)=”(%),I/⑺也在口，切上可導(dǎo)，且心)F'(x)=/(a(x))〃'(x)-/(v(x))Mf(x),(aWxWb)【例1】設(shè)/(%)在(-8,+OO)連續(xù)且
21融)=G?￡"-s")d，求0F(X).【例2】設(shè)/(x)在(-8,+8)連續(xù)，又。(x)=gs(x-f)2/(f)ck,求0'(x),0"(x).【例3】設(shè)。(x)=W'普d/)dy,求小).【例4】設(shè)/(x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(/)=pyj/(x)dx,則尸(2)等于(A)2f(2).(B)f(2).(C)~f(2).(D)0.【分析一】先用分部積分法將尸(r)化為定積分.尸Q)=[([/(x)dx)dy=(y[/(x)dr)；：；-[yd([/(x)ck)+fW(y)dy=n尸⑴=H-l)/(t),尸'(2)=/(2),選(B).【分析二】轉(zhuǎn)化為可以用變限積分求導(dǎo)公式的情形./⑺=](f/(x)出)dy+[(]/(x)dr)dy=nF'(t)=ff(x)dx+f/(x)dr+(r-l)/(r)=(r-l)/(z)F'(2)=/(2).選(B).【分析三】交換積分順序化為定積分.F(O=ff/(x)dxd^Jdxf/(x)dyD=|(x-l)/(x)dx
22【分析四】特殊選取法.取/(x)=1(滿足條件)=>/?)=jd)，[/(x)dx=jdy[lck=[?-y)dy=-；(t-y)2=^(/-l)2F\t)=t-l,尸'(2)=1=/(2).選(B).隱函數(shù)求導(dǎo)法：【例1】y=y(x)由sin(x2+y?)+e*-xy?=0所確定，則崇=【例2】y=y(x)由下列方程確定，求包，咤.dxdr2(l)x+arctany=y；【解】對(duì)X求導(dǎo)=>1+]12y'=y',解出y'得y'=1+J.再對(duì)x求導(dǎo)得y"=-4V=-2(1+/1).(2)xQfW=ey,其中/"(x)存在，/'(x)Hl.【解】對(duì)x求導(dǎo)得0"')+xef(y)fXy)yr=eyyr利用方程化簡(jiǎn)得-+f\y)y'=y'>y'=1,xx(l-/(y))再將>'的方程對(duì)x求導(dǎo)得+/〃(y)y"+/'(y)y"=y"X解出y",并代入y'表達(dá)式nyJ(?T—'(?)2一(1-八y*若先取對(duì)數(shù)得Inx+f(y)=y然后再求導(dǎo)，可簡(jiǎn)化計(jì)算.【列3】設(shè)y=y(x)由方程y—xe，=1確定，求色巧的值.dxyo【解】原方程中令x=Ony(0)=1.將方程對(duì)x求導(dǎo)得y'-e'-xe'y'=0令x=0ny'(0)=e.將上述方程兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得y"-2e'/-x(e3)；=0ny〃(0)=2e2
23分段函數(shù)求導(dǎo)法：【列1】設(shè)/(x)=』|xI,則使尸")(x)處處存在的最高階數(shù)〃為.13.1—ln(l+x3)sin—,x>0XX【例2】設(shè)0,x=0,貝lj/(x)在x=0處1N—sinZdAx<0xJ)(A)不連續(xù)(B)連續(xù)，但不可導(dǎo)(C)可導(dǎo)但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)(D)可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)連續(xù)【分析】先按定義討論f(x)在x=0的可導(dǎo)性問題.f+(0)=hm=hm—ln(l+x)sin—=0x-?0+%x->0+rx/小、../(x)-/(0)..1.sinx2-2x_/_(0)=lim=lim-yIsintdt=hm=0x->o-xxto-x"“)a->o-2x=/+(0)=/'_(0)=0=/'(0)=0.進(jìn)一步考察f'(x)在X=0的連續(xù)性.當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)=dln(l+x3)sin3'XXln(l+x3).13x2,1ln(l+x3)1=sin—+-sincos—Xxx(l+x3)XX3X由此可知，1加尸(均不三二>/'。)在戈=0不連續(xù).因此，選(C).【例3】求常數(shù)a,b使函數(shù)/(幻=卜處處可導(dǎo)，并求出導(dǎo)數(shù).[ax+b,x<3【分析與求解】對(duì)V常數(shù)a，b,x#3時(shí)/(x)均可導(dǎo).現(xiàn)要確定a,b使/'(3)存在./(x)在x=3必須連續(xù)且，'⑶=/'⑶，由這兩個(gè)條件求出a與瓦由limf(x)=limx2=9,limf(x)=lim(ax+。)=3a+b?3+0x~^3+0x—>3—0>3—0f(x)在x=3連續(xù)，a,b滿足/(3+0)=/(3-0)=/(3)HP3a+b=9在此條件下，/(x)=lx*ax+bx<3
24nf'(x)=2x(x>3),f'(x)=a(x<3)+(3)=2x|=6J'_⑶=a/'(3月=f+(3)=f_(3)即a=6代入3a+b=9=b=—9.因此，僅當(dāng)a=6,h=-9時(shí)f(x)處處可導(dǎo)且f'(x)=)【評(píng)注】求解此類問題常犯以下錯(cuò)誤1°沒說明對(duì)V常數(shù)a,b,xW3時(shí)/(x)均可導(dǎo).2°先由x=3處可導(dǎo)求出a值，再由連續(xù)性求出b值.請(qǐng)看以下錯(cuò)誤表達(dá)：“因(+(3)=2尤=6,/'_(3)=(ax+b)‘=a*=3x=3由/'+(3)=/'_(3)得a=6.再由連續(xù)性f(3+0)=/(3-0)即9=3a+b,b=~9"錯(cuò)誤在于①當(dāng)3a+bW9時(shí)/'一(3)不存在，也不可能有，'一(3)=(ax+b)'.x=3@f(3+0)=f(3-0)不能保證/(x)在x=3連續(xù).僅當(dāng)/(3+0)=/(3-0)=/(3)時(shí)才能保證x=3連續(xù).必須先由連續(xù)性定出3a+b=9,在此條件下就可得f_(3)=a高階導(dǎo)數(shù)與〃階導(dǎo)數(shù)的求法常見的五個(gè)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式：(e或+")(")Ma%""(sin(ax+h))=a"sin(ax+b+￡■)(cos(ax+Z?))(n)=a"cos(ax+b+—)
25(
26\ax+b\)M=(_1)"T(〃-l)!。"(ax+b)n（（ax+6），）＜"）=P（夕—1）…+l）a"（ax+6）比“§3一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)（微分）概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例1】設(shè)f（x）=x",在點(diǎn)（1,1）處的切線與x軸的交點(diǎn)為（*0）,則師/?）=【例2】若周期為4的函數(shù)/（X）可導(dǎo)且XT。2x則曲線y=/（x）在點(diǎn)（5,f（5））處的切線斜率％=.【例3】設(shè)y=/（x）由方程?2-cos（xy）=e-l所確定，則曲線y=/（x）在點(diǎn)（0,1）處的法線方程為.【例4】已知曲線〃的極坐標(biāo)方程為o=2sin,，點(diǎn)M）的極坐標(biāo)為（1,-）,則點(diǎn)M）處「的切線的直角坐標(biāo)方程為.【分析一】（數(shù)學(xué)一，二）點(diǎn)M,在「上，直角坐標(biāo)為：x0=pcosO6.A=—?No“sin。(i.i)2o廠的參數(shù)方程為＜x=2sinffcosO=sin20y=2sin。sin0=1—cos20廠在"o點(diǎn)處的切線的斜率：業(yè)=2sin2￡=tan4=Jidr22cos20366
27〃在M)處的切線方程y=g+y/3(x-即y=V3x-1.【分析二】廠的方程可化為22sin。，于是"的隱式方程為W+y2=2y.由隱函數(shù)求X導(dǎo)法，得2x+2yyr=2y\yf=.l-y(x0,%)=(日，3)代入得/(年)=百，于是切線方程為?ny=—+yJ3(x)即y=V3x-1.22第三講一元函數(shù)積分學(xué)一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖
28不定積分卜|幾何意義與物理意義八U原函數(shù)的存在前［-1^1r定積分冗荷意義與警意義-1函數(shù)的可積性?■反常積分卜質(zhì)積分與暇積分（收斂與發(fā)散的定反/一「-一元函甄積分考等式表不的與不等式表不的I,分癱翔",奇函數(shù)與周期函數(shù)的積分性質(zhì)I?非負(fù)連續(xù)函數(shù)的積分性質(zhì)|心八才頓―萊布尼茨公式］'~~變限積分所定義的函數(shù)的連續(xù)性，可導(dǎo)性及求導(dǎo)公式|H基本積分表一積分一計(jì)苴一..」積分法則+極限運(yùn)直鋼U反常積分的計(jì)闈—I,,.若干基本的反常積分的斂散性I簡(jiǎn)式積>最分的分平面圖形的面積與旋轉(zhuǎn)體的體積IH1S}-平面曲線的孤長(zhǎng)與曲率,曲率圓，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，平面截面積已知的立體體積（只對(duì)數(shù)一、數(shù)二） |物理應(yīng)用（只對(duì)數(shù)一、敵二）|■度力作功、引力、壓力、質(zhì)心、函數(shù)平均倒T簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用（只對(duì)數(shù)三、數(shù)函二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是：①不定積分、原函數(shù)及定積分概念，特別是定積分的主要性質(zhì).
29②兩個(gè)基本公式：牛頓―萊布尼茲公式，變限積分及其導(dǎo)數(shù)公式.③熟記基本積分表，掌握分項(xiàng)積分法、分段積分法、換元積分法和分部積分法計(jì)算各類積分.④反常積分?jǐn)可⑿愿拍钆c計(jì)算.⑤定積分的應(yīng)用.§1一元函數(shù)積分學(xué)的基本概念與基本定理1.原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì)：(1)定義.若尸(X)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)=/(x)在某區(qū)間上成立，則稱尸(X)是八X)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)：f(x)的全體原函數(shù)稱為/(x)的不定積分，記為j/(x)ck.(2)原函數(shù)與不定積分的關(guān)系.若已知尸(x)是/(x)的一個(gè)原函數(shù)，則j/(x)ch=F(x)+C其中C是任意常數(shù).(3)求不定積分與求導(dǎo)是互為逆運(yùn)算的關(guān)素，即(]7(尤)(1?=/(x)或dj/(x)dx=f(x)dxJ/(x)dr=F(x)+C或JdF(x)=F(x)+C其中C也是任意常數(shù).(4)不定積分的基本性質(zhì)：J好'(x)dx=k(x)dx(常數(shù)k豐0)J[/(x)+g(x)]dr=j/(x)dx+Jg(x)dr2.定積分的概念與性質(zhì)：(1)定義.設(shè)a=XoVX]Vx2V…Vx0=b,令必=x：-演_1,2=max{Ax(.},若對(duì)任何。6[4],七]有!吧百/?)田存在，則稱/(X)在M，句上可積，并稱此極限值為f(X)在[。，句上的定積分，記為f/(x)dx=lim?/?)M
30定積分的值與積分變量的名稱無關(guān)，即把積分變量x換為r或“等其他字母時(shí)，有f/(x)ck=￡/(z)dr=￡/(M)d?另外，約定［/(x)dr=O,//(x)dr=—［/(x)dr.(2)可積性條件.可積的必要條件：若f(x)在［a,加上可積，則f(x)在［a,句上有界.可積函數(shù)類(可積的充分但非必要的條件)：1°f(x)在［a,句上連續(xù)，則/(X)在［a,句上可積：2°/(x)在［a,句上有界且僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則/(x)在［a,b］上可積.(3)定積分的幾何意義：設(shè)/(X)在［a,b］上連續(xù)，則j/(x)dx表示界于x軸、曲線y=/(x)以及直線x=a,x=b之間的平面圖形面積的代數(shù)和，其中在x軸上方部分取正號(hào)，在x軸下方部分取負(fù)號(hào).特別，若/'(x)在⑶句上連續(xù)且非負(fù)，則//(元)dx表示x軸，曲線y4(x)以及直線》=a,x=b圍成的曲邊梯形的面積.(4)定積分有以下性質(zhì)：1°線性性質(zhì)：若f(x),g(x)在［a,句上可積，且A、8為兩個(gè)常數(shù)，則Af(x)+Bg(x)也在［a,b］上可積，且j［A/(x)+8g(x)dr=4+8jg(x)dr.20對(duì)積分區(qū)間的可加性：若/(x)在由a、b、c三數(shù)構(gòu)成的最大區(qū)間上可積，則￡/(x)dr=［/(x)dr+f/(x)dx3°改變有限個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值不改變可積性與積分值.4°比較性質(zhì)：若/(x),g(x)在［a,切上可積，且/(x)Wg(x)在［〃，匕］上成立，貝IJ進(jìn)一步又有：若f(x),g(x)在［〃，句上連續(xù)，且f(x)Wg(x),f(x)Wg(x)在［a,句上成立，貝I」j/(x)cbVjg(x)dx若在［a,句可積，貝IJ"(x)I在［a,句可積且Wp/(x)ldx.5°積分中值定理:若/U)在［a,句上連續(xù)，則存在&G(a,b),懈f/(x)dx=/C)3-a)
311.變限積分，原函數(shù)存在定理，牛頓―萊布尼茲公式：(1)變限積分的連續(xù)性：若函數(shù)/(X)在［a,句上可積，則函數(shù)。(x)=f力在［a,b］上連續(xù).(2)變限積分的可導(dǎo)性，原函數(shù)存在定理：若函數(shù)/(x)在［a,句上連續(xù)，則函數(shù)O(x)=，/?)力就是f(x)在［a,b］上的一個(gè)原函數(shù)，即。'(X)=/(x),Vxe［a,b］.(3)不定積分與變限積分的關(guān)系.由原函數(shù)存在定理可得.若/(x)在［a,b］上連續(xù)，則不定積分\f(x)dx=f(t)dt+C,其中xoeM，句為一個(gè)定值，C為任意常數(shù).(4)牛頓―萊布尼茲公式：設(shè)/(x)在修上連續(xù)，/⑴是/(x)在功上的任一原函數(shù)，則「/(x)dx=b(x)"=/(切-尸(a).這個(gè)公式又稱微積分基本公式.推廣形式：設(shè)函數(shù)f(x)在口，用上連續(xù)，F(xiàn)(x)是/(X)在(〃，b)內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，又極限尸(4+0)和尸(6—0)存在，則￡f(x)dx=-Q=F(b-°)-F(a+°)-(5)初等函數(shù)的原函數(shù)2.周期函數(shù)與奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)：(1)周期函數(shù)的積分性質(zhì)：設(shè)/(x)在(-8,+8)連續(xù)，以r為周期，則1。/(x)dx=￡/(x)dr(a為任意實(shí)數(shù))2°ff(r)dr以T為周期。f/(x)dx=O3°j/(x)dx(BP/(x)的全體原函數(shù))為7■周期的。j/(x)ck=O【證明】10證法哈「〃x)d*/(a+T)-f(a)=0nfa+T?+rfT［f(x)dx=￡f(x)dx4_0=￡f(x)dx.證法2JTf(x)dx=J/(x)dx+Jf(x)dx+^af(x)dx,其中(T+apT+a《=丫一/pcifiijf(x)dx=f/(x-r)dx.ff(s)d手￡/(x)dx代入上式得j”f(x)dx=ff(x)dx+￡/(x)dr+￡f(x)dx=￡f(x)dx。
32(此種證法不必假定/(x)連續(xù)，只須假定/(x)在［0,T］)可積).2°f/⑺也以T為周期o『/⑺山一口⑴山=『7/⑴山鷺［〃。也=03°只須注意j/(x)dx=Jr/(r)dr+C,J'/(f)df是f(x)的一個(gè)原函數(shù).例(08,數(shù)三，數(shù)四)設(shè)/(戈)是周期為2的連續(xù)函數(shù).(I)證明對(duì)任意的實(shí)數(shù)t,有f(x)dx=ff(x)dx;
33(U)證明G(x)=f2/(，)-「2/(s)ds力是周期為2的周期函數(shù)?！痉治雠c證明】(I)(它是結(jié)論1°的特例，a=2,見證明1°)(II)由題(I)的結(jié)論，=>G(x)=f2/?)力-xf/(s)ds由于對(duì)Dx,G(x+2)—G(x)=f~2/(f)dr-(工+2)f/(s)ds-(f2/Q)力-xf/(s)dsnG(x)是周期為2的周期函數(shù).(2)奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)：設(shè)f(x)在［—a,a］連續(xù)，且為奇函數(shù)或偶函數(shù)［0(/(x)為奇函數(shù))1°ff(x)dx=\L12Jf(x)dx(/(x)為偶函數(shù))令F(x)=［：/(x)d，則=F(x)<'為偶函數(shù)若為奇潮苗)為奇函數(shù)若為偶附數(shù)c)3°若f(x)為奇函數(shù)，則在［—a,a］上/(x)的全體原函數(shù)為偶函數(shù).若f(x)為偶函數(shù)，則在［—a,a］上/(x)只有惟一的一個(gè)原函數(shù)為奇函數(shù)【證明】2。設(shè)/(x)為奇函數(shù).證法1.考察0(x)=F(x)-F(-x),則。'(x)=F'(x)+F'(-x)=f(x)+f(-x)=0(xe［-a,a］=>0(》)=常數(shù)=。(0)=0=>尸6)=/(一工)(乂€［—。，a］),即尸(x)為偶函數(shù).證法2.F(-x)=￡f(Z)dr=￡-f(-t)dt———f(s)ds=F(x),xe［—a,a］),即F(x)為偶函數(shù).(此種證法只須假設(shè)f(x)在［-a,a］可積)3。只須注意］7(x)dx=1/(r)dr+C,并利用2。的結(jié)論.【例1】^xf(x)dx=arcsinx+C,則J,：)dr【分析】【例2】f\ex)=xe-x,且>⑴=0,則/(尤)【分析】
34【例3】設(shè)/(%)的導(dǎo)數(shù)是sinx,則/(x)的原函數(shù)是【分析】【例4】設(shè)/(x)連續(xù)，f(x)=x+2j/(x)dx,則/G)=【分析】【例5】下列命題中有一個(gè)正確的是.(A)設(shè)/(x)在［a,b］可積，f(x)20,至0,則￡f(x)dx>0.(B)設(shè)/(X)在［a,bl可積，［a,￡］u［a,b］,則|/U)dx.(C)設(shè)在［a,句可積,則/(x)在［a,一可積.(D)設(shè)於)在［a,Z>］可積，g(x)在［a,刈不可積，則/)+g(x)在［a,/?］不可積,【分析1】/(x)在［a,b］可積，g(x)在［a,b］不可積=>/(x)+g(x)在［a,b］不可積.反證法.若不然，則/)+g(x)在［a,刈可積，由線性性質(zhì)ng(x)=［/(x)+g(x)］—f(x)在
35［a,b］可積，得矛盾，選(D).【分析2】舉例說明(A),(B),(C)不正確.由(A)的條件只能得j/(x)dr20.如，(a,b)Q1.xw[a,b],x^xQ,x=x0=>/*(x)20,W0(xe[a,/?]),但j/(x)dx=0.(A)不正確.關(guān)于(B),請(qǐng)看右圖，由定積分的幾何意義知f/(x)dx<0,，/(x)ck>0,(B)不正確.這里［a,c［a,h］,但，/(x)dx>f/(x)ck.關(guān)于(C),是f(x)與|/(x)|的可積性的關(guān)系.f(x)在［a,切可積總|/(刈在⑶句可積如f(x)=0,fr(x)>0,fn(x)<0.【分析】
36【例8】設(shè)尸(x)=『2"戶皿sind則尸a)(A)為正數(shù).(B)為負(fù)數(shù).(C)為0.(D)不為常數(shù)-(x2+l),若OWxVl【例9】設(shè)g(x)=￡f(u)du,其中/(x)=「則g(x)在區(qū)間(0,-(x-1),若2)內(nèi)(A)無界.(B)遞減.(C)不連續(xù).(D)連續(xù).【分析】這是討論變限積分的性質(zhì).已知結(jié)論可以用：若/(x)在［a,b］可積，則g(x)=f/(“)d”在［a,b］噬，9/(x)在［0,2］可積(有界，只有一個(gè)間斷點(diǎn))，則g(x)=在［0，2］連續(xù).選(D).1.利用定積分求某些〃項(xiàng)和式的極限［例10］limIn"(1+-)2(1+-)2.-(1+-)2=.
37nn§2基本積分表與積分計(jì)算法則§3積分計(jì)算技巧【例1］求/=『|sinx-cosx|dx.
38【例3】求/=psin°xdx,n為自然數(shù).【例5】求/=￡|sinx\arctanexdx.2n【解】/==二，sin"arctane'ck22/=j^|sinx|[arctaner+arctane-t]dx=^,2psinxdx=n,/.§4反常(廣義)積分1.基本概念(1)若limf/(x)dx3,稱「/(幻dx收斂，并記
39「"(x)dr=lim『f(x)dx否則稱「"(x)dr發(fā)散.J/At+co4/Ji若Jimp(x)ck3,稱,/(x)dr收斂，并記f/(x)dr=Jimj/(x)dx否則稱//(x)dx發(fā)散.fll什8#8若f/(x)dr,［/(x)dx均收斂，稱「/(x)dx收斂J-Xallj-oo且r7(x)dr=r/(x)dx+r/(x)dx.否則稱「/(x)dx發(fā)散.J-00J-00J/J-00(2)設(shè)/(x)在(a,b］內(nèi)V閉子區(qū)間可積，在。點(diǎn)右鄰域無界，若m極限limf/(x)dx,￡T0+L+￡稱f/(x)dx收斂，并記f/(jr)dr=limf/(x)dr否則稱f/(x)dr發(fā)散.這里x=a稱為瑕點(diǎn).若b為瑕點(diǎn)，類似定義//(x)dr.設(shè)/(x)在［a,c)(c,b］內(nèi)V閉子區(qū)間可積，在x=c?鄰域無界.若［/(x)dx,f/(x)dx均收斂，稱，/(x)dx收斂.且￡f(x)dx=_［/(x)ck+j"f(x)dx.否則稱f/(x)dr發(fā)散.(3)幾個(gè)重要的反常積分.收斂。＞1)發(fā)散(4W1)2°a>l,3°dr收斂(4V1)［發(fā)散(％21)5°sinxdx,Icosxdx,sinxdx,cosxdx均發(fā)散
40【例1]反常積分()發(fā)散.(A)f旦(B)(C)Fe-2dx(D)r-l-dxLsinx-J12上xln2x【例2】下列命題中正確的有個(gè).(1)設(shè)/(X)在(-8,+8)連續(xù)為奇函數(shù)，則r/(x)dx=0.J-8(2)設(shè)/(x)在(—8,+oo)連續(xù)，limI*/(x)dr存在，貝ij「/(x)dx收斂.Rf+ooJ-/?(3)若「/(x)dx與「g(x)dr均發(fā)散，則不能確定「"(x)+g(x)]dr是否收斂.(4)若f,/(x)dx與「/(x)dx均發(fā)散，則不能確定「/(x)ck是否收斂.【分析】要逐一分析.(1)/(x)在(-8,+oo)連續(xù)，Mr/(x)dx收斂.例如f(x)=sinx在(-8,+oo)J-co連續(xù)，為奇函數(shù)，但「sinxck發(fā)散.(1)是錯(cuò)的.(2)f(X)在(-8,+oo)連續(xù)，「/(x)dr收斂3Mp￡/(x)dx存在如/(x)=sinx,lim/?—>-HXsinxdx=0,但「sinxdx發(fā)散.RJ-x故(2)是錯(cuò)誤的.(3)正如兩個(gè)函數(shù)的極限均不存在，但它們相加后的極限可能存在，也可能不存在一樣,若[/(X)心，￡g(x)dr均發(fā)散，則不能確定，"(x)+g(x)]dx是否收斂.如/(x)=二+，，g(x)=—,則「f(x)dx,fg(x)dx均發(fā)散,但「"(x)+g(x)]ck=「當(dāng)xxx』JJ4x收斂.若取g(x)=-JlJ「"(x)+g(x)]ck=「[±+2](k發(fā)散.因此(3)是正確的.XJJXX(4)按r7(x)dx斂散性的定義，僅當(dāng)ff(x)dx,「"。)心均收斂時(shí)，「7(x)dx才J-00J-XJ)J-00是收斂的，否則為發(fā)散.因此，f均發(fā)散時(shí)「/(x)dx是發(fā)散的.(4)也不正確.
41共有1個(gè)是正確的.
422.廣義積分的計(jì)算【例3】求/=dxx(l+x2)-【例4】求/=b(1+婷)2【例5】求/=fXy/X-\【例6】求/=*(l+xn)Vl+x§5一元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用1.?元函數(shù)積分學(xué)的幾何應(yīng)用【例1】曲線L?:y=l-x2x軸和y軸所圍區(qū)域被L2:y=ax2(a>0)分成面積相等的兩部分，確定。的值.
43【解】先求L］與L?的交點(diǎn)(%o*yo)：被分成的兩部分面積分別記為4,S2，SI=r，［(l-x2)-av2］dx=--rl=□9S,+S2=J(l-A：2)(k=-由S1=S2nS|=§na=3,【例2】求由i+y2《2r與y2x確定的平面圖形繞直線X=2旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.【解一】該平面圖形可表示為O={(x,y)IOWyWl,l-J——Wy},在此平面圖形繞直線x=2旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體中縱坐標(biāo)滿足y^y+dy的一層形狀為圓環(huán)形薄片，其外半徑為l-Jl-y?-2=l+Jl-y2,內(nèi)半徑為卜一2|=2-y,從而，這個(gè)圓環(huán)形薄片的體積為dV=n[(l+J]_y2)2_(2-y)2]dy.故旋轉(zhuǎn)體的體積為卜=兀1[(l+71-y2)2-(2-y)2]dy=無'[(25/1-y2+4y-2y2-2]dy=7t(^-1).【解二】該平面圖形可表為。={(x,y)I。Wx<1,x0).(只對(duì)數(shù)一，數(shù)二)3Qnn【解】r=asin3—以6兀為周期.在［0,6兀］中，r20<=>0g［0,3k］.r'(6)=asin2—cos—,333nnnnr2(0)+rt2(0)=a2［sin6y+sin4ycos2不］=〃2sin4§于是，曲線的全長(zhǎng)L=f"J/(e)+r'2(e)d。=asin2gde=T兀。.曲線C是光滑，選定一端點(diǎn)作為度量弧S的基點(diǎn)。曲線C上每一點(diǎn)M對(duì)應(yīng)有弧長(zhǎng)S,點(diǎn)M
44處切線的傾角為a=cr(s),稱長(zhǎng)=dads為平面曲線C在點(diǎn)M的曲率，P=!為C點(diǎn)M的曲率半徑，過點(diǎn)M作曲線C的法線，在曲線凹的一側(cè)，在法線上取一點(diǎn)D,便麗=P，以。為圓心，。為半徑作一個(gè)圓，稱它為曲線C在點(diǎn)M處的曲率圓，圓心。稱為曲率中心。設(shè)曲線C的直角坐標(biāo)方程為y=y(x),y(x)二階可導(dǎo)，則曲率K=—=—ds(1+嚴(yán)嚴(yán)曲線C上點(diǎn)M(x,y(x))的曲率中心(a,萬)是a一…)y"2.一元函數(shù)積分學(xué)的物理應(yīng)用(數(shù)一，數(shù)二)【例4】設(shè)在很大的池中放有兩種液體，上層是油，比重")<1,厚度為hi，下層是水，厚度為〃2(>2滅)，現(xiàn)有半徑為R,比重夕(p>l)的球沉入池底，如將球從液體中取出需作多少功？(設(shè)移動(dòng)過程中兩種液體厚度均不變).(只對(duì)數(shù)一，數(shù)二)【解】設(shè)球心。為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸正向垂直向匕建立坐標(biāo)系如圖，可把球上xfx+dx的一個(gè)薄片看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)把球從池底完全取出液體的過程中，該薄片在水中移動(dòng)的距離是后一(R+x),這時(shí)外力的大小是重力減去浮力即(夕一1)兀(/?2-/)心，該薄片在油中移動(dòng)的距離是陽,這時(shí)外力的大小是(p-paW2-x2)dx；該薄片在空氣中移動(dòng)的距離是R+x,這時(shí)外力的大小是a(R2_x2)(k,故出取出該薄片的過程中需作功：dW=[(p-l)(/i2-/?-x)+/j,(p-p0)+(/?+x)p]n(R2-x2)dr從一/?到R積分dW,并利用奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分為零的性質(zhì)和球體積公式可得到將球從液體中取出需作的功：w=fdW=[(p-l)(/i2-/?)+(p-+pR]￡7T(R2-x2)dx4,=-7i/?[(p-l)(/i2-/?)+(p-p0)/i,+pR].平面曲線的質(zhì)心(形心)公式(數(shù)一，數(shù)二)：設(shè)質(zhì)量均勻分布的平面曲線福，其線密度為常數(shù)
45p，參數(shù)方程x=夕)，其中夕⑺，材⑴在[a,夕]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則筋的質(zhì)心(x,y)：7=^(0平面圖形的質(zhì)心(形心)公式(數(shù)一，數(shù)二)：設(shè)有平面圖形：g(x)勺(x),其中/(x),g(x)在團(tuán)，封連續(xù)，質(zhì)量均勻分布，面密度為常數(shù)，則它的質(zhì)心&J)：-fx"(x)-g(x)]dr_J]，*)—，。)比x=%，y=-^—7.f"(x)-g(x)]R>o)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的圓環(huán)體的側(cè)面積a.(卜)【解】(I)用微元法可導(dǎo)出府的質(zhì)心G5)的表達(dá)式x=1/x(s)ds,y=lfy(s)dj.(H)由題(I)得2兀亍?/=2兀jy(s)ds等式右端即筋繞x軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，左端正是府的質(zhì)心繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的圓周之長(zhǎng)與/之積，因此結(jié)論成立.(III)由題(II),又質(zhì)心丘,亍)=(0,。)，圓周長(zhǎng)為/=2兀R,于是圓環(huán)體的側(cè)面積A-2ityl-2na-2tiR-4it2aR.§6積分等式與不等式的證明【例1】設(shè)f(X)在[。，村有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(a)=f'(a)=0,求證明:【分析與證明】【證】用分部積分法
46￡f(x)dx=1/(x)d(x-h)=f'(x)(x-b)(\x=--b)d(x-b)-1,)bl(h.,=—fW(x-b)2+-\f(x)(x-bydx2a2A
47【例2】0VaVb,f(x)在[4,b]連續(xù)，并滿足：/(——)=/(x)(Vxg[6Z,h]),求證f/(x)—dr=UX【證】用換元積分法.令乂=也,貝IJ得Xarbctbra,M—,故I=f/U)—dr=-")釁+ff/(OlnW-lnfd/=ln(^)f^dx-/tx于是/=；ln(ab)f/Wx.【例3】設(shè)/(x),g(x)在口，切連續(xù)且滿足f/(r)dr2fg(1)df,x￡[a,/?]f/(r)dr=fg(r)dr求證：J#(x)48元函數(shù)微分學(xué)中的基本定理及其應(yīng)用（條件，結(jié)論與幾何意義）函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)I柯西中值定理它們之間的關(guān)系函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的變化羅爾定理與拉格朗日中值定理微分中值定理第四講、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖費(fèi)馬定理導(dǎo)致定義微分學(xué)中的基本定理及其應(yīng)用羅爾定理曲線凹凸性與曲線的切線的關(guān)系利用二階導(dǎo)數(shù)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是：①羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理及其應(yīng)用.②利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)（函數(shù)為常數(shù)，單調(diào)性與極值點(diǎn)，凹凸性與拐點(diǎn)，漸近線）.③最值問題及應(yīng)用題.④利用微分學(xué)方法證明函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)零點(diǎn)的存在性并確定個(gè)數(shù)，證明函數(shù)不等式等.
49§1一元函數(shù)微分學(xué)中的基本定理一中值定理費(fèi)馬定理：設(shè)f(X)在X=XO取極值，/(%)存在=>/'(/)=0羅爾定理：設(shè)/(x)在［a,b］連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，且/(。)=/@)=存在。€(4,b),使徼50階可導(dǎo)，是否存在ce(a,b)使得U(c)=O,為什么？【分析】【例3】設(shè)f(x)在x=xo磔，在(/一反生+S)除xo點(diǎn)可導(dǎo)且limf'(x)=A,求證f'(xo)=A-【分析與證明】§2微分中值定理的應(yīng)用——利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的變化1.函數(shù)為常數(shù)的條件與函數(shù)恒等式的證明2.函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)(1)函數(shù)的單調(diào)性的充要判別法.設(shè)/(x)在［a,b］連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，則f(x)在［a,句單調(diào)不減(單調(diào)不增)u>/'(x)20(〈0),Vxe(a,b).f(x)在［a,句單調(diào)增加(單調(diào)減少)=r_f(x)mO(WO),Vxe(a,h),2°在(a,b)的V子區(qū)間上f'(x)W0.(2)函數(shù)取極值的充分判別法.
51設(shè)/(x)在x=xo連續(xù)，在(X。-萬X。+S)\{x()}可導(dǎo)，當(dāng)尤e(x()-b,/)時(shí)/'(x)>0(<0).
52xe(x0,%+5)時(shí)/'(x)<0(>0),則x=xo是f(x)的極大(小)值點(diǎn).設(shè)/(x0)=0,f(xn)>0(<0),則x=x0是f(x)的極小(大)值點(diǎn).1.函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)(1)函數(shù)的凹凸性的充要判別法.設(shè)/(x)在［a,b］連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，f(x)在［a,切是凸(凹)的：f(x))(曲線y=/(x)(af(x)W0(20),xe(a,b),又在(a,b)的V子區(qū)間上f"(x)=0.(2)拐點(diǎn)的充分判別法與必要條件.設(shè)/(x)在xo鄰域連續(xù)，在x=x()兩側(cè)凹凸性相反，稱(x0,f(x0))是曲線y=/(x)的拐充分判別法1°設(shè)/(X)在X=X0鄰域連續(xù)，在X=Xo空心鄰域二階可導(dǎo)，且/"(X)在x=Xo兩側(cè)變號(hào)，則(xo，f(xo))為y=/(x)的拐點(diǎn).2。/"(幻=0,r3)(與)#0,則(即，f(%0))為y=f(x)的拐點(diǎn).必要條件設(shè)(xo,/(xo?為y=/(x)的拐點(diǎn)，則/"(x)=0或/〃(與)不存在.【例1】設(shè)/(x)在［0,1］上/"(x)>0,則()成立.(A)尸⑴>((0)>/(1)-/(0)(B)/⑴>/(1)-/(0)>尸(0)(C)/(D-/(0)>r⑴>/(0)(D)(⑴>/(0)-/(I)>廣(0)【例2】設(shè)/(x),g(x)恒正可導(dǎo)且/'(x)g(x)-/(x)g'(x)<0,則當(dāng)aVx<1時(shí)有
53(A)f(x)g(b)>f(b)g(x)(B)/(x)g(a)>/(a)g(x)(C)f(x)g(x)>f(b)g(b)(D)f(x)g(x)>f(a)g(a)44
54【例3】設(shè)/(x)在x=0某鄰域連續(xù)且/(O)=0,limn工2-=2,則/(x)在x=0101-cos).(A)不可導(dǎo)(B)可導(dǎo)且((0)工0(C)有極大值(D)有極小值【例4】設(shè)/(X)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，/'(0)=0,lim岑2=1，則()成立…。\x\(A)f(0)不是/(x)的極值，(0,/(0))不是y=/(x)的拐點(diǎn)(B)f(0)是/(x)的極大值(C)f(0)是/(x)的極小值(D)(0,f(0))是y=/(x)的拐點(diǎn)【例5】設(shè)/G)滿足f"(X)+夕(X)?=x且/'(0)=0則(A)f(0)是/(x)的極大值(B)f(0)是/(x)的極小值(C)點(diǎn)(0,f(0))是y=/(x)的拐點(diǎn)(D)/(0)不是/(x)的極值，(0,f(0))也不是y=f(x)的拐點(diǎn)【例6】設(shè)f(x)在(a,b)可導(dǎo)，求證：/'(X)在(a,b)為減函數(shù)of(x)55【分析與證明】(1)設(shè)/'(x)在(a,b)為減函數(shù),nf(x)—\f(x0)+/r(x0)(x-x0)]=[f'^)-fXxo)Yx-xo)°n/'區(qū))>/'(》2)，即/'(x)在(a，b)為減函數(shù).【例7】求>=(x+6)9的單調(diào)性區(qū)間，極值點(diǎn)，凹凸性區(qū)間，拐點(diǎn)與漸近線.【解】1)定義域x#0,間斷點(diǎn)x=0.,；(x+2)(x-3)〃；13x+62)y=exz，y=evt—xx由y'=。得x(-8,-2)=-2,/一2r=3,由y〃=0；(-2,--)13歌=W(--,0)130(0,3)3(3,+03)+0不m0+yH0+不m+++y月調(diào)增區(qū)間：及大值點(diǎn)x=極大值（-8,—2,相-2],[3,+00)Z小值x=3.拐點(diǎn)單調(diào)減區(qū)間［—2,0),(0,3].極小值766672--凹區(qū)間：（一8,一一］,凸區(qū)間［一一，0）,（0,+oo）,拐點(diǎn)（一一，一e6）.131313133)只有間斷點(diǎn)x=0,limy=+8=>x=0是垂直漸近線.
56XT0+vx+6-1Llim-=lim---ex=1lim(y-x)=lim[(x+6)ex-x]=limx[er-l]+6=l+6=7XT8xXT8xISXT8XT8還有斜漸近線y=x+7.§3一元函數(shù)的最值問題Jl..【例1】求/(x)=x+2cosx在[0,一]上的最大值.【例2】某公園在?高為a米的雕塑，其基高為b米，試問觀賞者離基座底部多遠(yuǎn)處，使得其視線對(duì)塑像張成的夾角最大，設(shè)觀賞者高為h米.§4微分中值定理的應(yīng)用——證明不等式【例1】試證：x>0,工#1時(shí)(f—1)
57x>(x—1)2.【例2】設(shè)f(x)在[0,1]可導(dǎo)，f(0)=0,0p3(x)d.r【分析與證明1】引進(jìn)輔助函數(shù)尸(x)=(f/(r)dr)2-f/3(/)dr要證：F(x)>0(xe(0,1]).
58由條件知，f(x)在[0,1]單調(diào)上升，f(x)>/(0)=0(xe(0,1]).從而F'(x)=/(x)[2p(Odr-/2(x)]與g(x)=21/Q)d-r(x)同號(hào).又因g(0)=0,g'(x)=2f(x)[\-f'(x)]>0(xe(0,1)])ng(x)在[0,1]單調(diào)上升，g(x)>g(0)=0(xe(0,1]),=>F\x)>0(xg(0,1])=>F(x)>F(0)=0(xe(0,1]).因此尸(1)>0,即結(jié)論成立.【分析與證明2】要證/(r⑴口〉](由條件知,J)>o,XG(0,1])令廣(x)G(x)=則由柯西中值定理(。⑴")=(⑴一“))=2」(皿⑴dr=2f/(r)dr,3⑺出=G(l)-G(0)=GW=fX^)=「(J=就黑T木⑺出與八x)用柯西中值定理)1I1Ian+lan-an+}an【例3】設(shè)〃>1,〃21,證明：—~-<-—--v—.(n+l)Ina§5微分中值定理的應(yīng)用——討論函數(shù)的零點(diǎn)【例1】設(shè)有方程/+內(nèi)一1=0,其中也為正整數(shù)，證明此方程存在惟一正根x“，并求limxn.
59【例2】設(shè)/(x)在［a,bl要導(dǎo)，/；(?)/：(/?)<0,求證：存在ce(a,b),尸(c)=0
60【例3】設(shè)/(x)在［a,b］連續(xù)，在(a,b)二階可導(dǎo)，并在(a,b)內(nèi)曲線y=/G)與弦A8相交，其中4(〃，/(a)),B(b,f(b)),求證：存在Je(〃，6)使得了"(J)【例4】設(shè)/(x)在(-oo,+00)可導(dǎo),limf(x)=A9求證：存在(一oo,+8)使得((4)X—>±ao0.【例5】設(shè)/(x),g(x)在[a,b]連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)且g(a)=0,/(b)=0,b)時(shí)/(x)WO,g(x)WO,求證：存在《e(a,b)使得/垃=一旦也./《)g@【例6】設(shè)函數(shù)/(x),g(x)在口，句上連續(xù)，在(mb)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，/(a)=g(a),f(fe)=g(h),證明：存在Je(a,b),使得了"(J)=g"C).【分析與證明一】令F(x)=f(x)-g(x)=>F(x)在[a,b]連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，在題設(shè)條件下，要證存在Je(a,b),F"(J)=0.已知尸(a)=F(b)=0,只須由題設(shè)再證3cg(a,b),F(c)=0.(1)設(shè)三1]￡(a,b)M=max/(x)=/(xj,*2w(〃，材=maxg(x)=鼠/).若[a.b][a,b]X|=X2?IXC=X|=%2?尸(C)=0.若X]WX2，不妨設(shè)X|V12，則F(X|)=/(xp—g(xj)20,F(X2)=f(X2)—g(M)<0.
61=>3cg[xpm]，F(xiàn)(c)=0.(2)由F(a)=F(c)=F(b)=0,對(duì)/(x)分別在［a,c］,［c,b］用羅爾定理二a&€(a,c),爽2《(c,b),使得/?)=0,尸&)=0，再對(duì)尸'(x)用羅爾定理=災(zāi)€(3，&)u(a,。)，使得-e)=o,即1rc)=g"c).【分析與證明二】(利用以下兩個(gè)已知的結(jié)論：1°設(shè)人(x)在(a,b)可導(dǎo)，若“(x)在(a,b)恒不為零，則/?'(x)>0(xe(a,b))或h'(x)<0(xe(.a,b)).2°設(shè)〃(x)在［a,句連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，若h(a)=h(b)=0.h(x)在［a,b］為凸(凹)函數(shù)，則〃(x)>0(<0)(xe(a,b).)同前，由題設(shè)三不€(。")，M=maxf(x)=f(xt),3x2e(a,b),M=maxg(x)=g(x2).［a,b］［a,b］令尸(x)=/(x)一g(x),現(xiàn)用反證法，若結(jié)論不對(duì)，則尸"(x)>0或尸"(x)VO(xw(〃，b)).(1)若尸"")>0(xe(o,b))=>F(x)在［a,/?］為凹函數(shù)，又尸(a)=F(b)=0=>F(x)<0(xg(a,。))，但F(X))=/(jq)-g(元2)20，得矛盾.(2)若尸"(工)<0(xe(a,b))=>F(x)在［〃，切為凹函數(shù)，又F(a)=F(b)=0=>F(x)>0(xe(a,b)),但F(%2)=/(M)—g(X2)，0,得矛盾.因此必災(zāi)w(a,。),使得尸"(J)=0,即/"C)=g〃(4).【例7】設(shè)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［0,1］連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/(I)=0.求證：至少存在一點(diǎn)"(0,1),使得勺'(&)+&尸(&)=0.【例8】確定方程/=〃/(〃>()為常數(shù))的根的個(gè)數(shù).【解】令_/1(X)=三-4.>0(-oo0(x>0)
62(2)考察區(qū)間(一8,0)./(X)在(一8,0)單調(diào)上升，又limf(x)=-a,limf(x)=+oox->—oox—>0—
63=>對(duì)Va>0,f(x)在(一8,0)有唯一零點(diǎn).(3)考察區(qū)間(0,+00).f(x)在(0,2］單調(diào)下降，在［2,+oo)單調(diào)上升，又lim/(x)=+oo,/(2)=a,lim/(x)=+ooX->0+4X-^-KJD于是，當(dāng)f(2)>0即a<￡_時(shí)f(x)在(0,+oo)無零點(diǎn).當(dāng)a=時(shí)4f(x)在(0,+oo)有唯一零點(diǎn)(即》=2),當(dāng)a>￡1時(shí)/(x)在(0,2)(2,+oo)分別有唯一零點(diǎn)，即在(0，+00)有且僅有二個(gè)零點(diǎn).4§6用微分中值定理證明函數(shù)成導(dǎo)數(shù)存在某種特征點(diǎn)【例1】已知函數(shù)/(x)在［0,1］連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)，且/(0)=0,/(1)=1.證明(1)存在;€(0,1)彳越火，)=1一J(2)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)小ge(0,l)/'(&)/'4)=1【分析與證明［(1)即證尸(x)3=/(x)-1+x在(0，1)三零點(diǎn).因F(x)在［0,1］連續(xù)，又F(0)=-1,F(1)=1異號(hào)，由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知，3^e(0,1)尸(g)=0,即尸(&)=1-V.(2)由上題的，，分別在［0,g］與［；,1］對(duì)f(x)用拉格朗日中值定理得，3zye(0,&)使得詈J?”。)=八〃)返e(I,1)使得&=兩式相乘得f'Wf\O=1.【例2】設(shè)/(x)在［a,b］連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，,求證：存在&&2€(a,6)使得.(合加(=八。)凝2【證】第一步，將中值一，g2分離到等瓢端,得：/&)tan歲=:&)當(dāng)。=卡.2cos［cossmg22第二步，根據(jù)上式兩端的形式，將等式兩端的表達(dá)式寫成適當(dāng)?shù)闹兄刀ɡ硭媒Y(jié)果注意(5仙幻'=(?0§%，9。幻'二一§也不，按柯西中值定理，存在&］,,26(。，b)分別使得/⑸-/⑷J6)/⑸-于⑷=廣④)sin力一sin。cos。cos/?—cos。sin(^2由此可得3=/Ocosa-cosb,cos。sing2sinb-sina最后，利用題設(shè)條件驗(yàn)算原等式是否成立，與第二步所得結(jié)果比較，只需驗(yàn)證當(dāng)OWaV8<711,
64時(shí)成立三角恒等式.cos"COS6=tan0+bsinb—sina為此，將以下兩個(gè)和差化積公式.c-a+b.b—a..a+b.b—acosa—cosb=2.sinsin'sino—sina=Zcossin做商即可，故，本題結(jié)我成立得缸22【例3】(08,數(shù)二)(I)證明積分中值定理，若函數(shù)/(工)在閉區(qū)間[a,bl上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)〃e[〃，力],使得jf(x)dx=f(")(b-a)(II)若函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足9(2)V9(l),°(2)V，9(x)dx,證明至少存在一點(diǎn)，e(1,3),嬉夕"(J)V0.分析與證明：(I)f(x)在⑶句連續(xù)，于是存在最大，最小值.M=maxf(x),m=minf(x)[a,b][a,b]m/(x)MM(.xe[a,b])n/n(力一a)W-a)mWff(x)dx3r|e[a，b],/(//)=—^―ff(x)dx即f/(x)dx=/(〃)(b-。)b-a41』(II)先由積分中值定理可知，?€[2,3],使得，9(x)dr寸①)現(xiàn)條件變成(p(2)>(p(1),(p(2)>(p(砂,昨(2,3]要證：3^e(1,3),對(duì)VxE(1,3),e"(x)20=>e'(x)在(1,3)單調(diào)不減.若"(x)在(1,3)恒正或恒負(fù)=>夕(x)在[1,3]單調(diào)與/(1)<(p(2),(p(2)>(p(T])矛盾，于
65是(I,3),"(7)=0,由"(x)在(1,3)單調(diào)不減n，/、信0xe(l，G，(P(x)<[20xe?,3).n(p(x)在[1,單調(diào)不增，在[4，3]單調(diào)不減.若2e[l,&]=>夕(1)2夕(2)與(p(2)>(p(1)矛盾.若2€(，川=9(2)S(p(r|)與°(2)>(p(r))矛盾.證法3：用反證法證明.已知結(jié)論：若夕"(x)20(是y=9(1)+因此°”(x)20(xe(1,［證明如下：令尸G)=F"(x)=(p\x)>0(xe(1,〃))
66因此F(x)WO即cp(x)Wg但由°(2)>(P(i),(P(2)>cp(〃)cp(2)>g(2)這便矛盾了，因此至e(1,3),夕"C)<0.微積分學(xué)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用(數(shù)三，數(shù)四)一元函數(shù)微積分學(xué)中與經(jīng)濟(jì)有關(guān)的概念與公式1.復(fù)利與貼現(xiàn)設(shè)Ai是現(xiàn)有本金，/■是年利率，連續(xù)復(fù)利計(jì)息，A,是「年末的未來值.則有復(fù)利公式：4=&e"(已知4。求4).貼現(xiàn)公式：4)=45一"(已知4求4°).2.“邊際”概念在經(jīng)濟(jì)函數(shù)中，因變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)一般用“邊際”概念.C(x)是總成本函數(shù)，則MC=叫=C'(x)稱為邊際成本函數(shù)，其中x為產(chǎn)品的產(chǎn)量，C(x)的經(jīng)濟(jì)意義是：C(a)近似于產(chǎn)量為x時(shí)再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所需增加的成本，這是因?yàn)镃(x十1)-C(x)=AC(x)(x).R(x)是總收益函數(shù)(x為銷售量)，則MR=—=R'(x)稱為邊際收益函數(shù)，它的經(jīng)濟(jì)dx意義是：R1(%)近似于銷售量為x時(shí)再銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加(或減少)的收入.L(x)是總利潤(rùn)函數(shù)(x為銷售量)，則MR=—=L'(x)稱為邊際利潤(rùn)，注意L(x)=R(x)-C(x),(x為銷售量，只考察銷售部分的成本)，則L'(x)=R'(x)-C'(x).3.彈性Ax(1)彈性概念設(shè)經(jīng)濟(jì)量x,y有函數(shù)關(guān)系y=/(x),x在xo時(shí)，相對(duì)變化為七,引起函數(shù)y的相對(duì)變化,閃二+')-/(月沱們的比值為"/生"為/(x)的平均彈性%f(x0)y0/x0y0Ax極限值蚓2/第二焉八/)稱為/(X)在X。的彈性，它反映出當(dāng)｛8｝充分小時(shí)/(x)在X。引起的“相對(duì)變化率‘一一/'(X)/(X)稱為y=/(x)的彈性函數(shù).(2)需求對(duì)價(jià)格的彈性
67設(shè)某商品的需求量。是價(jià)格P的函數(shù)，稱。=Q(P)為需求函數(shù)，則需求對(duì)價(jià)格的彈性為Ep=￡絲，也記為強(qiáng).也稱之為需求彈性QdPEP關(guān)于需求彈性（1）一?般說來Ep>0（。（P）是價(jià)格P的減函數(shù)），當(dāng)我們比較商品需求彈性的大小時(shí)，是指彈性的絕對(duì)值聞.（2）提價(jià)（AP>0）或降價(jià)（AP<0）對(duì)總收益的影響.由需求彈性可得出價(jià)格變動(dòng)如何影響銷售收益的結(jié)論.由需求彈性定義及收益與需求的關(guān)系得PdQ=E,,Qdp,R=Q（P）P求收益函數(shù)的微分得dR=QdP+PdQ=。（1+E,,）dP用微分近似改變量得A/??d/?=2（1+￡p）dP=0（1-|￡p|）dP=同VI（低彈性）時(shí)，AP<0=>AH<0（降價(jià)使收益減少）；同>1（高彈性）時(shí)，AP<0=A/?>0（降價(jià)使收益增加）：聞=1時(shí)，提或降價(jià)對(duì)收益無明顯影響.（3）收益對(duì)價(jià)格的彈性空=￡生EPRdP（4）若干關(guān)系式dR_ERfri°而而（將E=o?尸代入而表達(dá)式得到）2°|^=1+￡^（將R=Q'P求導(dǎo)得當(dāng)=Q+P筆兩邊都除。得到）3°而=00+春）（1°、2。兩式合起來）14°當(dāng)需求函數(shù)。=Q（p）存在反函數(shù)p=p（。）時(shí)，MR=dQ=P[Q）[]+jQ]【證明嚼端（。"）=尸@+喘=3意5=尸@"務(wù).QdPEP【例1】設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)Q=Q（尸）是單調(diào)減少的，收益函數(shù)R=PQ,當(dāng)價(jià)格為尸。,對(duì)應(yīng)的需求量為Q（,時(shí),邊際收益R'（Qo）=。>0而R'（4）=cVO.需求對(duì)價(jià)格的彈性E。，|Ep|=b>l,求尸。和。o.【解】Q=。（P）存在反函數(shù)P=P（。），可用上述公式A出cr,cab——=p（0[l+-]令。=。0得。=玲口一臚^）= ?dQ'Ep
68又R'（P）=Q（1+E令。=po得c=。（）（1-b）,Qo=]，/.【例2】設(shè)總成本C關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)C（x）=400+3x+^x2,需求量x關(guān)于價(jià)格?的函數(shù)為p=學(xué),求：邊際成本，邊際收益，邊際利潤(rùn)以及收益對(duì)價(jià)格的彈性.。X【解】1)由邊際成本的定義=>邊際成本MC=C'(x=3+x)502)總收益函數(shù)R=px=1004，n邊際收益R'(x)=-7=.y/x3)(設(shè)產(chǎn)量=需求量)，邊際利潤(rùn)ML=￡/(%)=/?，(%)_以支)=平-3-工y/x4)先求出需求量x為p的函數(shù)關(guān)系.p=1001002口,、104104ERpdRP'1~-7=-=>x=——=>A(p)=P'X=p—-==>——=-yjxpppEpRdP【例3】設(shè)某商品的需求量。與價(jià)格尸的函數(shù)關(guān)系為。=100—5P,若需求彈性絕對(duì)值大于1,則商品價(jià)格P的取值范圍是多少？【解】首先由。20得尸W20歿=a￡=_5---,_5P>1?>|1OO-5P|<5P(PEPdPQ100-5P100-5尸NO)<=>P>10因此，10總利潤(rùn)L(x)=R(x)—C(x)=」尤3+6》2-15-50
693(2)求2(x)在［0,+oo)的最大值點(diǎn)，由〃(外=-/+12》-11=0,得駐點(diǎn)占=1,334x2=H.L(0)=-50,L(11)=——>0,L(1)<03limL(x)=lim-r'(1-9+!+鰻)=-oonx=X2=11時(shí)總利潤(rùn)最大?XTEXT田3XXX(3)已知某產(chǎn)品的總產(chǎn)量。的變化率/(r),f為時(shí)間變量，則從r=a至h=b,該產(chǎn)品的產(chǎn)量變化為Q⑹-Q(a)(。(/)是從開始到r,產(chǎn)品的產(chǎn)量)，這段時(shí)間產(chǎn)量的平均值為0=」一(/⑺drb-a已知r=，o時(shí)總產(chǎn)量為Qo，則總產(chǎn)量函數(shù)是。⑺=0o+jf(s)ds.
70第五講泰勒公式及其應(yīng)用一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖泰勒公式間接求法定義二、重點(diǎn)考核點(diǎn)0會(huì)用泰勒公式求某些6型板限，并確定無窮小的階，會(huì)用泰勒公式證明某些不等式并會(huì)用適當(dāng)階數(shù)的泰勒公式解決與某階導(dǎo)數(shù)中間值有關(guān)的命題.§1泰勒公式及其余項(xiàng)1、帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式：設(shè)f(X)在X=XO處有"階導(dǎo)數(shù)，則f(x)-Tn(x)+R“(x),,其中7；(x)=/(xo)+^^(x-xo)+---+^-^(x-xor，4(x)=O((x-xo)")(x->xo)2.帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式：設(shè)/(x)在含x=w的區(qū)間(a,b)內(nèi)有”+1階導(dǎo)數(shù)，在［。，句有連續(xù)的〃階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)，在x與沏之間，，也可表示為己=沏+0(x-xo),0<^<1.x0=0時(shí)的泰勒公式稱為麥克勞林公式.
713.五個(gè)基本初等函數(shù)的麥克勞林公式：Xx2xne'=l+±+—+-.?+—+/?(x)1!2!n\aRn(x)=o(J)(xf°),R(x)=——xn+l(-oo0),凡“(x)=(-l)ncosOx-(-oo0)(-1)"rn+l4(X)=3-萬，XG(-1,1]八n+\(1+a嚴(yán)八、aIaa(a-1)(1+x)=1+—x+--1!2!R?(x)=o(xn)(x—>0)./+…+磯……(…+D/+*.n\/?“(x)=a(a-l)…(a—〃)(］十合尸十二向(-1<^<1)(n+1)!這五個(gè)公式是求其他初等函數(shù)泰勒公式的基礎(chǔ)，應(yīng)當(dāng)牢記并會(huì)寫出它們的余項(xiàng).§2泰勒公式的求法1、帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的求法［例1］求e-了的麥克勞林公式.【例2】求In(l+x+?)的6階泰勒公式.
72【例3】求J1+xcosx的2階泰勒公式【解】Vl+x=l+-x+--(--l)x2+o(x2)22!22cosX=1—x~+o(x~)2a/1+xcosx=1+—x-—X2+0，)28x)1——+o(x~)+)-+O(X2)1+—x—x2+o(x*)282.帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的求法【例】求f(x)=±X帶拉格朗日余項(xiàng)的麥克勞林公式1+X§3泰勒公式的應(yīng)用1.帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用【例1】設(shè)f(X)二次可導(dǎo)且lim幺d=2,貝獷(0)=,/'(0)=1。x/"(0)=.
731+--Vl+X2【例2】求/=lim—J——7x~*°(cos-e')sinx2【解】注意)177=1+工爐+_12_(_1-1口4+0,),于是分子=！/+。(》4)22!228I3又因sin尸~―>0)cosx-eA~=1—x"—(1+x~)4-o(x4)=—x"+o(廠)從而因此(cosx-er2)x2=--x44-o(x4)-x4+(?(x4)if-=--LX"°--X4+O(x4)12【例3】設(shè)/(x)=x2ln(1+x),求/(0)(〃23)[解]f(x)=x2[x--x2+-x3--??+(-l)n-3xn-2+o(xn-2)]23?n-2=丁__L*4+...+()]”-3^+0(x")2n-2=尸")(0)=讓嗎.n-2【例4】試確定常數(shù)4,B,C的值，使得e*(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3),其中是當(dāng)x-O時(shí)比丁高階的無窮小.【分析與求解一】用泰勒公式.因?yàn)閑*=l+^+-x2+-x3+o(x3),2!3!將其代入題設(shè)等式，整理得【分析與求解二】用洛必達(dá)法則.由e*(1+8x+C?)=1+Ax+o(x3),(x-0),(記)r(l+Bx+Cx2)-e-x(\+Ax)c=>J_乙11m=01。X
74nlim?+2J+心)+4H(要求分子極限為0,即l+8—A=0,否則，=…3x2nJ=lim2c'e：(2A-l-Ax)(要求分子極限為o,即24+2C-l=0,否則J=8)1。6xr..e"(1—3A+Ax)1—3A八=>J=lim-==0,即1-3A=0.io66m卜"4=0,,,i21[1-3A=O.2.帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用【例5】求證：ex>l+x+^x2>0),ex<1+x+—x2(x<0)【例6】設(shè)/(x)在[0,1]有二階導(dǎo)數(shù)，|/(x)|，，『(x)|Wb,其中a,6均為非負(fù)常數(shù)，c是(0,1)內(nèi)任意一點(diǎn)，證明：|/'(c)|42a+gb.【分析與證明】把/(O),/(I)分別在ce(0,1)展成帶拉格朗日余項(xiàng)的一階泰勒公式得/(0)=f(c)+((c)(0-c)+~/〃(3)(0-?(075【分析與證明】分別把/(一1)和/(I)在x=0展成泰勒公式，并由題設(shè)得0=/(-1)=/(0)-八0)+，(0)-"⑶(幻，1=/(1)=/(0)+/'(0)+g/(0)+g/⑶&)，ov[2<1，兩式相減消去其中未知的/(0)與/”(0)得1=，"⑶(幻+/⑶?)]。⑶?)+/⑶($)]=3若/⑶?)=/■⑶(刃，則已得證?否則，⑶&)+〃)?)]界于/⑶(口)與/⑶(一)之間，由連續(xù)函數(shù)的中間值定理知，3€e(I|,&2)，/⑶(&)=3.【例8】設(shè)f(x)在區(qū)間[一ma](a>0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0.(1)寫出/(x)的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式；(2)證在[一a,a]上至少存在一點(diǎn)小使a3f"(r])=3[f(x)dx.【分析與證明】(D對(duì)Vxe[—a,a]/(x)=/(O)+/'(O)x+(x2/”c)=r(o)x+gx2/〃0,；在0,x之間(2)將上式兩邊積分得f(x)dx=f'(Q)xdx+(^x2f'\^)dx=g[0dx由于/"(X)在[-a，a]連續(xù)，從而存在M=maxf"(x)=/"(,),其中孫￡[—a,a]l-a^lm=min/w(x)=/^(%2)?其中mw[—。，a]于是~may~m[x2dx76若有一等號(hào)成立，則已得證，否則由連續(xù)函數(shù)中間值定理，存在a]使得p-￡/(x)dx=/77)故得證.
