《二倍角公式》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)必修第二冊北師大】.docx

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第四章三角恒等變換4.3.1二倍角公式◆教學(xué)目標(biāo)1．理解二倍角公式與兩角和公式之間的聯(lián)系，能利用兩角和公式探索二倍角公式及相關(guān)變形式，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用．2．讓學(xué)生經(jīng)歷二倍角公式的推導(dǎo)及變形過程，獲得解決與倍角相關(guān)的化簡、求值、證明等問題的技能．3．在公式生成與應(yīng)用過程中，體會由一般到特殊、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，理解二倍角中“倍”的含義，了解研究問題的過程與方法．◆教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦和正切公式．難點(diǎn)：二倍角的理解及其靈活運(yùn)用．◆教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入相關(guān)著名歷史人物：比魯尼(973～1048)是波斯著名科學(xué)家、史學(xué)家、哲學(xué)家．青年時曾到朱爾占師從艾布·納斯?fàn)枴ぢK爾等著名學(xué)者．他博覽群書，廣交學(xué)者，學(xué)識淵博，富有創(chuàng)造性，對史學(xué)、地理、天文、數(shù)學(xué)和醫(yī)學(xué)均有很深的造詣．比魯尼的著作《馬蘇德規(guī)律》在三角學(xué)方面有創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)，他給出一種測量地球半徑的方法．比魯尼還證明了正弦公式、和差化積公式、倍角公式和半角公式．二、新知探究問題1：將兩角和（）的正弦、余弦和正切公式中的換成，會得到什么結(jié)果？答案：因為兩角和的正弦公式為：sin（）＝sinαcos＋cosαsin，將公式中的換成可得sin（）＝sinαcos＋cosαsin，化簡得sin2α=2sinαcosα(S2α)．7 同理可得：cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)；tan2α＝(T2α)（α、2α均不等于＋kπ，k∈Z．）追問1：根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sinα或cosα表示cos2α？答案：cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；或cos2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α．追問2：tan2α公式還可以怎么推導(dǎo)？答案：可以利用正弦和余弦的二倍角相除得到二倍角的正切公式，即tan2α＝．分子分母同除以cos2α得tan2α＝．追問3：倍角公式中的“倍角”僅是指α與2α嗎？答案：倍角公式不僅可運(yùn)用于2α是α的二倍的情況，還可運(yùn)用于4α作為2α的二倍，α作為的二倍，3α作為的二倍，α＋β作為的二倍等情況．追問4：sin3α用二倍角公式展開是什么？答案：sin3α＝2sincos．問題2：余弦的二倍角公式還可以做哪些變形？答案：升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α．降冪公式：cos2α＝，sin2α＝．總結(jié)：以上這些問題，通過回顧所學(xué)兩角和的正弦、余弦、正切公式，令β=α，經(jīng)過三角恒等變換推導(dǎo)出二倍角公式及相關(guān)的變形公式．設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷二倍角公式的推導(dǎo)及變形過程，了解兩角和的三角函數(shù)公式和二倍角公式的內(nèi)在聯(lián)系，還可以交流tan2α的不同推導(dǎo)過程．讓學(xué)生深刻領(lǐng)會從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想．【公式鞏固】1．sincos的值為________．7 【解析】sincos＝sin＝．【答案】．2．計算cos215°－sin215°結(jié)果等于(　　)A．B．C．D．【解析】cos215°－sin215°＝cos30°＝．【答案】D3．已知α為第三象限角，cosα＝－，則tan2α＝________．【解析】因為α為第三象限角，cosα＝－，所以sinα＝－，所以tanα＝，tan2α＝＝－．【答案】－．三、應(yīng)用舉例（一）二倍角公式的直接運(yùn)用例1　已知角α是第二象限角，cosα=－，sin2α，cos2α和tan2α的值．解：因為角α是第二象限角，所以sinα>0，可得sinα=．由二倍角公式，有sin2α=2sinαcosα=，cos2α＝2cos2α－1=2×－1=，tan2α＝＝＝．7 設(shè)計意圖：通過例題，對二倍角公式進(jìn)行練習(xí)，掌握二倍角公式的運(yùn)用，逐步靈活應(yīng)用．方法總結(jié)：結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式對已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直接運(yùn)用二倍角公式直接求值．（二）二倍角公式的間接運(yùn)用例2　已知sin＝，則sin2α的值為(　　)A．－B．C．－D．解：　∵2α＝2－，∴sin2α＝sin＝－sin＝－cos2＝－＝－＝－．故答案選：C．設(shè)計意圖：通過此例，觀察尋找角之間關(guān)系，通過恒等變形，使其適合二倍角公式，達(dá)到解題目的．方法總結(jié)：(1)解決此類問題，注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系，有兩個觀察方向：①有方向地將已知式或未知式化簡，使關(guān)系明朗化；②尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系．(2)注意幾種公式的靈活應(yīng)用，如：①sin2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2．②cos2x＝sin＝sin＝2sincos．7 （三）二倍角公式在實際問題中的應(yīng)用例3　在中，已知AB=AC=2BC，求角A的正弦值．解：如圖，過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為D．設(shè)∠BAD=θ，則∠BAC=2θ．　　因為BD=12BC=14AB，所以sinθ=BDAB=14．因為0<2θ<π，所以0<θ<π2，于是cosθ=1-142=154．故sin∠BAC＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2×14×154＝158．　例4　如圖，要把以點(diǎn)O為圓心，半徑為的半圓形木料截成矩形ABCD，應(yīng)怎么樣截取，才能使矩形ABCD的面積最大？解：連接OB，如圖所示，設(shè)∠AOB＝θ，則AB＝sinθ，OA＝cosθ，且θ∈．因為A，D關(guān)于點(diǎn)O對稱，所以AD＝2OA＝2cosθ．設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S＝AD·AB＝2cosθ·sinθ＝sin2θ．因為θ∈，所以2θ∈(0，π)，所以當(dāng)sin2θ＝1，即θ＝時，矩形ABCD的面積最大，其最大面積是．設(shè)計意圖：三角函數(shù)與平面幾何有著密切聯(lián)系，幾何中的角度、長度、面積等問題，常借助三角恒等變換來解決，此題反應(yīng)三角公式的解決實際問題的應(yīng)用．方法總結(jié)：此類7 實際問題的意義常反映在三角形的邊、角關(guān)系上，故常用三角函數(shù)模型結(jié)合公式解決實際的優(yōu)化問題．四、課堂練習(xí)1．下列各式中，值為的是(　　)．A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°D．sin215°＋cos215°2．若sin＝，則cosα等于(　　)．A．－B．－C．D．3．若sin2α＝－，則cos2的值為(　　)．A．－B．－C．D．4．設(shè)sin2α＝－sinα，α∈，則tan2α的值是________．5．＝________．參考答案：1．答案　B解析　2sin15°cos15°＝sin30°＝；cos215°－sin215°＝cos30°＝；2sin215°＝1－cos30°＝1－；sin215°＋cos215°＝1，故選B．2．答案　C7 解析　因為sin＝，所以cosα＝1－2sin2＝1－2×2＝．3．答案　D解析　cos2＝＝＝＝＝．4．答案　解析　∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα．由α∈知sinα≠0，∴cosα＝－，∴α＝，∴tan2α＝tan＝tan＝．5.答案　2解析　原式＝＝＝2．五、課堂小結(jié)1.牢記3組公式：(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝，其中(1)、(2)中α為任意角；(3)中α、2α均不等于＋kπ，k∈Z．2.注意公式的變形和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最為靈活多樣，應(yīng)用廣泛，二倍角的常用形式：①1＋cos2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos2α＝2sin2α，④sin2α＝．六、布置作業(yè)教材第155頁練習(xí)題．7