四川省仁壽第一中學(xué)校（北校區(qū)）2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期9月月考理科數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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仁壽一中北校區(qū)2021級(jí)高三上學(xué)期9月月考試題理科數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁(yè)，全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，每個(gè)小題僅有一個(gè)正確選項(xiàng)．1.（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D.2.已知集合，，那么等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算，可得答案.【詳解】由題意，，則.故選：B.3.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則等于（）A.10B.15C.20D.25【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差即可得解.【詳解】因數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)知：，而，則，等差數(shù)列公差，首項(xiàng)， 則.故選：B.4.若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最大值為（）A.8B.7C.2D.1【答案】B【解析】【分析】由約束條件作出可行域，再結(jié)合圖象求出目標(biāo)函數(shù)的最值.【詳解】由約束條件作出可行域，如圖：聯(lián)立，解得由，得，為直線(xiàn)的縱截距.由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)的縱截距最大，且.故選：B.5.已知直線(xiàn)m，n及平面，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由充分條件與必要條件求解即可【詳解】由題意可知：當(dāng)時(shí)，與可能平行，也可能相交，故充分性不成立； 當(dāng)時(shí)，成立，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B6.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)是偶函數(shù)B.函數(shù)是增函數(shù)C.函數(shù)是周期函數(shù)D.函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義、余弦函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，易知函數(shù)在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由二次函數(shù)的性質(zhì)，易知函數(shù)在上為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，且當(dāng)時(shí)，，則，故D正確.故選：D.7.已知，都為銳角，，，則等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得和，代入，計(jì)算可得．【詳解】解：，都是銳角，，，，， 故選：A．8.已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，利用勾股定理求出，再根據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為，則，解得或（舍去），所以圓柱的體積.故選：C9.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的大小關(guān)系.【詳解】因，，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指數(shù)冪和對(duì)數(shù)值的比較大小問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對(duì)應(yīng)值的范圍.比較指對(duì)冪形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減； （2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減；（3）借助于中間值，例如：0或1等.10.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，將變形可得，由基本不等式的性質(zhì)可得的最小值為2，由題意得，解不等式即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，變形可得，即則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為2，若不等式有解，則有，解可得或，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是．故選：D．11.四名同學(xué)各擲骰子5次，并各自記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，分別統(tǒng)計(jì)四名同學(xué)的記錄結(jié)果，可以判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.平均數(shù)為3，中位數(shù)2B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C.中位數(shù)為3，方差為2.8D.平均數(shù)為2，方差為2.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意舉出特例，結(jié)合中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)以及方差公式，即可得出答案．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時(shí)，滿(mǎn)足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A錯(cuò)誤； 對(duì)于B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時(shí)，滿(mǎn)足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿(mǎn)足中位數(shù)為3，平均數(shù)為：，方差為，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)6點(diǎn)，則方差，則平均數(shù)為2，方差為2.4時(shí)，一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故D正確．故選：D．12.設(shè)函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若存在實(shí)數(shù)a使得恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，令，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個(gè)在直線(xiàn)上方，一個(gè)在直線(xiàn)下方，等價(jià)于一個(gè)函數(shù)的最小值大于另一個(gè)函數(shù)的最大值，即可得出答案．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，所以，令，由題意知，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個(gè)在直線(xiàn)上方，一個(gè)在直 下方，等價(jià)于一個(gè)函數(shù)的最小值大于另一個(gè)函數(shù)的最大值，由，得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，沒(méi)有最小值，由，得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值，無(wú)最小值，不合題意，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以即，所以，即m的取值范圍為．故選：A．二、填空題：共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分．13.展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)__________（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算出正確答案.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令得，所以展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為. 故答案為：14.已知向量，滿(mǎn)足，，則向量與的夾角為_(kāi)_______．【答案】####【解析】【分析】根據(jù)條件求出的坐標(biāo)，然后可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以所以所以向量與的夾角為故答案為：15.已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是__________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，，則．又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，則切線(xiàn)斜率為，所以切線(xiàn)方程為，即．【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性與解析式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【知識(shí)拓展】本題題型可歸納為“已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式”．有如下結(jié)論：若函數(shù)為偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為；若為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為．16.設(shè)函數(shù)，有下列結(jié)論：①的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)；②的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)； ③在上單調(diào)遞減；④在上最小值為，其中所有正確的結(jié)論是______．【答案】②③【解析】【分析】整理化簡(jiǎn)解析式可得，根據(jù)正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】，當(dāng)時(shí)，，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故②正確；由，得，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故③正確；當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，故④錯(cuò)誤．故答案為：②③．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17.等比數(shù)列中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和若，求. 【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解；（2）根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公比為，由，得，解得，所以或；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即，方程無(wú)解，綜上所述，.18.在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求的值；（2）若面積為，且，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知條件結(jié)合余弦定理可求cosA的值，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA的值．（2）利用三角形的面積公式可求bc的值，由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根據(jù)余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周長(zhǎng)． 【詳解】（1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，∴在△ABC中，sinA＝＝．（2）∵△ABC的面積為，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，則a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，，所以周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19.如圖，在四棱錐中，⊥平面，，，，，是的中點(diǎn)，在線(xiàn)段上，且滿(mǎn)足．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】(1)構(gòu)造平行四邊形找到平行線(xiàn)，利用線(xiàn)面平行的判定定理即可；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量計(jì)算二面角的余弦值，進(jìn)而求正弦值；【小問(wèn)1詳解】 如圖，取的中點(diǎn)為，連接,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以,所以四邊形為平行四邊形，所以,因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，【小?wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，所以因?yàn)?，所以，解得，所以，設(shè)平面和平面的法向量分別為所以,即，令，則有，所以同理,即，令，則有，所以設(shè)二面角為，則，.所以面角的正弦值.20. 某地區(qū)新高考要求語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)是考生的必考科目，考生還要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目.現(xiàn)從該地區(qū)已選科的學(xué)生中隨機(jī)選出200人，對(duì)其選科情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，選考物理的占，選考政治的占，物理和政治都選的有80人.（1）完成選考物理和政治的人數(shù)的列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為考生選考物理與選考政治有關(guān)？選考政治的人數(shù)沒(méi)選考政治的人數(shù)合計(jì)選考物理人數(shù)沒(méi)選考物理的人數(shù)合計(jì)（2）在該地區(qū)已選科的考生中隨機(jī)選出3人，這3人中物理和政治都選了的考生的人數(shù)為X，視頻率為概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：參考數(shù)據(jù)和公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，可以（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意完成列聯(lián)表，再計(jì)算出與比較即可得出判斷；（2）因?yàn)槿稳∫蝗宋锢砗驼味歼x了的概率，且，所以根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式列出分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，選考物理的考生有人，選考政治的考生有人，列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下：選考政治的人數(shù)沒(méi)選考政治的人數(shù)合計(jì) 選考物理的人數(shù)8040120沒(méi)選考物理的人數(shù)701080合計(jì)15050200因?yàn)?，所以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下，可以認(rèn)為考生選考物理與選考政治有關(guān).【小問(wèn)2詳解】在該地區(qū)已選科的考生中隨機(jī)選出1人，則物理和政治都選了的概率，易知，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即，所以可取0，1，2，3，，，，.分布列如下：0123則.21.已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若x＝0為g（x）的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，再對(duì)利用導(dǎo)數(shù)分兩種情況求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）求出，令，則，令，再對(duì)分兩種情況討論分析得解.【小問(wèn)1詳解】解：，令，則，①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，；綜上，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】解：，則，，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，，故，是減函數(shù)，所以.①當(dāng)，即時(shí)，，即在上是減函數(shù)，不符合是極小值，舍去；②當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)槭菧p函數(shù)，且，，所以，使得，當(dāng)時(shí)，，即是增函數(shù)，所以，即在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，使得，是減函數(shù)，故，從而是增函數(shù)，所以，即在上是減函數(shù). 綜上，的取值范圍是.（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多選，那么按所做的第一題計(jì)分．22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線(xiàn)C的普通方程和直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，求的值．【答案】（1）曲線(xiàn)C的普通方程為，直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為；（2）2【解析】【分析】（1）對(duì)于曲線(xiàn)C，消去參數(shù)，對(duì)于直線(xiàn)l，運(yùn)用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式即可；（2）聯(lián)立C與l方程，求出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)距離公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于C：，得：，代入①得：，化簡(jiǎn)得：，是等軸雙曲線(xiàn)；對(duì)于l，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式：得：；【小問(wèn)2詳解】由（1）的結(jié)論，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)，即點(diǎn)P在l上，聯(lián)立方程：，將④代入③得：，解得，，不妨設(shè) ，則，，；綜上，曲線(xiàn)C的普通方程為，直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為，.23.不等式的解集為．（1）求n值；（2）設(shè)a，b，，且，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分類(lèi)討論解絕對(duì)值不等式即可求得參數(shù)值；（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合柯西不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，不等式恒成立，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得；綜上所述，不等式解集為，故.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)（1）中所求，，故，即，故， 當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，也即時(shí)取得等號(hào).故的最大值為.