四川省綿陽實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年度高三上學(xué)期開學(xué)考試?yán)砜茢?shù)學(xué) Word版含解析.docx

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高2021級(jí)高三上學(xué)期開學(xué)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題一、單選題（60分）1.已知命題：，使得成立為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，知當(dāng)時(shí)，命題為真命題，當(dāng)時(shí)，需，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．【詳解】命題為真命題等價(jià)于不等式有解．當(dāng)時(shí)，不等式變形為，則，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，總存在，使得；綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B2.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)定義域求出集合A，利用對數(shù)運(yùn)算求解集合B，從而利用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以集合，所以集合，所以，故選：B3.下列每組中的函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）A.，B.， C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相同函數(shù)的定義進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；對于B，因?yàn)?，且，的定義域均為R，所以這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)；對于C，，和的對應(yīng)關(guān)系不同，所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；對于D，函數(shù)的定義域?yàn)閧，且}，函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù).故選：B.4.若二次函數(shù)滿足，且，則的表達(dá)式為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)得到，再根據(jù)得到，，從而得到函數(shù)的解析式.【詳解】設(shè)，，∵，則，又∵，令，則，∴，即，，令，則，，即，，∴，，.故選：D. 5.已知函數(shù)，則（）A.B.0C.4D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，可得答案.【詳解】由題意可知：，，.故選：A.6.已知定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，若在上單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知可知函數(shù)具有周期性和對稱性，從而可得，，再利用函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】由得，所以，又為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于對稱，所以，，又在內(nèi)單調(diào)遞減，，即.故選：D.7.已知在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由于函數(shù)在開區(qū)間有最小值,則函數(shù)的極小值點(diǎn)在內(nèi),且在內(nèi)的單調(diào)性是先減再增.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí),，當(dāng),,所以得極小值為.所以,得到，故選：D.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于難題.根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極小值來，由所給已知條件的分析，極小值點(diǎn).本題中的兩個(gè)條件都容易漏掉，所以做題時(shí)一定要認(rèn)真分析，充分挖掘題中的隱含條件，才能得到正確的答案.8.已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得是以6為周期的函數(shù)，結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以是?為周期的函數(shù)，所以，故選：D.9.定義區(qū)間的長度為，若函數(shù)，在上的最小值為3，最大值為4，則區(qū)間的長度的最大值為（）A.1B.8C.9D.10 【答案】C【解析】【分析】畫出函數(shù)圖像,計(jì)算函數(shù)值為3和4時(shí)的的值,結(jié)合圖形,得到長度最大區(qū)間來求解即可.【詳解】令可得當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，令可得當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，結(jié)合圖形可知，當(dāng)區(qū)間為時(shí)，區(qū)間的長度取得最大值為9.故選：C.10.已知函數(shù)滿足對任意實(shí)數(shù)，都有成立，則a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】易知函數(shù)在R上遞減，由求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足對任意實(shí)數(shù)，都有成立，所以函數(shù)在R上遞減， 所以，解得：故選：D.11.已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，有解，等價(jià)于在上有解；令，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，從而可得的取值范圍.【詳解】由題意得：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間當(dāng)時(shí)，有解，即當(dāng)時(shí)，有解等價(jià)于在上有解令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查能成立問題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)⒑瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間轉(zhuǎn)化為 有解的問題，進(jìn)而通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為所求變量與函數(shù)最值之間的關(guān)系問題，屬于?？碱}型.12.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】把函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為根的分布求出a的范圍，利用分離參數(shù)法得到.把轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的值域，即可得到答案.【詳解】由得，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，于是有，解得.因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以恒成?，設(shè)，則， 故上單調(diào)遞增，所以，由題意恒成立，所以.因此實(shí)數(shù)t的取值范圍是.故選：B二、填空題（20分）13.是虛數(shù)單位，數(shù)，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】，所以，故答案為:.14.命題：“，”，命題：“，”，若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】分別求得命題、為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)而求得和同時(shí)為真命題時(shí)，得到，進(jìn)而求得是假命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】若是真命題，則對于恒成立，所以，若是真命題，則關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，所以，即，若和同時(shí)為真命題，則，所以， 所以當(dāng)是假命題時(shí)，和中至少有一個(gè)是假命題時(shí)，可得．15.若函數(shù)處取得極小值，則______．【答案】8【解析】【分析】首先根據(jù)，求的值，再代入導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】，，由題意可知，，得，則，得或，與的變化情況如下圖，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以.故答案為：16.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且時(shí)，，給出下列結(jié)論：①；②函數(shù)在上是增函數(shù)；③函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；④若，則關(guān)于的方程在上的所有根之和為.則其中正確命題的序號(hào)為____________.【答案】①③④【解析】【分析】由題可判斷函數(shù)最小正周期為8，再結(jié)合賦值法即可逐項(xiàng)判斷求解【詳解】由，將代換，代換可得，，由函數(shù)為奇函數(shù)，故，令，則，又時(shí)， ，所以，所以，①對；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，所以時(shí)，單增，，則函數(shù)關(guān)于對稱，函數(shù)在上是減函數(shù)，②錯(cuò)；同理，令，得，圖像關(guān)于對稱，③對；如圖，畫出函數(shù)大致圖像，的最左側(cè)兩根和為-12，區(qū)間的兩根之和為4，區(qū)間兩根之和為20，所以所有根之和為12，④對故正確選項(xiàng)為：①③④故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)應(yīng)用，單調(diào)性、奇偶性，增減性等基本性質(zhì)，屬于中檔題三、解答題（70分）17.已知集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）當(dāng)B為非空集合時(shí)，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分別求出集合，然后計(jì)算，最后；（2）由題意知集合是集合的真子集，建立不等式組求解即可.【小問1詳解】∵，∴． 當(dāng)時(shí)，．∴，所以，或．【小問2詳解】∵為非空集合，是的充分不必要條件，則集合是集合的真子集，∴，解得：，∴m的取值范圍是．18.已知是定義在上的偶函數(shù)，且時(shí)，.（1）求的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，可將代入解析式，結(jié)合偶函數(shù)定義可得此時(shí)的解析式，由此可得解析式；（2）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)利用單調(diào)性化簡不等式求得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以， 令，則時(shí)，，則.【小問2詳解】因?yàn)闀r(shí)，，又函數(shù)，由函數(shù)，與函數(shù)，復(fù)合而成，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以不等式，可化為，或.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性定義證明在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在的值域；（3）若對任意，恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】 【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)其定義域內(nèi)，利用作差法，可得答案；（2）根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)，建立不等式，結(jié)合值域的定義，可得答案；（3）解法一：根據(jù)定義域，化簡不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；解法二：根據(jù)定義域，化簡不等式，利用參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【小問1詳解】由，則，設(shè)，，，由，則，，，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由（1）可知在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，，，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?【小問3詳解】解法一：依題意在上恒成立，即在上恒成立，記，，由在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以當(dāng)，即時(shí)，恒成立.于是實(shí)數(shù)的取值范圍為. 解法二：依題意在上恒成立，即在上恒成立，則在上恒成立.令，，由于在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以.20.已知函數(shù).（1）討論的最值；（2）設(shè)，若恰有個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）首先求導(dǎo)得到，再分類討論求解函數(shù)的最值即可.（2）首先函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，即恰有個(gè)不等的實(shí)根，從而得到恰有個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，則，得到有兩個(gè)解，再設(shè)令，利用單調(diào)性和最值求解即可.【小問1詳解】由題得，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故無最值當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在處取得唯一的極小值，即為最小值，即， 綜上所述，當(dāng)時(shí)，無最值當(dāng)時(shí)，的最小值為，無最大值.【小問2詳解】，函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，即恰有個(gè)不等的實(shí)根，即恰有個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，則，，單調(diào)遞增，有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又時(shí)，，且，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍為.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）【解析】 【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，討論，時(shí)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)從而得函數(shù)單調(diào)性；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，使得，設(shè)，求導(dǎo)確定單調(diào)性從而得函數(shù)最值，即可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】，定義域?yàn)椋?，則在上為增函數(shù)，若，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減綜上所述當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；【小問2詳解】因，使得，所以，令，即，因?yàn)?，設(shè)，所以在單調(diào)遞減，又，則當(dāng)，當(dāng)，故函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，的最大值為，即實(shí)數(shù)的取值范圍是． 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知含參不等式求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：構(gòu)造差函數(shù)，求導(dǎo)確定單調(diào)性，再相應(yīng)最值確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系下，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，若直線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1）;（2）5.【解析】【分析】（1）直線參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出直線的直角坐標(biāo)方程；由曲線的極坐標(biāo)方程，能求出曲線的直角坐標(biāo)方程．（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的方程，利用韋達(dá)定理由此能求出的值．【小問1詳解】直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的直角坐標(biāo)方程為．曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為．【小問2詳解】將直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入曲線的方程，得： ，，．