四川省成都市樹德中學(xué)2023屆高三適應(yīng)性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)Word版含解析

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數(shù)學(xué)試題（理科）一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義結(jié)合指數(shù)函數(shù)分析運(yùn)算.【詳解】由題意可得：.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于（）A.－1B.0C.1D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合純虛數(shù)的定義即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得.故選：A.3.等差數(shù)列中，，則的前9項(xiàng)和為（）A.B.C.90D.180【答案】C【解析】【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)求出，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所?/p>

1故選：C.4.設(shè)為兩條不重合直線，是兩個(gè)不重合平面，則正確命題為（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.【詳解】對于選項(xiàng)A，，，m與n可以平行、異面或者相交，故A錯誤；對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，，所?又，所以，故B錯誤；對于選項(xiàng)C，由，則存在直線，使得，又，所以，且，所以.故C正確；對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，可設(shè)，則當(dāng)，時(shí)，可得到，，但此時(shí).故D錯誤.故選：C5.若直線，與相切，則最大值為（）A.B.C.3D.5【答案】B【解析】【分析】由條件可得，然后設(shè)，由三角函數(shù)的知識可得答案.【詳解】的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€，與相切，所以，即，所以可設(shè)，所以，其中，故選：B

26.某人每天早上在任一時(shí)刻隨機(jī)出門上班，他的報(bào)紙每天在任一時(shí)刻隨機(jī)送到，則該人在出門時(shí)能拿到報(bào)紙的概率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)某人離開家時(shí)間距離為分鐘，送報(bào)時(shí)間距離為分鐘，某人能拿到報(bào)紙，則，畫出區(qū)域及在中對應(yīng)區(qū)域，計(jì)算面積即可得答案.【詳解】設(shè)某人離開家時(shí)間距離為分鐘，送報(bào)時(shí)間距離為分鐘，則，某人能拿到報(bào)紙，則.畫出區(qū)域，為下圖矩形，中對應(yīng)區(qū)域如下圖所示，設(shè)矩形面積為，則該人在出門時(shí)能拿到報(bào)紙的概率為.故選：A7.已知雙曲線離心率為2，實(shí)軸長為2，則焦點(diǎn)到漸近線的距離（）A.1B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】由題目條件可得雙曲線焦點(diǎn)，漸進(jìn)線，即可得答案.【詳解】由對稱性，設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，則由題可得

3，則，則雙曲線其中一條漸進(jìn)線方程為，又，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為.故選：D8.若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】，，，，解得，，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出.9.為：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，且在第一象限，若，且直線斜率為，則的面積（）A.1B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求的面積.

4【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)，，所以，由題意，所以，得，或（舍去），所以，，故選：B10.為棱長為2的正方體，點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，給出以下命題：①直線與是異面直線；②點(diǎn)到面距離為；③若點(diǎn)三點(diǎn)確定的平面與交于點(diǎn)，則，正確命題有（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)【答案】B【解析】【分析】利用異面直線定義，結(jié)合圖形，即可判斷①，對②，利用線面垂直判定定理，得出線面垂直，則垂線段的長即為點(diǎn)到面的距離，進(jìn)而求解，對③，延展平面，結(jié)合正方體性質(zhì)，即可求解.

5【詳解】對①，由圖可知，不在平面內(nèi)，故直線與是異面直線，故①正確；對②，取中點(diǎn)，過作，連接，由為2的正方體，是的中點(diǎn)，可得平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，，平面，所以平面，故即為點(diǎn)到面距離，又，所以四點(diǎn)共面，所以即為點(diǎn)到面距離，由條件可求，，，，所以，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)到面距離為，故②錯誤；對③，如圖，將面擴(kuò)展，取，則，取的中點(diǎn)，連接，則與的交點(diǎn)即為點(diǎn)三點(diǎn)確定的平面與的交點(diǎn)，

6因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，又，所以，故③錯誤.故選：B.11.分別為左右頂點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，線段與交于另一點(diǎn)．若，則橢圓的離心率（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，得到和，兩式相除即可求解.【詳解】設(shè)，則，，

7兩式相乘得,①因?yàn)橹睆剿鶎Φ慕鞘侵苯?，所以所?②①除以②得，故，故選：D12.已知、分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，，，，則、、大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義求出函數(shù)、的解析式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，并比較、、的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?、分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則，所以，，所以，，當(dāng)時(shí)，，令，其中，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，因此函數(shù)在上為增函數(shù)，

8因?yàn)?，所以，，，，因?yàn)椋?，，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)，故.故選：C.二、填空13.展開式中項(xiàng)的系數(shù)________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的特征，即可求解.【詳解】，則展開式中的項(xiàng)為，所以項(xiàng)的系數(shù)為5，故答案為:514.數(shù)列前項(xiàng)和，若，令，則前10項(xiàng)和________．【答案】45【解析】【分析】利用已知條件求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求和即可.【詳解】數(shù)列前項(xiàng)和，由①得當(dāng)時(shí)解得，當(dāng)時(shí)②，由①②式作差得出，

9所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2，所以.所以，從而前10項(xiàng)和為.故答案為：4515.埃及金字塔是地球上的古文明之一，隨著科技的進(jìn)步，有人幻想將其中一座金字塔整體搬運(yùn)到月球上去，為了便于運(yùn)輸，某人設(shè)計(jì)的方案是將它放入一個(gè)金屬球殼中，已知某座金字塔是棱長均為的正四棱錐，那么設(shè)計(jì)的金屬球殼的表面積最小值為_____________．（注：球殼厚度不計(jì)）.【答案】【解析】【分析】由已知分析需求正四棱錐的外接球的半徑，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)和外接球的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理，求得外接球的半徑，從而求出金屬球殼的表面積的最小值.【詳解】由題意，要使金屬球殼的表面積最小，則金屬球是正四棱錐的外接球.如圖所示，在正四棱錐中，，，為其外接球的球心，連接與相交點(diǎn)于，連接，為頂點(diǎn)在底面上的投影，即為正方形的中心，設(shè)球的半徑為，表面積為，則在正方形中，，在中，，則，在中，，，，因?yàn)椋?，化簡得，則，所以外接球的表面積為.故答案為：.

1016.已知中，，則_________．【答案】##06【解析】【分析】由以為基底表示，結(jié)合，，可得,后即可得答案.【詳解】由圖可得，因，則，則，因，則，，代入上式有：，.則.故答案為：三、解答17.已知函數(shù)最小正周期為，且，（1）求；

11（2）將圖象往右平移個(gè)單位后得函數(shù)，求的最大值及這時(shí)值的集合．【答案】（1），（2）1；的集合為．【解析】【分析】（1）根據(jù)周期確定參數(shù)，再根據(jù)結(jié)合的取值范圍確定；（2）先確定函數(shù)的解析式，化簡，確定最大值，再利用整體法確定取最大值時(shí)值的集合．【小問1詳解】因?yàn)樽钚≌芷跒?，所以；由可知，，即，，得，，又因?yàn)椋裕拘?詳解】由（1）知，因?yàn)閷D象往右平移個(gè)單位后得函數(shù)，所以，即，所以

12因?yàn)椋缘淖畲笾禐?，當(dāng)，即時(shí)取得，故取最大值時(shí)值的集合為．18.為了了解中學(xué)生是否有運(yùn)動習(xí)慣，我校以高一新生中隨機(jī)抽取了100人，其中男生40人，女生60人，調(diào)查結(jié)果顯示，男生中只有表示自己不喜歡運(yùn)動，女生中有32人不喜歡運(yùn)動，為了了解喜歡運(yùn)動與否是否與性別有關(guān)，構(gòu)建了列聯(lián)表：不喜歡運(yùn)動喜歡運(yùn)動總計(jì)男生女生總計(jì)（1）請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否有的把握認(rèn)為“喜歡運(yùn)動”與性別有關(guān).（2）從男生中按“是否喜歡運(yùn)動”為標(biāo)準(zhǔn)采取分層抽樣方式抽出10人，再從這10人中隨機(jī)抽出2人，若所選2人中“不喜歡運(yùn)動”人數(shù)為，求分布列及期望.附：，0.0250.010.0015.0246.63510.8【答案】（1）列聯(lián)表見解析；有把握認(rèn)為“喜歡運(yùn)動”與性別有關(guān)（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)卡方的計(jì)算即可求解，

13（2）根據(jù)超幾何分布的概率公式即可求解概率，【小問1詳解】不喜歡運(yùn)動喜歡運(yùn)動總計(jì)男生83240女生322860總計(jì)4060100，有把握認(rèn)為“喜歡運(yùn)動”與性別有關(guān).【小問2詳解】抽出的10人中，2人不喜歡運(yùn)動，8人喜歡運(yùn)動.012.19.直三棱柱中，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.（1）證明：平面；

14（2）若二面角大小為，求以為頂點(diǎn)的四面體體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)得到平面，即可得到，從而證明平面，則，再由，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法得到方程，求出，再根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得.【小問1詳解】∵為直三棱柱，∴平面，平面，∴.又，，平面，∴平面，平面，∴，又平面，平面，∴，，平面，∴平面.【小問2詳解】因?yàn)?，為中點(diǎn)，，所以，∴為正三角形，如圖建立空間坐標(biāo)系，由（1）易知平面法向量，設(shè)，∵，，

15設(shè)平面的法向量為，則，即，取，由，解得或（舍去），∵，點(diǎn)到平面距離為，∴以為頂點(diǎn)的四面體體積為.20.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓方程；（2）直線與橢圓交于點(diǎn)為的右焦點(diǎn)，直線分別交于另一點(diǎn)、，記與的面積分別為，求的范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)可得答案；（2）設(shè)，令可得坐標(biāo)，代入橢圓方程得，設(shè)

16，可得坐標(biāo)，代入橢圓方程得，利用及的取值范圍可得答案．【小問1詳解】由離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)可得，又，解得，所以橢圓；【小問2詳解】設(shè)，則，，令，，可得，代入，得，又，得，設(shè)，，可得，代入，得，又，得，∵，∴，∵，，∴．

17【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)，令，，分別求出、坐標(biāo)，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力及計(jì)算能力.21.設(shè)函數(shù).（1）若最小值為，求的范圍；（2）令，的圖象上有一點(diǎn)列，若直線的斜率為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求得，對實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）由（1）可得，設(shè)，取點(diǎn)、，證明出，可得出，再利用不等式的基本性質(zhì)結(jié)合等比數(shù)列求和公式可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】解：因?yàn)?，則，令，則，且.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上增函數(shù)，，，所以，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，這與在上的最小值為矛盾，舍去；

18②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，且不恒為零，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，且不恒為零，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，合乎題意.綜上所述，.【小問2詳解】證明：由（1）知，設(shè)，取點(diǎn)、，直線的斜率為，，則，所以，曲線在處的切線的斜率為，接下來證明，即證，即證，令，其中，則，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，故，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，.，所以，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

19（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)，交于點(diǎn)交于點(diǎn)，求的最大值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化.（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用三角函數(shù)的變換求出結(jié)果.【小問1詳解】由曲線：（為參數(shù)），消去參數(shù)得：，化簡極坐標(biāo)方程為：，曲線：（為參數(shù)），消去參數(shù)得：，可得極坐標(biāo)方程為：.【小問2詳解】

20因點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，設(shè)直線的傾斜角為，，則直線的參數(shù)方程為：，（為參數(shù)，），代入的直角坐標(biāo)方程整理得，，則，設(shè)，則，，，則，直線代入的直角坐標(biāo)方程整理得，，則，因，所以.即的最大值為.

2123.已知函數(shù)．（1）求的解集；（2）若最小值為，正實(shí)數(shù)滿足，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）分區(qū)間討論即可求解，（2）利用圖象可得的最小值，進(jìn)而利用柯西不等式即可求解.【小問1詳解】若，則，得．若，則，得．若，則，得．∴解集．【小問2詳解】，的圖象如下：故當(dāng)時(shí)，，∴．∵，

22當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，∴.

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