江西省九江市2023屆高三三模數(shù)學(xué)（理） Word版含解析.docx

《江西省九江市2023屆高三三模數(shù)學(xué)（理） Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

九江市2023年第三次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（理科）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名等內(nèi)容填寫(xiě)在答題卡上2．第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，第II卷用黑色簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答，在試題卷上作答，答案無(wú)效．第I卷（選擇題60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求解一元二次不等式則得到集合，再利用集合交并補(bǔ)的運(yùn)算即可.【詳解】，，解得，則，.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)（，），代入已知等式，由復(fù)數(shù)相等進(jìn)行運(yùn)算求解即可. 【詳解】設(shè)（，），則由得，，∴，∴，解得，∴，∴.故選：B.3.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.4.分形的數(shù)學(xué)之美，是以簡(jiǎn)單的基本圖形，凝聚擴(kuò)散，重復(fù)累加，以迭代的方式而形成的美麗的圖案．自然界中存在著許多令人震撼的天然分形圖案，如鸚鵡螺的殼、蕨類(lèi)植物的葉子、孔雀的羽毛、菠蘿等．如圖所示，為正方形經(jīng)過(guò)多次自相似迭代形成的分形圖形，且相鄰的兩個(gè)正方形的對(duì)應(yīng)邊所成的角為．若從外往里最大的正方形邊長(zhǎng)為9，則第5個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（）A.B.C.4D.【答案】C【解析】 【分析】設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)分形特點(diǎn)可得{}是以9為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而可得第5個(gè)正方形的邊長(zhǎng).【詳解】設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，則由已知可得∴，∴{}是以9為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴.故選：C．5.為了強(qiáng)化節(jié)約意識(shí)，更好地開(kāi)展“光盤(pán)行動(dòng)”，某校組織甲、乙兩個(gè)社會(huì)實(shí)踐小組分別對(duì)某塊稻田的稻穗進(jìn)行調(diào)研，甲、乙兩個(gè)小組各自隨機(jī)抽取了20株稻穗，并統(tǒng)計(jì)了每株稻穗的粒數(shù)，整理得到如下統(tǒng)計(jì)表（頻率分布直方圖中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），則下列結(jié)論正確的是（）A.甲組中位數(shù)大于乙組中位數(shù)，甲組平均數(shù)大于乙組平均數(shù)B.甲組中位數(shù)大于乙組中位數(shù)，甲組平均數(shù)等于乙組平均數(shù)C.甲組中位數(shù)小于乙組中位數(shù)，甲組平均數(shù)等于乙組平均數(shù)D.甲組中位數(shù)小于乙組中位數(shù)，甲組平均數(shù)小于乙組平均數(shù)【答案】C【解析】【分析】分別對(duì)莖葉圖和頻率分布直方圖的中位數(shù)與平均數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由莖葉圖可知，甲組個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列依次為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，. 其中位數(shù)為中間兩個(gè)數(shù)（第個(gè)與第個(gè)）的平均數(shù)，即，平均數(shù)為.由頻率分布直方圖，中位數(shù)定義及直方圖中數(shù)據(jù)關(guān)于中間組對(duì)稱(chēng)：乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)，即，平均數(shù)的估計(jì)值為每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和，即平均數(shù)為.∴甲組中位數(shù)小于乙組中位數(shù)，甲組平均數(shù)等于乙組平均數(shù).故選：C.6已知，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分別利用函數(shù)單調(diào)性判斷出a、b、c的范圍，即可得到答案.【詳解】∵，∴．故選：A．7.已知，且，則cosβ=（）A.B.C.D.0【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等變換計(jì)算即可，注意整體思想的運(yùn)用.【詳解】解法一：∵，∴，又，∴，∴ ，故選：D．解法二：∵，∴，∴，即∵∴，故選：D．8.榫卯是一種中國(guó)傳統(tǒng)建筑、家具的主要結(jié)構(gòu)方式，它凝聚了中華文明的智慧.它利用材料本身特點(diǎn)自然連接，既符合力學(xué)原理，又重視實(shí)用和美觀，達(dá)到了實(shí)用性和功能性的完美統(tǒng)一.下圖是榫卯結(jié)構(gòu)中的一種，當(dāng)其合并在一起后，可形成一個(gè)正四棱柱.將合并后的榫卯對(duì)應(yīng)拿開(kāi)（如圖1所示），已知榫的俯視圖如圖2所示，則卯的主視圖為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由榫與卯為互補(bǔ)結(jié)構(gòu)結(jié)合對(duì)應(yīng)的視圖，再由排除法即可得到結(jié)果.【詳解】由題可知，榫與卯為互補(bǔ)結(jié)構(gòu)，合并為一個(gè)正四棱柱，故卯需要有兩個(gè)通透的長(zhǎng)方形通道，由于四棱柱擺放角度為直角邊正對(duì)我們，故主視圖必須有一條居中的實(shí)線代表棱，故A錯(cuò)誤；然后對(duì)榫的結(jié)構(gòu)分析并與卯互補(bǔ)可得，卯的兩邊通道中間并不會(huì)連通，故不存在居中的虛線，故BD錯(cuò)誤， 綜上所述，只有C滿足要求.故選:C9.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，記，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為2πB.C.D.在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算即可逐一判定.【詳解】解：∵，由并結(jié)合圖像知，∴，又，且在上單調(diào)遞減，∴，又，∴，，∴，∴．故選：C．10.已知定義在R上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，是奇函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（） A.在上單調(diào)遞減B.在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞減D.在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】【分析】根據(jù)是奇函數(shù)，得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)可知為偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，得到在上單調(diào)遞減，再求出函數(shù)的周期性得到答案.【詳解】是奇函數(shù)，，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.由，可得，由圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)可知為偶函數(shù)，∴在上單調(diào)遞減，，，是周期函數(shù)，最小正周期為4，∵，，∴在上的單調(diào)性和在上的單調(diào)性相同，在上單調(diào)遞減.故選：C.11.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交雙曲線右支于A，B兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由得，再利用雙曲線的定義可得，，從而可得關(guān)系，由直角三角形三邊關(guān)系即可得關(guān)系，即可得離心率的值.【詳解】如圖，設(shè)．∵，∴，由雙曲線定義可知，，∴，∴，∴，∵，∴，∴.故選：C.12.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為內(nèi)一點(diǎn)（包括邊界），且線段的長(zhǎng)度等于點(diǎn)P到平面ABCD的距離，則線段長(zhǎng)度的最小值是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】設(shè)直線與交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，設(shè)，利用線線平行可得再由得，即可得線段長(zhǎng)度的最小值.【詳解】設(shè)直線與交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，由于，平面，所以平面，故．設(shè)，則，由，知．即，解得由圖可知，即，∴，∴則線段長(zhǎng)度的最小值是.故選：D．第II卷（非選擇題90分）本卷包括必考題和選考題兩部分．第13-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22-23題為選考題，學(xué)生根據(jù)要求作答．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)___．【答案】15 【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)即可求得的系數(shù).【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，∴展開(kāi)式中的系數(shù)為．故答案為：15.14.Rt△ABC中，，D為BC上一點(diǎn)，，則_______．【答案】##【解析】【分析】由數(shù)量積的定義計(jì)算．【詳解】作交于，如圖，則，又，則，因此，．故答案為:.15.已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足，則=___________ 【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式即可求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以故答案為?16.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則的取值范圍為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】將極值點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，再將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的解的問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)求解即可.【詳解】∵，∴，∵函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，∴，又∵，∴，，∴，是，即的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.令，則．①當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，且，②當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，且，③當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增，且，∴在處取得極小值，的圖象大致如下， ∴若有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，則，即，且，，令，則，且∵，∴，又∵，∴，∴，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得，∴，下面求的取值范圍，設(shè)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，∴，即.又∵在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，∴，即.∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題容易僅當(dāng)作有兩個(gè)極值點(diǎn)求得的取值范圍，而造成錯(cuò)解，需要再根據(jù) ，結(jié)合所構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)換成的范圍，利用的范圍再次求解.三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知，．（1）求；（2）求四邊形面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題給條件，利用正弦定理和二倍角正弦公式即可求得；（2）先求得△ADC面積最大值，進(jìn)而求得四邊形面積的最大值．【小問(wèn)1詳解】設(shè)四邊形ABCD外接圓的半徑為R，，則，且，∴如圖，在△ABD和△BCD中，由正弦定理得．即∴，∴．∵，∴． ∵，∴．∵，∴【小問(wèn)2詳解】連接AC，由（1）知，∴又，∴△ABC為等腰直角三角形，∴解法一：取BC的中點(diǎn)O，AC的中點(diǎn)E，連接OE，則，∴當(dāng)點(diǎn)D在OE的延長(zhǎng)線上時(shí)，，此時(shí)△ADC面積最大，最大值為∴四邊形ABCD面積的最大值為．解法二：在△ADC中，由余弦定理得即即，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．∴∴四邊形ABCD面積的最大值為．18.直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，．（1）求證：平面⊥平面； （2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）先利用線面垂直判定定理證得⊥平面，進(jìn)而證得面⊥平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法即可求得二面角的余弦值．【小問(wèn)1詳解】∵為直三棱柱，∴，又∵，平面∴AB⊥平面．∵平面，∴①．設(shè)，則，，又∴．∵，∴，故②．由①②，且，平面，則⊥平面．又∵平面，∴平面平面ABD．【小問(wèn)2詳解】不妨設(shè)，則，如圖所示，以B為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，． 由（1）知⊥平面，且，則為平面的一個(gè)法向量．設(shè)為平面的法向量，則，令，得，∴．由圖可知二面角為銳二面角，故其余弦值為19.已知橢圓E：的離心率為，且三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)在E上，記為點(diǎn)P．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)A，B是E上異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)，直線PA，PB分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，且，求直線AB的斜率.【答案】（1）；（2） 【解析】【分析】（1）先求得的值，進(jìn)而求得橢圓E的方程；（2）先解直線與橢圓E組成的方程組，分別求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線AB的斜率.【小問(wèn)1詳解】由橢圓E的離心率為，得，∴．由E的對(duì)稱(chēng)性，知三點(diǎn)中在E上．∴．解得，故橢圓E的方程為【小問(wèn)2詳解】由已知可得直線PA斜率存在且不為0，設(shè)直線PA的方程為．聯(lián)立方程組，消去y整理得．由，得且，即．代入得，，∴∵，∴直線PB的斜率為.用代替點(diǎn)A坐標(biāo)中的k得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為∴， ∴直線AB的斜率為．20.人勤春來(lái)早，實(shí)干正當(dāng)時(shí)．某工廠春節(jié)后復(fù)工復(fù)產(chǎn)，為滿足市場(chǎng)需求加緊生產(chǎn)，但由于生產(chǎn)設(shè)備超負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn)導(dǎo)致某批產(chǎn)品次品率偏高．已知這批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，當(dāng)時(shí)產(chǎn)品為正品，其余為次品．生產(chǎn)該產(chǎn)品的成本為20元/件，售價(jià)為40元/件．若售出次品，則不更換，需按原售價(jià)退款并補(bǔ)償客戶(hù)10元/件．（1）若某客戶(hù)買(mǎi)到的10件產(chǎn)品中恰有兩件次品，現(xiàn)從中任取三件，求被選中的正品數(shù)量的分布列和數(shù)學(xué)期望：（2）已知P，工廠欲聘請(qǐng)一名臨時(shí)質(zhì)檢員檢測(cè)這批產(chǎn)品，質(zhì)檢員工資是按件計(jì)費(fèi)，每件x元．產(chǎn)品檢測(cè)后，檢測(cè)為次品便立即銷(xiāo)毀，檢測(cè)為正品方能銷(xiāo)售．假設(shè)該工廠生產(chǎn)的這批產(chǎn)品都能銷(xiāo)售完，工廠對(duì)這批產(chǎn)品有兩種檢測(cè)方案，方案一：全部檢測(cè)；方案二：抽樣檢測(cè)．若要使工廠兩種檢測(cè)方案的盈利均高于不檢測(cè)時(shí)的盈利，求x的取值范圍，并從工廠盈利的角度選擇恰當(dāng)?shù)姆桨福敬鸢浮浚?）分布列見(jiàn)解析；期望為（2），從工廠盈利的角度應(yīng)選擇方案一【解析】【分析】（1）求出ξ的可能取值及概率，得到分布列，得到期望值；（2）由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性得到產(chǎn)品的次品率，記Y為這批產(chǎn)品的次品數(shù)量，則計(jì)算出若這批產(chǎn)品不檢測(cè)，則該工廠的利潤(rùn)的期望，和選擇方案一，二的數(shù)學(xué)期望，得到不等式，計(jì)算出的取值范圍，并用作差法得到，選擇方案一.小問(wèn)1詳解】由題意可知的可能取值為1,2,3， ∴ξ的分布列如下：123P．∴．【小問(wèn)2詳解】∵且，∴．∴這批產(chǎn)品次品率為設(shè)該工廠生產(chǎn)的這批產(chǎn)品有n件，記Y為這批產(chǎn)品的次品數(shù)量，則若這批產(chǎn)品不檢測(cè)，則該工廠利潤(rùn)的期望為．若選擇方案一，則該工廠的利潤(rùn)的期望為令，解得．若選擇方案二，假設(shè)抽樣檢測(cè)件，則檢測(cè)出的次品的期望為0.04m件，不檢測(cè)的產(chǎn)品有件，則該工廠的利潤(rùn)的期望為令，解得．則，∵，且，∴． ∴，并從工廠盈利的角度應(yīng)選擇方案一、．21.已知函數(shù)（1）討論f(x)的單調(diào)性：（2）當(dāng)時(shí)，若，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論解不等式得增區(qū)間，得減區(qū)間．（2）不等式變形為，令，由于，因此存在，使得當(dāng)時(shí)，，從而，由此求得必要條件，然后再證明其也是充分的即可得．【小問(wèn)1詳解】．當(dāng)時(shí)，，易知f(x)在R上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，可得；令，可得且，∴f(x)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，可得且；令，可得，∴在和上單調(diào)增，在上單調(diào)遞減．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，由，得即， 令，則∵，且，∴存在，使得當(dāng)時(shí)，，∴，即．下面證明當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立．∵，且，∴設(shè)，∴，可知F(x)在上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，∴綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，一是直接求函數(shù)的最值，由最值滿足的不等關(guān)系解得參數(shù)范圍，二是采用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，得參數(shù)范圍，三是采取特殊值法求得必要條件，然后再證明其是充分條件，從而得參數(shù)范圍．請(qǐng)考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為，其中α為傾斜角，且.（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)l與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，直線OP，OQ的斜率為，，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】 【分析】（1）參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化；（2）直線的參數(shù)方程應(yīng)用，根與系數(shù)關(guān)系求得斜率和范圍.【小問(wèn)1詳解】曲線C的普通方程為，由，得，即，，所以，又，故，即，,所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，將代入直線l方程中，得，則，，，，，.選修4-5：不等式選講23.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，已知函數(shù)的最小值為4.（1）求的最小值； （2）證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）應(yīng)用絕對(duì)值三角不等式及基本不等式求目標(biāo)式最小值，注意取值條件，（2）利用基本不等式證明不等式即可.【小問(wèn)1詳解】，，則，，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，，即，僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.【小問(wèn)2詳解】，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，又，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 同理，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即.