重慶市長壽中學(xué)校2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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重慶市長壽中學(xué)校2022-2023學(xué)年高一上期末考試數(shù)學(xué)試題一．單選題（本大題共8小題，每小題5分，合計(jì)40分）1.已知全集，集合，，則（）A.PB.MC.D.【答案】A【解析】【分析】求出，從而得到.【詳解】，.故選：A2.命題“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題得到答案.【詳解】命題“”的否定是：.故選：C3.荀子曰：“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.“這句來自先秦時(shí)期的名言.此名言中的“積跬步”是“至千里”的（????）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件必要條件的定義即得.【詳解】由名言可得大意為如果不“積跬步”，便不能“至千里”，荀子的名言表明積跬步未必能至千里，但要至千里必須積跬步，所以“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件. 故選：B.4.函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，則（）A.16B.8C.4D.2【答案】A【解析】【分析】利用恒等式可得定點(diǎn)P，代入冪函數(shù)可得解析式，然后可得.詳解】當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)記，則有，解得所以.故選：A5.設(shè)，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍，進(jìn)而比較大小可得答案.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以.故選：D．6.已知，則（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求解.【詳解】解：，，則，故選：D7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法不正確的是（????）A.B.圖象的一條對稱軸的方程為C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.的解集為【答案】C【解析】【分析】由圖象結(jié)合五點(diǎn)法求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】由題意，最小正周期為，∴， 又，，且，∴，∴，故A正確；，∴直線是圖象的一條對稱軸，故B正確；時(shí)，，即時(shí)，取得最大值.因此在區(qū)間上不單調(diào)，故C錯(cuò)；由得，，，故D正確．故選：C．8.設(shè)函數(shù)，，若函數(shù)（）恰有三個(gè)零點(diǎn)??（），則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由的取值范圍求出的取值范圍，依題意可得與有三個(gè)交點(diǎn)，令，則，與有3個(gè)交點(diǎn)，，，畫出的函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：由，所以，因?yàn)楹瘮?shù)（）恰有三個(gè)零點(diǎn)，即有三個(gè)解，即與有三個(gè)交點(diǎn)，令，則，與有3個(gè)交點(diǎn)，，，不妨令，則，，， 由圖可知、關(guān)于對稱，所以，即，，即，可得的取值范圍是，故選：B二．多選題（本大題共4小題，若全選對得5分，未選全得2分，選錯(cuò)得0分，本大題共20分）9.已知，現(xiàn)有下面四個(gè)命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AB【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，由可得，進(jìn)而得，當(dāng)時(shí)，利用指對互化及換底公式可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，可得，則，此時(shí)，所以A正確；當(dāng)時(shí)，由，可得，則，所以B正確. 故選：AB.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10.若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.有最大值B.有最小值C.的最小值是10D.【答案】AD【解析】【分析】利用可判斷A；利用可判斷B；展開后再利用基本不等式可判斷C，由再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D．【詳解】對于A，∵，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號，∴，∴有最大值，∴選項(xiàng)A正確；對于B，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號，∴B錯(cuò)誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到等號，所以C不正確；對于D，∵，∴，∴D正確．故選：AD.11.已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】考慮角所在的象限，以及同角關(guān)系和題目所給的條件即可. 【詳解】由…①，以及，對等式①兩邊取平方得，…②，，，由②，，由①②，可以看作是一元二次方程的兩個(gè)根，解得，，故A正確，B正確，C錯(cuò)誤，D正確；故選：ABD.12.給出下列命題，其中正確的命題有（）A.若為第二象限的角，則為第三、四象限的角B.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則的解析式為C.若，則的取值范圍是D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】選項(xiàng)A，求出的取值范圍，即可得到的取值范圍，即可判斷；選項(xiàng)B，令，則，可得，即可得出的解析式，即可判斷出正誤；選項(xiàng)C，分或兩種情況討論，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解出即可得出；選項(xiàng)D，令，則函數(shù)在單調(diào)遞減即可判斷出.【詳解】對于A：因?yàn)闉榈诙笙薜慕牵?，，所以，，則為第三、四象限的角或軸負(fù)半軸上，故A錯(cuò)誤；對于B：若，則，則，是偶函數(shù)， ，即，所以，即的解析式為，故B正確；對于C：若，則，若，則，此時(shí)不成立，若，則，此時(shí)，即的取值范圍是，故C正確；對于D：若，則，令，則函數(shù)在單調(diào)遞減，則不等式等價(jià)為，則，即，故D正確．故選：BCD三．填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開________.【答案】【解析】【分析】先由題意求出函數(shù)的定義域?yàn)?，再由求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以；即函?shù)的定義域?yàn)?；由解得，因此的定義域?yàn)?故答案為： 14.某城市數(shù)，理，化競賽時(shí)，高一某班有24名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，28名學(xué)生參加物理競賽，19名學(xué)生參加化學(xué)競賽，其中參加數(shù)，理，化三科競賽的有7名，只參加數(shù)，物兩科的有5名，只參加物，化兩科的有3名，只參加數(shù)，化兩科的有4名．若該班學(xué)生共有48名，問沒有參加任何一科競賽的學(xué)生有__名．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)圖形求出單獨(dú)參加數(shù)理化的人數(shù)，然后把單獨(dú)參加數(shù)理化的人數(shù)和參加2門，3門競賽的人數(shù)加在一起，即可得到競賽的總?cè)藬?shù)，然后即可求出沒有參加任何一科競賽的學(xué)生人數(shù).【詳解】畫三個(gè)圓分別代表參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)的人．因?yàn)閰⒓訑?shù)，理，化三科競賽的有7名，只參加數(shù)，物兩科的有5名，只參加物，化兩科的有3名，只參加數(shù)，化兩科的有4名．分別填入圖形中，又因?yàn)橛?4名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，28名學(xué)生參加物理競賽，19名學(xué)生參加化學(xué)競賽，故單獨(dú)參加數(shù)學(xué)的有8人，單獨(dú)參加物理的有13人，單獨(dú)參加化學(xué)的有5人，故是參加競賽的人數(shù)，所以沒參加的人數(shù)為人．故答案為：3．15.已知，則___________.【答案】##-0.5【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式計(jì)算作答.【詳解】因，所以. 故答案為：16.已知，則的最小值是______．【答案】【解析】分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值是.故答案為：.四．解答題（本大題共6小題，第17題10分，其余每題各12分，合計(jì)70分）17.已知集合，．（1）若，求；（2）在①，②中任選一個(gè)，補(bǔ)充到橫線上，并求解問題．若______，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）條件選擇見解析，【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，集合，則可求出；（2）任選一個(gè)條件都可得，討論集合是否為空集，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，集合，又，所以； 【小問2詳解】方案一選擇條件①．由，得．當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，得，解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．方案二選擇條件②．由，得．當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)，符合題意．當(dāng)時(shí)，得，解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．18.（1）計(jì)算：；（2）若，求的值；【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）利用指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解.（2）利用把原式轉(zhuǎn)化為齊次式，再對分子分母同時(shí)除以弦化切進(jìn)行求解.【詳解】（1）； （2）.19.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并給予證明；（3）求不等式解集．【答案】（1）（2）奇函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）函數(shù)的定義域滿足真數(shù)部分大于0，得到的取值范圍；（2）得到，然后判斷與的關(guān)系，從而得到函數(shù)的奇偶性；（3）根據(jù)題意得到關(guān)于的不等式，從而得到的解集.【小問1詳解】由函數(shù)的定義域滿足真數(shù)部分大于零，即解不等式，解得,函數(shù)的定義域?yàn)?【小問2詳解】由第一問函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)為奇函數(shù).【小問3詳解】解不等式，即,即， 從而有，所以.不等式的解集為20.已知函數(shù)（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在上的最值以及取得最值時(shí)對應(yīng)x的值.【答案】（1）最小正周期，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）時(shí)，時(shí)【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡，再求最小正周期，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性可求單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)題意求得的范圍，可求得值域.【小問1詳解】∵，∴的最小正周期，由,，解得,， 的單調(diào)遞增區(qū)間為,；【小問2詳解】，,，則，，當(dāng)時(shí)可得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)可得，此時(shí).21.某火車站正在不斷建設(shè)，目前車站準(zhǔn)備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面積為12平方米，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室.由于此保管員室的后背靠墻，無須建造費(fèi)用，因此甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)7200元.設(shè)屋子的左右兩側(cè)墻的長度均為x米（）.（1）當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？（2）現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與此保管員室建造競標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功，試求a的取值范圍.【答案】（1）4米；（2）.【解析】【分析】（1）由題意得出甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)元關(guān)于左右兩側(cè)墻的長度的函數(shù)，利用均值不等式求最小值即可；（2）由題意得不等式恒成立，分離參數(shù)后，利用均值不等式求最小值即可得解.【小問1詳解】因?yàn)槲葑拥淖笥覂蓚?cè)墻的長度均為米（），底面積為12平方米，所以屋子的前面墻的長度均為米（），設(shè)甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為元，所以（元）， 因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以當(dāng)左右兩面墻的長度為米時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低為元.【小問2詳解】根據(jù)題意可知對任意的恒成立，即對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以，故當(dāng)時(shí)，無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能竟標(biāo)成功.22.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)定義得等式，對比系數(shù)可得解；（2）由（1）得的范圍，進(jìn)一步判定為減函數(shù)，進(jìn)而原不等式得以轉(zhuǎn)化，不難求得的范圍；（3）由（1）求得，從而確定了，進(jìn)而通過令換元把轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再分析其在，上的單調(diào)性即可得解． 【詳解】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，解得：（2）解得，又，所以；任取，則，，所以為減函數(shù).恒成立等價(jià)于恒成立令，則，因?yàn)?，那么所以，解得或?）因?yàn)?，所以，令，因，所以（i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得，不合題意，舍去；（ii）當(dāng)時(shí)，，解得(負(fù)舍)綜上所述，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值的討論方法：(1)當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)時(shí)，(3)時(shí)，.