《積化和差與和差化積公式》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)必修第二冊北師大】.docx

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第四章三角恒等變換兩角和與差的三角函數(shù)公式4.2.4積化和差與和差化積公式◆教學(xué)目標(biāo)1．能利用之前所學(xué)公式進行積化和差與和差化積公式的推導(dǎo).2．感受各個三角函數(shù)公式的使用場合以及化簡過程中的運用.◆教學(xué)重難點教學(xué)重點：利用積化和差與和差化積公式進行化簡．教學(xué)難點：積化和差與和差化積公式的推導(dǎo)與記憶．◆教學(xué)過程◆一、新課導(dǎo)入想一想：我們之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩角和與差的正弦、余弦公式，一起回顧一下.sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ接下來我們將探究三角函數(shù)積的形式與和的形式如何相互轉(zhuǎn)化.設(shè)計意圖：本節(jié)課的核心內(nèi)容是積化和差與和差化積公式的記憶與運用，所以我們采取先示范推導(dǎo)方法，然后讓學(xué)生自行推導(dǎo)其它的公式，這樣可以幫助學(xué)生更好地進行公式的記憶．二、新知探究問題1：請把cosαcosβ轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的和的形式.答案：cosαcosβ=12cosαcosβ+cosαcosβ=12cosαcosβ+sinαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=12[cosα-β+cosα+β]問題2：仿照剛才的做法，把sinαsinβ轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的和的形式. 答案：sinαsinβ=-12-sinαsinβ-sinαsinβ=12cosαcosβ-sinαsinβ-cosαcosβ-sinαsinβ=-12[cosαcosβ-sinαsinβ-(cosαcosβ+sinαsinβ)]=-12[cosα+β-cosα-β]按照以上做法，我們可以得出以下四條積化和差公式cosαcosβ=12[cosα+β+cosα-β]sinαsinβ=-12[cosα+β-cosα-β]sinαcosβ=12[sinα+β+sinα-β]cosαsinβ=12[sinα+β-sinα-β]問題3：請把sinα+sinβ轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的積的形式.答案：設(shè)α+β=x,α-β=y,則α=x+y2,β=x-y2則sinαcosβ=12[sinα+β+sinα-β]可以改寫為2sinx+y2cosx-y2=sinx+siny故sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2同理我們可以得到以下三個和差化積公式sinα-sinβ=2cosα+β2sinα-β2cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα-β2設(shè)計意圖： 這個環(huán)節(jié)的關(guān)鍵是通過老師對推導(dǎo)過程的示范，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造能力，讓他們自己去探究推導(dǎo)余下的公式，這樣他們就算是忘記了公式本身，只要知道原理，一樣可以通過自身能力把公式推導(dǎo)出來.三、應(yīng)用舉例例1：求sin5π12cosπ12的值解：sin5π12cosπ12=12sin5π12+π12+sin5π12-π12=12sinπ2+sinπ3=121+32=12+34例2：求sin15°sin30°sin75°的值解：sin15°sin30°sin75°=12sin15°sin75°=-14[cos15°+75°-cos15°-75°]=-14[cos90°-cos60°]=-14×-12=18例3：把sin103°+sin17°化為積的形式.解：sin103°+sin17°=2sin103°+17°2cos103°-17°2=2sin60°cos43°=3cos43°例4：把cosα+π4-cosα-π4化為積的形式.解：cosα+π4-cosα-π4=-2sinα+π4+α-π42sinα+π4-α-π42=-2sinαcosπ4=-2sinα例5：把cosx+32化為積的形式. 解：cosx+32=cosx+cosπ6=2cosx+π62cosx-π62=2cosx2+π12cosx2-π12四、課堂練習(xí)1.把下列各式化成積的形式（1）sin54°+sin66°（2）cos40°+cos52°答案：（1）sin54°+sin66°=2sin54°+66°2cos54°-66°2=2sin60°cos6°=3cos6°（2）cos40°+cos52°=2cos40°+52°2cos40°-52°2=2cos46°cos6°2.把下列各式化成積的形式（1）sin3x-sin5x（2）cos50°-cos70°答案：（1）sin3x-sin5x=2cos3x+5x2sin3x-5x2=-2cos4xsinx（2）cos50°-cos70°=-2sin50°+70°2sin50°-70°2=2sin60°sin10°=3sin10°3.把下列各式化成和或差的形式 （1）sin64°cos20°（2）sin84°cos114°答案：（1）sin64°cos20°=12[sin64°+20°+sin64°-20°]=12(sin84°+sin44°)=12sin84°+12sin44°（2）sin84°cos114°=12[sin84°+114°+sin84°-114°]=12(sin198°-sin30°)=-12sin18°-144.把下列各式化成和或差的形式（1）cosπ8cosπ8（2）sin2sin1.2答案：（1）cosπ8cosπ8=12[cosπ8+π8+cosπ8-π8]=12(cosπ4+cos0)=24+12（2）sin2sin1.2=-12[cos2+1.2-cos2-1.2]=12(cos3.2-cos0.8)=12cos3.2-12cos0.8五、課堂小結(jié)這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了和差化積與積化和差的公式.和差化積：sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2sinα-sinβ=2cosα+β2sinα-β2cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα-β2 積化和差：cosαcosβ=12[cosα+β+cosα-β]sinαsinβ=-12[cosα+β-cosα-β]sinαcosβ=12[sinα+β+sinα-β]cosαsinβ=12[sinα+β-sinα-β]六、布置作業(yè)教材P152練習(xí)第3題．