《復數(shù)的加法與減法》示范公開課教案【高中數(shù)學必修第二冊北師大】.docx

《《復數(shù)的加法與減法》示范公開課教案【高中數(shù)學必修第二冊北師大】.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

第五章復數(shù)5.2.1復數(shù)的加法與減法◆教學目標1.學會復數(shù)代數(shù)形式的加減運算法則，能夠運用法則求兩個復數(shù)的和與差；2.了解復數(shù)的加法運算的交換律、結(jié)合律；3.了解復數(shù)加法運算、減法運算的幾何意義．◆教學重難點◆教學重點：復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算法則及其運算律，復數(shù)加、減運算的幾何意義．教學難點：復數(shù)減法的運算法則．◆教學過程一、新課導入問題1：我們?yōu)榱私鉀Q類似x2+1=0在實數(shù)范圍無解的問題，引入了虛數(shù)單位i，從而把數(shù)集范圍從實數(shù)集擴大到復數(shù)集.依據(jù)我們研究實數(shù)的經(jīng)驗，接下來我們要研究復數(shù)的哪些問題？答案：接下來要研究討論復數(shù)集中的運算問題.追問：還記得復數(shù)的概念嗎？答案：對于形如：z=a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復數(shù).其中i叫做虛數(shù)單位，a叫做復數(shù)的實部，b叫做復數(shù)的虛部.設計意圖：通過復習回顧數(shù)集的擴展、復數(shù)概念為探究本節(jié)課的新知識作鋪墊.二、新知探究問題2：我們希望在擴充到復數(shù)集后，兩個復數(shù)的和仍是一個復數(shù)，并且保持實數(shù)的運算律，設z1=a+bi,z2=c+di（a，b，c，d∈R）是任意兩個復數(shù)，該如何規(guī)定復數(shù)的加法法則呢？答案：z1+z2=a+bi+c+di，由于期望加法結(jié)合律成立，故z1+z2=(a+c)+(bi+di) ；由于期望乘法對加法滿足分配律，故z1+z2=(a+c)+(b+d)i，所以我們規(guī)定：設z1=a+bi,z2=c+di（a，b，c，d∈R），則z1+z2=(a+c)+(b+d)i.追問1：兩個復數(shù)的和是復數(shù)嗎，它的值唯一確定嗎？答案：兩個復數(shù)的和仍然是個復數(shù)，且是一個確定的復數(shù)，它可以推廣到多個復數(shù)相加；追問2：當b=0，d=0時，與實數(shù)加法法則一致嗎？答案：當b=0，d=0時，復數(shù)的加法與實數(shù)加法法則一致；追問3：它的實質(zhì)是什么？類似于實數(shù)的哪種運算方法？答案：兩個復數(shù)的和的實部是它們的實部的和，兩個復數(shù)的和的虛部是它們的虛部的和，類似于實數(shù)運算中的合并同類項.設計意圖：加深對復數(shù)加法法則的理解，且與實數(shù)類比，了解規(guī)定的合理性.將實數(shù)的運算通性、通法擴充到復數(shù)，有利于培養(yǎng)學生的學習興趣.問題3：我們知道，實數(shù)的減法是加法的逆運算，類比實數(shù)減法的意義，你認為該如何定義復數(shù)的減法？答案：類比實數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復數(shù)的減法是加法的逆運算，我們通過引入相反數(shù)來定義復數(shù)的減法．給定復數(shù)z2，若存在復數(shù)z，使得z2+z=0，則稱z是z2的相反數(shù)，記作z=-z2.設z2=c+di的相反數(shù)是z=x+yix，y，c，d∈R，則c+x+d+yi=0，解得x=-c，y=-d，即z=-c-di=-c+di=-z2.對任意的復數(shù)z1=a+bi和非零復數(shù)z2=c+di，規(guī)定復數(shù)的減法z1-z2=z1+-z2，即減去一個復數(shù)，等于加上這個復數(shù)的相反數(shù)，也就是：a+bi-c+di=a-c+b-di.追問1：推導一個復數(shù)的相反數(shù)時用到了什么方法？答案：我們在推導一個復數(shù)的相反數(shù)時，應用了待定系數(shù)法，這種方法也是確定未知復數(shù)實部與虛部經(jīng)常用的一種方法.追問2：兩個復數(shù)的差是復數(shù)嗎，它的值唯一確定嗎？答案：兩個復數(shù)的差與和相同，仍然是個復數(shù)，且是一個確定的復數(shù).追問3：復數(shù)的減法的實質(zhì)是什么？類似于實數(shù)的哪種運算方法？答案：兩個復數(shù)的差的實部是它們的實部的差，兩個復數(shù)的差的虛部是它們的虛部的差，類似于實數(shù)運算中的合并同類項. 問題4：實數(shù)的加法有交換律、結(jié)合律，復數(shù)的加法滿足這些運算律嗎？答案：對任意的z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+?z1，z1+z2+z3=z1+?z2+?z3.證明：設z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R），則z1+z2=(a+c)+(b+d)i.z2+z1=(c+a)+(d+b)i.因為a+c=c+a，b+d=d+b，所以z1+z2=z2+z1.證明：設z1=a+bi，z2=c+di，z3=e+fi（a，b，c，d，e，f∈R），z1+z2+z3=a+c+(b+d)i+e+fi=a+c+e+b+d+fi，z1+?z2+?z3=a+bi+(c+e)+(d+f)i=a+c+e+b+d+fi，所以z1+z2+z3=z1+?z2+?z3.問題5：我們知道，復數(shù)與復平面內(nèi)以原點為起點的向量有一一對應的關系．而我們討論過向量加法的幾何意義，你能由此出發(fā)討論復數(shù)加法的幾何意義嗎？答案：如圖z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）分別與向量OZ1=(a,b)，OZ2=(c,d)對應．由平面向量的坐標運算法則，得OZ1+OZ2=(a+c,b+d).而z1+z2=(a+c)+(b+d)i.這說明兩個向量OZ1與OZ2的和就是與復數(shù)(a+c)+(b+d)i對應的向量.因此，復數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行，這是復數(shù)加法的幾何意義．問題6：類比復數(shù)加法的幾何意義，你能得出復數(shù)減法的幾何意義嗎？答案：如圖z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）分別與向量OZ1=(a,b)，OZ2=(c,d)對應．由平面向量的坐標運算法則，得OZ1+OZ2=(a-c,b-d)，而z1-z2=(a-c)+(b-d)i.這說明兩個向量OZ1與OZ2的差就是與復數(shù)(a-c)+(b-d)i對應的向量. 設計意圖：通過向量的知識,讓學生體會從數(shù)形結(jié)合的角度來認識復數(shù)的加減法法則,訓練學生的形象思維能力,加深復數(shù)幾何意義的理解，也培養(yǎng)了學生的數(shù)形結(jié)合思想.復數(shù)的減法運算法則是通過轉(zhuǎn)化為加法運算而得到的,滲透了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法.三、應用舉例例1計算：(-5+3i)+(2-4i)+(23-4i)．解：原式=-5+3i+2-4i+23-4i=(-5+2)+(3-4)i+(23-4i)=(-3-i)+(23-4i)=(-3+23)+(-1-4)i=(-3+23)-5i．例2設z=a+bi（a，b∈R），求z+z與z-z．解：因為z=a+bi，所以z=a-bi，z+z=a+bi+a-bi=a+a+b-bi=2a，z-z=a+bi-a-bi=a-a+b--bi=2bi．例3已知向量OZ對應的復數(shù)是z=-2+23i，請計算z+-2-i的結(jié)果，并給出幾何解釋．解：因為z+-2-i=-2+23i+-2-i=-2-2+23-1i=-4+23-1i．如圖，這兩個復數(shù)的和與相應的兩個向量的和相對應． 四、課堂練習1.已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)z=3+i+-3-2i的虛部是(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．-1　　　　D．-i2.設z1=x+2i，z2=3-yi(x，y∈R)且z1+z2=5-6i，則z1-z2=________．3.如圖所示，在復平面內(nèi)，平行四邊形OABC的頂點O，A，C分別對應復數(shù)0，3+2i，-2+4i.求：向量AO、CA、OB對應的復數(shù)．參考答案：1.解：z=3+i+-3-2i=3-3+1-2i=-i，故復數(shù)z的虛部為-1.答案：C2.解：∵z1=x+2i，z2=3-yi且z1+z2=5-6i，∴x+3+2-yi=5-6i，∴x+3=5，2-y=-6，即x=2y=8.∴z1-z2=2+2i-3-8i=-1+10i.?3.解：因為AO=-OA，所以向量AO對應的復數(shù)為-3-2i.因為CA=OA-OC，所以向量CA對應的復數(shù)為3+2i--2+4i=5-2i.因為OB=OA+OC，所以向量OB對應的復數(shù)為3+2i+-2+4i=1+6i. 五、課堂小結(jié)1.復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法的運算法則.復數(shù)的加(減)法實質(zhì)是：復數(shù)的實部與實部、虛部與虛部分別相加減;2.復數(shù)加法減法的幾何意義.復數(shù)的加法可以按照向量的加法（平行四邊形法則）來進行，復數(shù)的減法可以按照向量的減法（三角形法則）來進行.六、布置作業(yè)教材第171頁練習第1題．