《平行線模型-“豬蹄”模型（M模型）》專題練習：重點題型（原卷版）

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《平行線模型-“豬蹄”模型（M模型）》專題練習：重點題型（原卷版）專題01平行線模型-”豬蹄”模型(M模型)專題說明幾何學有形象化的好處,幾何會給人以數(shù)學直覺,不能把幾何學等同于邏輯推理,只會推理,缺乏數(shù)學直覺,是不會有創(chuàng)造的.現(xiàn)在初一的學生剛剛開始接觸幾何的證明,普遍會出現(xiàn)證明步驟不規(guī)范,在書寫的時候也會出現(xiàn)無從下手的情況,做題速度也普遍變慢,只有少數(shù)學生能夠在規(guī)定時間內(nèi)正確作答.所以,只要學生能夠?qū)W會利用平行線的性質(zhì)和判定的幾個基本模型去解決實際問題,會起到事半功倍的效果.本次課主要學習平行線模型-”豬蹄”模型(M模型),為以后的學習打好一個堅實的基礎(chǔ).【模型刨析】模型一”豬蹄”模型(M模型)點P在EF左側(cè),在AB、CD內(nèi)部“豬蹄”模型結(jié)論1：若AB∥CD,則∠P=∠AEP+∠CFP;結(jié)論2：若∠P=∠AEP+∠CFP,則AB∥CD.【典例分析】【典例1】(2022春?上虞區(qū)期末)如圖1,已知點E,F分別是直線AB,CD上的點,點M在AB與CD之間,且AB∥CD．(1)若∠EMF＝80°,則∠AEM+∠CFM＝．(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上,作射線EN,FN交于點N,使∠AEN＝∠AEM,∠CFN＝∠CFM,設(shè)∠EMF＝α,猜想∠ENF的度數(shù)(用α表示),并說明理由．(3)如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上,分別作射線EP,FP交于點P,作射線EQ,FQ交于點Q,11

1《平行線模型-“豬蹄”模型（M模型）》專題練習：重點題型（原卷版）若∠AEP＝∠AEM,∠CFP＝∠CFM,∠BEQ＝∠BEM,∠DFQ＝∠DFM,請直接寫出∠P與∠Q間的數(shù)量關(guān)系．【變式1-1】(2021秋?興城市期末)如圖是A,B,C三島的平面圖,C島在A島的北偏東52°方向,C島在B島的北偏西43°方向,求從C島看A,B兩島的視角∠ACB的度數(shù)．【變式1-2】(2022春?朝陽縣期末)學習完平行線的性質(zhì)與判定之后,我們發(fā)現(xiàn)借11

2《平行線模型-“豬蹄”模型（M模型）》專題練習：重點題型（原卷版）助構(gòu)造平行線的方法可以幫我們解決許多問題．(1)小明遇到了下面的問題：如圖1,l1∥l2,點P在l1,l2內(nèi)部,探究∠A,∠APB,∠B的關(guān)系,小明過點P作l1的平行線,可得∠APB,∠A,∠B之間的數(shù)量關(guān)系是：∠APB＝．(2)如圖2,若AC∥BD,點P在AC,BD外部,∠A,∠B,∠APB的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?請寫出證明過程．【變式1-3】(2021秋?長春期末)小明同學遇到這樣一個問題：如圖①,已知：AB∥CD,E為AB、CD之間一點,連接BE,ED,得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D．小亮幫助小明給出了該問的證明．證明：過點E作EF∥AB,則有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠FED＝∠D,∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．請你參考小亮的思考問題的方法,解決問題：直線l1∥l2,直線EF和直線l1、l2分別交于C、D兩點,點A、B分別在直線l1、l2上,猜想：如圖②,若點P在線段CD上,∠PAC＝15°,∠PBD＝40°,求∠APB的度11

3《平行線模型-“豬蹄”模型（M模型）》專題練習：重點題型（原卷版）數(shù)．拓展：如圖③,若點P在直線EF上,連接PA、PB(BD＜AC),直接寫出∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系．【夯實基礎(chǔ)】1．(2022春?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末)如圖,AB∥CD,∠1＝45°,∠2＝30°,則∠3的度數(shù)為()A．55°B．75°C．80°D．105°2．(2022春?安新縣期末)如圖所示是汽車燈的剖面圖,從位于O點燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線BA,CD都是水平線,若∠ABO＝α,∠DCO＝60°,則∠BOC的度數(shù)為()A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α3．(2020?韶關(guān)模擬)如圖,C島在A島的北偏東45°方向,C島在B島的北偏西25°方向,則從C島看A、B兩島的視角∠ACB的度數(shù)是()11

4《平行線模型-“豬蹄”模型（M模型）》專題練習：重點題型（原卷版）A．70°B．20°C．35°D．110°4．(2019?淮安區(qū)校級二模)如圖,AB∥CD,∠1＝45°,∠3＝75°,則∠2的度數(shù)為()A．30°B．35°C．40°D．45°5．(2019?青島模擬)如圖,AB∥CD,點E在線段BC上,若∠1＝40°,∠2＝30°,則∠3的度數(shù)是()A．50°B．55°C．60°D．70°6．(2022?朝陽區(qū)校級模擬)已知l1∥l2,一個含有30°角的三角尺按照如圖所示的位置擺放,若∠1＝65°,則∠2＝度．7．(2022春?諸暨市期末)從汽車燈的點O處發(fā)出的一束光線經(jīng)燈的反光罩反射后沿CO方向平行射出,已知入射光線OA的反射光線為AB,∠OAB＝∠COA＝72°．在如圖中所示的截面內(nèi),若入射光線OD經(jīng)反光罩反射后沿DE射出,且∠ODE＝27°．則∠AOD的度數(shù)是．11

5《平行線模型-“豬蹄”模型（M模型）》專題練習：重點題型（原卷版）8．(2022春?文登區(qū)期末)將一副三角板如圖擺放,使兩個直角頂點重合,斜邊平行,則∠1＝．9．(2021秋?九江期末)如圖．BA∥DE,∠B＝30°,∠D＝40°,求∠C的度數(shù)．10．(2021春?海淀區(qū)校級期末)如圖,AB∥CD,∠B＝26°,∠D＝39°,求∠BED的度數(shù)．11．(2021春?拱墅區(qū)期中)小明同學在完成七年級下冊數(shù)學第1章的線上學習后,遇到了一些問題,請你幫他解決一下．(1)如圖1,已知AB∥CD,則∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立嗎?請說明理由．11

6《平行線模型-“豬蹄”模型（M模型）》專題練習：重點題型（原卷版）(2)如圖2,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE、DE所在直線交于點E,若∠FAD＝50°,∠ABC＝40°,求∠BED的度數(shù)．12．(2021春?云夢縣期中)如圖,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC．(1)若∠1+∠2＝90°,求證：AB∥CD;(2)若AB∥CD,求∠BED的度數(shù)．【能力提升】13．(2021春?滄縣期中)引入11

7《平行線模型-“豬蹄”模型（M模型）》專題練習：重點題型（原卷版）在解決有關(guān)平行線的問題時,如果無法直接得到角的關(guān)系,就需要借助輔助線來幫助解答,如圖是一個”美味”的模型﹣﹣”豬蹄模型”．如圖所示,AB∥CD,點E在直線AB與CD之間,連接AE、CE,求證：∠AEC＝∠BAE+∠DCE．嘉琪想到了下面的思路,請根據(jù)思路繼續(xù)完成求證：證明：如圖,過點E作EF∥AB．思考當點E在如圖所示的位置時,其他條件不變,寫出∠BAE,∠AEC,∠DCE三者之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．應(yīng)用如圖,延長線段AE交直線CD于點M,已知∠BAE＝132°,∠DCE＝118°,求∠MEC的度數(shù)．提升點E、F、G在直線AB與CD之間,連接AE、EF、FG和CG,其他條件不變,如圖．若∠EFG＝m°,直接寫出∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的總度數(shù)．11

8《平行線模型-“豬蹄”模型（M模型）》專題練習：重點題型（原卷版）14．(2022春?陽江期末)如圖1,AB∥CD,EOF是直線AB、CD間的一條折線．(1)試證明：∠O＝∠BEO+∠DFO．(2)如果將折一次改為折二次,如圖2,則∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之間會滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系,證明你的結(jié)論．15．(2022春?來賓期末)如圖,直線PQ∥MN,直角三角尺ABC的∠BAC＝30°,∠ACB＝90°．(1)若把三角尺按圖甲方式放置,則∠MAC+∠PBC＝°;11

9《平行線模型-“豬蹄”模型（M模型）》專題練習：重點題型（原卷版）(2)若把三角尺按圖乙方式放置,點D,E,F是三角尺的邊與平行線的交點,若∠AEN＝∠A,求∠BDF的值;(3)如圖丙,三角尺的直角頂點C始終在兩條平行線之間,點G在線段CD上,連接EG,適當轉(zhuǎn)動三角尺,使得CE恰好平分∠MEG,求的值．11

10《平行線模型-“豬蹄”模型（M模型）》專題練習：重點題型（原卷版）11