重慶市兩江育才中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析

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2022-2023學(xué)年度（高一下）半期質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息；2.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上.一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.向量與的長(zhǎng)度相同B.單位向量的長(zhǎng)度都相等C.向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)D.零向量是沒(méi)有方向的向量【答案】D【解析】【分析】根據(jù)零向量、向量的模，以及單位向量的概念，即可判定得到答案.【詳解】A中，向量與相反向量，則，所以是正確的；B中，單位向量的長(zhǎng)度都是1，所以是正確的；C中，根據(jù)向量的模的定義，可知向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，所以是正確的；D中，零向量方向是任意的，所以“零向量是沒(méi)有方向的向量”是錯(cuò)誤的，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了零向量的概念，其中熟記零向量的基本概念是解答的關(guān)鍵.2.若z=1+i，則|z2–2z|=（）A.0B.1C.D.2【答案】D【解析】【分析】由題意首先求得的值，然后計(jì)算其模即可.【詳解】由題意可得：，則.故.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模的求解等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.3.將一圓形紙片沿半徑剪開(kāi)為兩個(gè)扇形，其圓心角之比為3∶4．再將它們卷成兩個(gè)圓錐側(cè)面，則兩圓錐的高之比為第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

1A.3∶4B.9∶16C.27∶64D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：設(shè)圓的半徑為r,則兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為r．由已知可得，兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為,所以兩個(gè)圓錐的高分別為,因此兩圓錐的高之比為．故選D．考點(diǎn)：圓錐的底面半徑、母線長(zhǎng)、高的關(guān)系．4.的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，，.如果有兩解，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，根據(jù)題意可得出關(guān)于不等式，由此可解得的取值范圍.【詳解】如下圖所示：因?yàn)橛袃山猓?，解?故選：D.5.已知向量，滿足，，與的夾角為，則在上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用投影向量的定義求解.【詳解】因?yàn)?，，與的夾角為，第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

2所以，所以在上的投影向量，故選：D6.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用虛數(shù)單位的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)式子，從而得到該復(fù)數(shù)相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，由此得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以所?duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選：B.7.古代典籍《周易》中“八卦”思想對(duì)我國(guó)的建筑有一定影響.如圖是受“八卦”啟示設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗.在正八邊形中，若，則（）A.B.C.D.3【答案】C【解析】【分析】如圖，連接，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，由正八邊形的特征可得第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

3，從而可將用表示出來(lái)，再結(jié)合已知即可得解.【詳解】解：如圖，連接，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，由正八邊形的特征可得，，故，所以，則，又因，所以，所以.故選：C.8.棱長(zhǎng)為a的正四面體ABCD與正三棱錐的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體ABCDE的頂點(diǎn)均在一球的球面上，則正三棱錐的表面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由棱長(zhǎng)為的正四面體求出外接球的半徑，進(jìn)而求出正三棱錐的高及側(cè)棱長(zhǎng)，可得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，進(jìn)而求出正三棱錐的表面積.【詳解】由題意，多面體ABCDE的外接球即正四面體ABCD的外接球，由題意可知面交于，連接，則第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

4且其外接球的直徑為AE，易求正四面體ABCD的高為.設(shè)外接球的半徑為R，由得.設(shè)正三棱錐的高為h，因?yàn)椋?因?yàn)榈酌娴倪呴L(zhǎng)為a，所以，則正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直.即正三棱錐的表面積，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查正三棱錐的外接球問(wèn)題，通過(guò)求得半徑求出四面體的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題．二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若兩條直線互相平行，則這兩條直線確定一個(gè)平面B.若四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中任意三點(diǎn)都不共線C.若兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線是異面直線D.兩條異面直線不可能垂直于同一個(gè)平面【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，利用確定平面的定理的推論可判斷正誤；對(duì)于B，根據(jù)反證法即確定平面的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)平行直線與異面直線的的定義判定即可；對(duì)于D，利用反證法思想及線面垂直的性質(zhì)可判斷.【詳解】對(duì)于A，確定平面的定理的推論：“兩條平行直線確定一個(gè)平面”，故A正確；第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

5對(duì)于B，若四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，由公理的推論“一條直線和這條直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面”知這四點(diǎn)一定共面，矛盾，故B正確；對(duì)于C，若兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行或異面，故C錯(cuò)；對(duì)于D，若兩條直線垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行，故D正確.故選：ABD.10.已知向量，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.的最小值為6D.若與的夾角為銳角，則【答案】BC【解析】【分析】由平面向量垂直、平行以及模長(zhǎng)的坐標(biāo)計(jì)算公式，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】A：若，故可得，解得或，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，故B正確；C：，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故C正確；D：若與的夾角為銳角，則，解得；當(dāng)與共線時(shí)，，解得，故，故D錯(cuò)誤；綜上所述，正確的選項(xiàng)是：.故選：BC.11.在正四棱臺(tái)中，，，則（）．A.該棱臺(tái)的高為B.該棱臺(tái)的表面積為C.該棱臺(tái)的體積為D.該棱臺(tái)外接球的體積為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可求得高，判斷A;求得每個(gè)面面積即可求得四棱臺(tái)表面積，判斷B;利用棱臺(tái)體積公式求得體積，判斷C;求出四棱臺(tái)外接球的半徑，即可求得該棱臺(tái)外接球的體積，判斷D.第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

6【詳解】由題意可知，，所以正四棱臺(tái)的高，A正確；正四棱臺(tái)的側(cè)面為等腰梯形，故斜高，所以正四棱臺(tái)的側(cè)面積為，上、下底面的面積分別為4，16，即正四棱臺(tái)的表面積，B錯(cuò)誤；正四棱臺(tái)的體積，C錯(cuò)誤；設(shè)該棱臺(tái)外接球的球心為O，半徑為R，點(diǎn)O到上底面的距離為x，所以，解得，所以該棱臺(tái)外接球的體積為，D正確，故選：AD．12.設(shè)的內(nèi)角，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，若，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.外接圓半徑為B.面積的最大值為C.的周長(zhǎng)的最大值為8D.的最大值為32【答案】ABD【解析】第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

7【分析】對(duì)A，根據(jù)正弦定理判定即可；對(duì)B，利用余弦定理和面積公式結(jié)合基本不等式求解即可；對(duì)C，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解即可；對(duì)D，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解即可；【詳解】對(duì)A，由正弦定理，外接圓半徑滿足，故，故A正確；對(duì)B，由余弦定理，，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)C，，故，故的周長(zhǎng)的最大值12，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值為32，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理結(jié)合基本不等式，求解三角形中的范圍問(wèn)題，需要根據(jù)題意確定基本不等式，屬于中檔題三、填空題（本大題共4小題，共20分，其中16題第一空2分，第二空3分）13.設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，已知，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值是________.【答案】【解析】【分析】由三點(diǎn)共線可得，由此可得構(gòu)造方程組求得結(jié)果.【詳解】三點(diǎn)共線，可設(shè)，即，，解得：.第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

8故答案為：.14.已知利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖為直角邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，則的面積是__________.【答案】【解析】【分析】作出的直觀圖，計(jì)算出直角的兩條直角邊的邊長(zhǎng)，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】的直觀圖如下圖所示：設(shè)，，，對(duì)應(yīng)地，在中，，，，則.故答案為：.15.設(shè)是復(fù)數(shù)，給出四個(gè)命題：①．若，則②．若，則③．若，則④．若，則其中真命題的序號(hào)是__________．【答案】①②③【解析】【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)?對(duì)于①,若可得?，所以，故①正確；對(duì)于②,則,??a-bi=c+di,即?②正確；對(duì)于③,若則，???③正確；第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

9對(duì)于④,若則，????不成立,④不正確.故答案為①②③.16.已知為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且，則A=________，若上述條件成立時(shí)，則的最大值為_(kāi)________．【答案】①.②.5【解析】【分析】先利用正弦定理計(jì)算，化邊為角，化簡(jiǎn)整理得到，再利用輔助角公式和角的范圍得到角A；利用余弦定理得到，即，先結(jié)合基本不等式求得，再代入計(jì)算，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求最大值即可.【詳解】由得，，即，又，即，故，化簡(jiǎn)得，而△ABC中，所以，即，而，即，所以，即；由余弦定理知，，所以，解得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.因?yàn)椋?，?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，為第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

10所以時(shí)，取得最大值5.故答案：；5.四、解答題（本大題共6小題，共70分，其中17題10分，其余每題12分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.在①，②為虛數(shù)，③為純虛數(shù)，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中.已知復(fù)數(shù)：.（1）若_______，求實(shí)數(shù)的值；（2）若復(fù)數(shù)的模為，求的值.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)和虛數(shù)的定義逐一解答即可；（2）化簡(jiǎn)求模，解出滿足的關(guān)系，即可求出的值.【詳解】（1）選擇①，則，解得.選擇②為虛數(shù)，則，解得選擇③為純虛數(shù)，則，，解得.（2）由可知復(fù)數(shù).依題意，解得.因此.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)，純虛數(shù)的定義，考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.18.已知向量，.（1）求的值；第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

11（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題中條件，先求出，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）先由題意得到，根據(jù)得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)橄蛄浚?，則，則（2）因?yàn)橄蛄?，，則，若，則，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查求向量的模，以及根據(jù)向量垂直求參數(shù)的問(wèn)題，熟記向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可，屬于常考題型.19.如圖，已知一個(gè)圓錐的底面半徑與高均為，且在這個(gè)圓錐中有一個(gè)高為的圓柱．（1）用表示此圓柱的側(cè)面積表達(dá)式；（2）當(dāng)此圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求此圓柱的體積．【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）設(shè)圓柱的底面半徑為,根據(jù)相似比求出與第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

12的關(guān)系，代入側(cè)面積公式即可；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出側(cè)面積最大時(shí)的值，代入體積公式即可．試題解析：（1）設(shè)圓柱的半徑為，則，∴，∴．．（2），∴當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，，所以．考點(diǎn)：圓柱的側(cè)面積與體積．20.△中，角所對(duì)的邊分別是.（1）求角；（2）若邊的中線，求△面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用正弦定理進(jìn)行邊化角得，再用三角恒等變換處理；（2）利用向量，兩邊平方展開(kāi)即可得出結(jié)果．【小問(wèn)1詳解】由題意與正弦定理可得，由，可得.代入整理得：.故，可得.【小問(wèn)2詳解】∵，則可得：，故或.（舍去）第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

13則△面積.21.如圖，幾何體為一個(gè)圓柱和圓錐的組合體，圓錐的底面和圓柱的一個(gè)底面重合，圓錐的頂點(diǎn)為P，圓柱的上、下底面的圓心分別為、，且該幾何體有半徑為2的外接球（即圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周在球面上，且圓柱的底面圓周也在球面上），外接球球心為O．（1）若圓柱的底面圓半徑為，求幾何體的表面積；（2）若，求幾何體的體積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知求解三角形得圓柱與圓錐的高，再由圓柱和圓錐的表面積公式求解即可，（2）由，，可得，，再求出，從而可求出體積【小問(wèn)1詳解】由題意得，則，，，所以，由對(duì)稱性可得，所以幾何體的表面積為【小問(wèn)2詳解】第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

14由，，可得，，所以，因?yàn)?，所以，所以幾何體的體積為22.已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，D是邊AC上一點(diǎn)，.（1）若，，求AD；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系將化為，從而可求出，，然后在利用余弦定理求出；（2）由，，平方化簡(jiǎn)后可得，再利用基本不等式可求得答案.【小問(wèn)1詳解】第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

15因?yàn)?，所以由正弦定理得，易得，則，故，解得或（舍去），又，故，又，則，在中，由余弦定理得，又，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，因?yàn)?，所以，即，整理得到，兩邊平方后有，所以，即，整理得到，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，則，所以的最大值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第2小問(wèn)解決關(guān)鍵是利用條件與平面向量的知識(shí)得到，進(jìn)而利用數(shù)量積的運(yùn)算法則得到，從而利用基本不等式即可求得，即的最大值.第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

16第17頁(yè)/共17頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司