（精校版）湖北省理數(shù)卷文檔版（有答案）-2015年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試.doc

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絕密★啟用前2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（理工類）本試題卷共6頁(yè)，22題，其中第15、16題為選考題。全卷滿分150分。考試用時(shí)120分鐘?！镒？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1．答卷前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．選考題的作答：先把所選題目的題號(hào)在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑，再在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)答題。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。5．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．為虛數(shù)單位，的共軛復(fù)數(shù)為A．B．C．1D．2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為A．134石B．169石C．338石D．1365石3．已知的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為A．B．C．D． 4．設(shè)，，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是A．B．C．對(duì)任意正數(shù)，第4題圖D．對(duì)任意正數(shù)，5．設(shè)，.若p：成等比數(shù)列；q：，則A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件6．已知符號(hào)函數(shù)是上的增函數(shù)，，則A．　B．C．D．7．在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，為事件“”的概率，則A．B．C．D．8．將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)同時(shí)增加個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為的雙曲線，則A．對(duì)任意的，B．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，C．對(duì)任意的，D．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，9．已知集合，，定義集合，則中元素的個(gè)數(shù)為A．77B．49C．45D．3010．設(shè)，表示不超過(guò)的最大整數(shù).若存在實(shí)數(shù)，使得，，…，同時(shí)成立，則正整數(shù)的最大值是A．3B．4C．5D．6 二、填空題：本大題共6小題，考生需作答5小題，每小題5分，共25分．請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上．答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均不得分．（一）必考題（11—14題）11．已知向量，，則．12．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．第13題圖第14題圖xOyTCNAMB13．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度m.14．如圖，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于兩點(diǎn)（B在A的上方），且．（Ⅰ）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)任作一條直線與圓相交于兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：①；②；③．其中正確結(jié)論的序號(hào)是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）（二）選考題（請(qǐng)考生在第15、16兩題中任選一題作答，請(qǐng)先在答題卡指定位置將你所選的題目序號(hào)后的方框用2B鉛筆涂黑．如果全選，則按第15題作答結(jié)果計(jì)分．）第15題圖15．（選修4-1：幾何證明選講）如圖，PA是圓的切線，A為切點(diǎn)，PBC是圓的割線，且，則.16．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l 的極坐標(biāo)方程為，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，l與C相交于AB兩點(diǎn)，則.三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題滿分11分）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：0050（Ⅰ）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)的解析式；（Ⅱ）將圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象.若圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，求的最小值. 18．（本小題滿分12分）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為q．已知，，，．（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．（本小題滿分12分）第19題圖《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，過(guò)棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接（Ⅰ）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理由；（Ⅱ）若面與面所成二面角的大小為，求的值．20．（本小題滿分12分）某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)兩種奶制品．生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時(shí)，獲利1000元；生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時(shí)，獲利1200元．要求每天產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過(guò)產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過(guò)12小時(shí).假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為W121518P0.30.50.2該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利（單位：元）是一個(gè)隨機(jī)變量．（Ⅰ）求的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立，求3天中至少有1天的最大獲利超過(guò)10000元的概率．21．（本小題滿分14分）一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞轉(zhuǎn)動(dòng)一周（D不動(dòng)時(shí)，N也不動(dòng)），M處的筆尖畫出的曲線記為C．以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系． （Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)．若直線總與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由．xDOMNy第21題圖2第21題圖122．（本小題滿分14分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與e的大小；（Ⅱ）計(jì)算，，，由此推測(cè)計(jì)算的公式，并給出證明；（Ⅲ）令，數(shù)列，的前項(xiàng)和分別記為,,證明：.絕密★啟用前2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖北卷） 數(shù)學(xué)（理工類）試題參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1．A2．B3．D4．C5．A6．B7．B8．D9．C10．B二、填空題（本大題共6小題，考生需作答5小題，每小題5分，共25分）11．912．213．14．（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③15．16．三、解答題（本大題共6小題，共75分）17．（11分）（Ⅰ）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：00500且函數(shù)表達(dá)式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得.因?yàn)榈膶?duì)稱中心為，.令，解得，.由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，令，解得，.由可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值.18．（12分）（Ⅰ）由題意有，即解得或故或（Ⅱ）由，知，，故，于是 ，①.②①-②可得，故.19．（12分）（解法1）（Ⅰ）因?yàn)榈酌?，所以，由底面為長(zhǎng)方形，有，而，所以.而，所以.又因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.而，所以平面.而，所以.又，，所以平面.由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為.（Ⅱ）如圖1，在面內(nèi)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，則是平面與平面的交線.由（Ⅰ）知，，所以.又因?yàn)榈酌?，所?而，所以.故是面與面所成二面角的平面角，設(shè)，，有，在Rt△PDB中,由,得,則,解得.所以故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，.（解法2） （Ⅰ）如圖2，以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，，則，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，于是，即.又已知，而，所以.因,,則,所以.由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，第19題解答圖2第19題解答圖1即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為.（Ⅱ）由，所以是平面的一個(gè)法向量；由（Ⅰ）知，，所以是平面的一個(gè)法向量.若面與面所成二面角的大小為，則，解得.所以故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，.20．（12分）（Ⅰ）設(shè)每天兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為，相應(yīng)的獲利為，則有（1） 第20題解答圖1第20題解答圖2第20題解答圖3目標(biāo)函數(shù)為．當(dāng)時(shí)，（1）表示的平面區(qū)域如圖1，三個(gè)頂點(diǎn)分別為．將變形為，當(dāng)時(shí)，直線：在軸上的截距最大，最大獲利．當(dāng)時(shí)，（1）表示的平面區(qū)域如圖2，三個(gè)頂點(diǎn)分別為．將變形為，當(dāng)時(shí)，直線：在軸上的截距最大，最大獲利．當(dāng)時(shí)，（1）表示的平面區(qū)域如圖3，四個(gè)頂點(diǎn)分別為.將變形為，當(dāng)時(shí)，直線：在軸上的截距最大，最大獲利．故最大獲利的分布列為816010200108000.30.50.2因此，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大獲利超過(guò)10000元的概率，由二項(xiàng)分布，3天中至少有1天最大獲利超過(guò)10000元的概率為21．（14分）（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，，依題意，第21題解答圖，且， 所以，且即且由于當(dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也不動(dòng)，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲線的方程為（Ⅱ）（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為或，都有.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由消去，可得.因?yàn)橹本€總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即.①又由可得；同理可得.由原點(diǎn)到直線的距離為和，可得.②將①代入②得，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8.綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，△OPQ的面積取得最小值8. 22．（14分）（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，，即.令，得，即.①（Ⅱ）；；.由此推測(cè)：②下面用數(shù)學(xué)歸納法證明②.（1）當(dāng)時(shí)，左邊右邊，②成立.（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，②成立，即.當(dāng)時(shí)，，由歸納假設(shè)可得.所以當(dāng)時(shí)，②也成立.根據(jù)（1）（2），可知②對(duì)一切正整數(shù)n都成立.（Ⅲ）由的定義，②，算術(shù)-幾何平均不等式，的定義及①得.即.