重慶市萬州第二高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析

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萬州二中高2022級高一（下）半期考試數(shù)學(xué)試題一?單選題（5分/個）1.重慶市萬州第二高級中學(xué)，創(chuàng)辦于1939年，原名萬縣文德中學(xué).學(xué)校以“健康?高尚?睿智?創(chuàng)新”為辦學(xué)理念，用相對寬松的管理方式培養(yǎng)了一屆又一屆“優(yōu)秀學(xué)子”，其中彭蕾女士就是其中的代表之一.彭蕾女士捐贈給學(xué)校的學(xué)習(xí)用“一體機”（黑板中間部分）為學(xué)校的教育教學(xué)帶來了諸多便利.我們可以把“一體機”的正面看成（）A.矩形B.三角形C.棱柱D.棱錐【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“一體機”的形狀進行抽象后判斷．【詳解】觀察“一體機”可以抽象其正面是矩形．故選：A．2.已知，則與的夾角是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由向量的夾角公式直接求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，因為，，，所以，因為，所以，即與的夾角是.

1故選：B3.中，分別是所對的邊，若，則此三角形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由正弦定理化邊為角，后由二倍角公式變形，再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得．【詳解】因為，所以由正弦定理可得，即，是的內(nèi)角，所以或，所以或，即是等腰三角形或直角三角形，故選：D．4.已知是不共線的非零向量，則以下向量不可以作為一組基底的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判斷選項中的兩個向量是否平行，即可判斷選項.【詳解】若兩向量平行，則不可以作為基底，由選項可知，ABD中的兩個向量都不共線，可以作為基底，C中的向量，滿足，向量，不能作為基底.故選：C5.，是兩個平面，，是兩條直線，下列四個命題中正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，，則【答案】C【解析】

2【分析】根據(jù)空間中，直線與平面的位置關(guān)系，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】A項：若，，則或，故選項A不正確；B項：若，，則或m與n異面，故選項B不正確；C項：若，則與沒有公共點，又因為，所以m與沒有公共點，所以，故選項C正確；D項：若，，，則或與相交，故選項D不正確.故選：C.6.歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美．若復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】由歐拉公式和復(fù)數(shù)除法運算可求得，由復(fù)數(shù)虛部定義求得結(jié)果【詳解】由歐拉公式知：，，，的虛部為．故選：B7.如圖所示，邊長為2的正，以BC的中點O為圓心，BC為直徑在點A的另一側(cè)作半圓弧，點P在圓弧上運動，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】

3【分析】根據(jù)給定條件，可得，求出的夾角范圍，再利用向量數(shù)量積的定義、運算律求解作答.【詳解】過點作交半圓弧于點，連接，如圖，而是正三角形，則，令夾角為，當(dāng)點P在弧上時，，當(dāng)點P在弧上時，，于是，顯然，，所以.故選：B8.內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若，，點在邊上，并且，為的外心，則之長為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由正弦定理得到，求出的外接圓半徑為R，作出輔助線利用余弦定理求出，求出的長.【詳解】由正弦定理得：，因為，所以，故，即，因為，所以，

4設(shè)的外接圓半徑為R，則由正弦定理得：，故，如圖，，且，因為，所以，，過點C作CH∥OB交OP的延長線于點H，則，因為，所以，，在三角形OCH中，由余弦定理得：，則，所以故選：C二?多選題（全對得5分，部分選對得2分，錯一個不得分）9.下列說法正確的是（）A.圓臺的任意兩條母線延長后一定交于一點B.空間中沒有公共點的兩條直線一定平行C.過一個點以及一條直線可以確定唯一一個平面

5D.若直線和平面滿足，那么平面內(nèi)有無數(shù)條直線與直線平行【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)圓臺定義判斷A，空間兩直線位置關(guān)系判斷B，平面的基本性質(zhì)判斷C，線面平行的性質(zhì)定理判斷D．【詳解】圓錐是由平行于圓錐底面的平面截圓錐所得，它的母線延長后交于一點（原圓錐的頂點），A正確；空間沒有公共點兩條直線是平行或異面，B錯誤；過直線及直線外一點確定一個平面，若該點在直線上，則過該點和直線有無數(shù)個平面，C錯誤；直線與平面平行，由線面平行的性質(zhì)定理知直線與過直線的平面和平面的交線平行，過直線的平面有無數(shù)個，因此相應(yīng)的交線也有無數(shù)條，它們都與平行，D正確．故選：AD．10.下列說法不正確的有（）A.已知，若與垂直，則B.若，，則C.若為三個不共線向量，則D.若，，若為鈍角，則實數(shù)的范圍是【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)向量垂直坐標(biāo)運算判斷A選項，根據(jù)向量共線的性質(zhì)判斷B選項，根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律判斷C選項，再根據(jù)向量數(shù)量積與夾角的關(guān)系可判斷D選項.詳解】A選項：，，若與垂直，則，解得，A選項正確；B選項：當(dāng)時，，，但不一定成立，B選項錯誤；C選項：根據(jù)向量的數(shù)量積的含義可知是一個實數(shù)，故是與共線的向量，同理是與共線的向量，但是，不一定共線，故不一定成立，C選項錯誤；

6D選項：，，若為鈍角，則，解得且，D選項錯誤；故選：BCD.11.“虛數(shù)”這個詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家?哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)造的，當(dāng)時的觀念認(rèn)為這是不存在的數(shù).人們發(fā)現(xiàn)即使用全部的有理數(shù)和無理數(shù)，也不能解決代數(shù)方程的求解問題，像這樣最簡單的二次方程，在實數(shù)范圍內(nèi)沒有解.引進虛數(shù)概念后，代數(shù)方程的求解問題才得以解決.設(shè)是方程的根，則（）A.B.是該方程的根C.是該方程的根D.若，，則坐標(biāo)表示的幾何圖形面積為【答案】ACD【解析】【分析】由求根公式可知為方程的兩根.A選項，由韋達定理可判斷選項正誤；B選項，將代入方程，驗證其是否為0即可判斷選項正誤；C選項，將代入方程，驗證其是否為0即可判斷選項正誤；設(shè)，由可確定滿足方程，即可得答案.【詳解】由題，的根利用求根公式可求得為：或.則為方程的兩根.A選項，由韋達定理可得，故A正確；B選項，將代入方程，得，即不是方程的根，故B錯誤；C選項，將代入方程，得，即是方程的根，故C正確；

7D選項，當(dāng)時，，設(shè)，則.則表示圖形為以為圓心，半徑為的兩圓之間，即如圖所示的圓環(huán)，面積為；當(dāng)時，，則.則表示圖形為以為圓心，半徑為的兩圓之間，即如圖所示的圓環(huán)，面積為；綜上可知，D正確故選：ACD12.如圖，正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長均為，BC=2.若將正三棱錐繞BC旋轉(zhuǎn)，使得點A，P分別旋轉(zhuǎn)至點處，且，B，C，D四點共面，點，D分別位于BC兩側(cè)，則（）

8A.平面B.平面BDCC.多面體的外接球的表面積為D.點A，P旋轉(zhuǎn)運動的軌跡長相等【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，判斷兩個正三棱錐的特征，再將旋轉(zhuǎn)前后的兩個三棱錐放在正方體中，逐項分析即可判斷作答.【詳解】正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長均為，BC=2，有，則正三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，正三棱錐的側(cè)棱互相垂直，于是旋轉(zhuǎn)前后的正三棱錐和可以放到正方體中，四邊形為該正方體的一個側(cè)面，如圖，連接，，如圖，

9正方體中，且，四邊形為平行四邊形，則有，而與平面相交，則不平行于平面，A錯誤；，平面BDC，平面BDC，平面BDC，B正確；多面體的外接球即棱長為的正方體的外接球，外接球的半徑為，表面積為，C正確；依題意，點A，P旋轉(zhuǎn)角度相同，但旋轉(zhuǎn)半徑不同，所以運動的軌跡長不相等，D錯誤.故選：BC三?填空題（13-15每個5分，16題第一空2分，第二空3分）13.設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則______.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算及共軛復(fù)數(shù)的概念，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計算公式，即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：.14.已知直三棱柱底面的直觀圖是一個等腰直角三角形，斜邊長，則該直三棱柱的底面積為______.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)及斜二測法知在原圖上的對應(yīng)邊長為，根據(jù)直角三角形面積公式計算即可.【詳解】由題意知：，由斜二測法知：原直三棱柱中，的對應(yīng)邊長為，對應(yīng)邊長不變，

10所以底面三角形面積為，故該直三棱柱的底面積為.故答案：15.在一個如下圖所示的直角梯形內(nèi)挖去一個扇形，恰好是梯形的下底邊的中點，將所得平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一圈，所得幾何體表面積為__________.【答案】【解析】【分析】由題可畫出所得幾何體的大致圖形，即可得表面積.【詳解】由題意可得幾何體大致圖形如下，則其表面積由三部分組成.圓錐部分，由題圓錐底面圓半徑為，則底面圓周長為，由題可得圓錐側(cè)面展開扇形半徑為，可得側(cè)面展開扇形圓心角為，得圓錐側(cè)面積為；圓柱部分，圓柱側(cè)面展開矩形長為圓錐底面圓周長，寬為2，則圓柱側(cè)面積為；球部分，球半徑為2，則半個球面面積為.綜上，幾何體表面積為.故答案為：

1116.如下圖，中，為重心，P為線段上一點，則的最大值為______，分別是邊的中點，則的取值范圍是______.【答案】①.②.【解析】【分析】利用向量求得的表達式，由此求得的最大值.利用向量求得的表達式，由此求得的取值范圍.【詳解】，由于，所以.設(shè)是中點，則共線.,.

12，.的最大值為，所以的最大值為.，其中，即，所以，，.即的取值范圍是.故答案為：；【點睛】要求向量數(shù)量積的最值或范圍，需要利用數(shù)量積的運算將所求表達式進行化簡，結(jié)合已知條件求得求得最值或范圍.

13四?解答題（第17題10分，其他各題12分）17.已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）.（1）求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)和模；（2）若.求a，b的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)運算化簡，從而求得的共軛復(fù)數(shù)以及模.（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程，化簡求得的值.【小問1詳解】，所以z共軛復(fù)數(shù)，.【小問2詳解】因為，即，也即，所以，解得.18.已知向量的夾角為，且.（1）求；（2）當(dāng)時，求實數(shù)m.【答案】（1）；（2）12.【解析】

14【分析】（1）利用向量數(shù)量積的運算律及已知求；（2）由向量垂直可得，結(jié)合數(shù)量積的運算律列方程求參數(shù)值即可.【小問1詳解】由，則.【小問2詳解】由題設(shè)，則.19.在棱長為2的正方體中，分別為棱和的中點.（1）證明：平面；（2）求異面直線與所成的余弦值；【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）證明后可得證線面平行；（2）證明，得是異面直線與所成的角或其補角，由余弦定理求解即可得．【小問1詳解】連接,如圖,因為分別為棱和的中點,所以且,所以是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】在正方體中，連接，如圖，因為分別為棱和的中點，則，

15因此四邊形是平行四邊形，則，即是異面直線與所成的角或其補角，在中，，而正方體的體對角線，由余弦定理，得，所以異面直線與所成的余弦值為．20.如圖所示，正方體的棱長為a.（1）過正方體的頂點，B，截下一個三棱錐，求正方體剩余部分的體積；（2）若M，N分別是棱AB，BC的中點，請畫出過，M，N三點的平面與正方體表面的交線（保留作圖痕跡，畫出交線，無需說明理由），并求出交線圍成的多邊形的周長；【答案】（1）（2）作圖見解析，【解析】【分析】（1）利用等體積法求出三棱錐的體積，再用正方體體積減去即可；

16（2）根據(jù)點?線?面的位置關(guān)系作出圖形，再利用三角形相似等知識點則可求出相關(guān)線段長；【小問1詳解】因為正方體，所以平面，則為三棱錐的高，，，則，則正方體剩余部分的體積為.【小問2詳解】畫直線交，延長線分別為點，再分別連接，分別交于點，順次連接，五邊形即為交線圍成的多邊形，易得，，則為等腰直角三角形，則，根據(jù)∽，，則，則，，同理可得，，而，則五邊形的周長為.21.為解決社區(qū)老年人“一餐熱飯”的問題，某社區(qū)與物業(yè)、第三方餐飲企業(yè)聯(lián)合打造了社區(qū)食堂，每天為居民提供品種豐富的飯菜，還可以提供送餐上門服務(wù)，既解決了老年人的用餐問題，又能減輕年輕人的壓力，受到群眾的一致好評.如圖，送餐人員小夏從處出發(fā)，前往，，三個地點送餐.已知

17，，，且，.（1）求的長度.（2）假設(shè)，，，均為平坦的直線型馬路，小夏騎著電動車在馬路上以的速度勻速行駛，每到一個地點，需要2分鐘的送餐時間，到第三個地點送完餐，小夏完成送餐任務(wù).若忽略電動車在馬路上損耗的其他時間（例如：等紅綠燈，電動車的啟動和停止…），求小夏完成送餐任務(wù)的最短時間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求解；（2）根據(jù)余弦定理求解，進而得，由兩角和與差余弦公式可得，進而由余弦定理求解，根據(jù)三種不同的送餐路線，計算路程的大小，即可比較求解.【小問1詳解】因為，，所以，在中，由余弦定理，得.【小問2詳解】在中，由余弦定理，得，所以，所以.在中，由余弦定理，得

18，解得.假設(shè)小夏先去地，走路線，路長，假設(shè)小夏先去地，因為，所以走路線，路長，假設(shè)小夏先去地，走路線，路長，由于，所以小夏走路線，且完成送餐任務(wù)的最短時間為.22.在銳角△ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，．（1）若，求△ABC的面積；（2）求的值；（3）求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用余弦定理和面積公式進行求解；（2）由正弦定理和三角恒等變換求解；（3）解法一：設(shè)BC中點為D，推導(dǎo)出，在三角形AOD中，利用余弦定理，正弦定理和函數(shù)單調(diào)性求出AD的取值范圍，從而求出的取值范圍；解法二：由余弦定理和數(shù)量積運算法則求出，換元后利用三角恒等變換得到，求出答案.【小問1詳解】由余弦定理結(jié)合可知，△ABC的面積【小問2詳解】

19因為，，所以，由正弦定理，所以，①由于，帶入①式可知：【小問3詳解】解法1：設(shè)BC中點為D，則所以如下圖所示，設(shè)△ABC的外接圓為圓O，由于△ABC為銳角三角形，故點A的運動軌跡為劣?。ú缓它c），由正弦定理知圓O的半徑，故設(shè)，則，由余弦定理：由于函數(shù)在時單調(diào)遞減，，

20所以解法2：由余弦定理②由定義所以設(shè)，則由正弦定理：其中銳角的終邊經(jīng)過點，由銳角三角形可知注意到，所以所以，②式變形為，故從而，此時函數(shù)單調(diào)遞減，而，所以【點睛】向量相關(guān)的取值范圍問題，考查面較廣，可以和很多知識相結(jié)合，基本不等式，函數(shù)值域，解三角形，三角函數(shù)等，需要對知識熟練掌握且靈活運用，本題的第三問難度較大，需要用到極化恒等式，三角函數(shù)恒等變換等知識，屬于難題.

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