湖北省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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高三數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后、將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合，邏輯，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式，數(shù)列，向量，三角函數(shù)（不含解三角形）.一、單選題（本大題共8小題，共40分，在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由題意：，∴由共軛復(fù)數(shù)的定義得.故選：C.2已知全集，，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，再利用補(bǔ)集、交集的定義求解作答.【詳解】解不等式，即，解得，即，解不等式，得，即，或，所以. 故選：B3.命題“，”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合恒成立問(wèn)題可知，根據(jù)充分、必要條件結(jié)合包含關(guān)系分析判斷.【詳解】因?yàn)?，即，且，則，由題意可得，選項(xiàng)中只有選項(xiàng)D滿足是的真子集，所以命題“，”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是.故選：D.4.如圖所示，向量，，，在一條直線上，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，即.故選：B.5.已知曲線在處的切線與直線垂直，則的值為（）A.4B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線在處的切線斜率為 ，結(jié)合垂直關(guān)系運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋傻?，即曲線在處的切線斜率為，且直線的斜率為，由題意可得：，解得.故選：B.6.設(shè)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得4為周期，根據(jù)題意結(jié)合周期性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則，可知4為的周期，且，可得.故選：C.7.已知，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由倍角公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)椋?且，則，可得，所以；又因?yàn)?，且，可得，所以；綜上所述：.故選：A.8.已知向量，，若關(guān)于的方程在上的兩根為，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由題意，，可得：，設(shè)，當(dāng)時(shí)，.且由，得在上的對(duì)稱軸為.∵方程在上的兩根為，∴，， 且由得，∴.∴，∵當(dāng)時(shí)，，∴，即有.又∵，∴，則，∴由得：，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的求解思路和求法：1.思路：函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心可結(jié)合圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心求解.2.方法：利用整體代換的方法求解，令，，可解得對(duì)稱軸方程；令，，可解得對(duì)稱中心橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為.對(duì)于、，可利用類似方法求解（注意的圖象無(wú)對(duì)稱軸）.二、多選題（本大題共4小題，共20分.每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.C.D.數(shù)列是等差數(shù)列【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，即可得到關(guān)于和方程組，結(jié)合條件解得和，從而得到，再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，則， 由，解得：或，則或，又為整數(shù)，所以，且，，所以B選項(xiàng)正確；又，所以，則，，，所以C選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以不是等比?shù)列，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；又有，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，所以D選項(xiàng)正確；故選：BCD.10.已知實(shí)數(shù)，，滿足，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化得到，，，對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)即可判斷；根據(jù)對(duì)數(shù)的換底公式得到，即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，利用作差法和換底公式結(jié)合基本不等式即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)：根據(jù)基本不等式即可判斷.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，，?duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)?，則，即，所以，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：， 因，所以，又，所以，即，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以，故D選項(xiàng)正確；故選：BD.11.函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)的零點(diǎn)為，C.若，則，D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求得和，代入點(diǎn)，求得，從而得到，根據(jù)正弦的函數(shù)的性質(zhì)判斷ABC選項(xiàng)，對(duì)于D選項(xiàng)：利用三角恒等變換得到，其中，，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系即可求解. 【詳解】對(duì)A：由函數(shù)圖象得，且函數(shù)的周期滿足：，則，解得：，即，代入點(diǎn)得：，，解得：，又，所以，故A選項(xiàng)正確；則，對(duì)B：令，得，，解得：，，所以函數(shù)的零點(diǎn)為，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)?，又，即，且，則，，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)D：又，即，則，所以，其中，，故，所以，，即，，則，所以D選項(xiàng)正確；故選：ACD.12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足對(duì)任意恒成立，則下列命題正確的是（） A.B.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，C.D.的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】利用可判斷A；求出，分為奇數(shù)、為偶數(shù)，求出可判斷BC；分為奇數(shù)、為偶數(shù)，利用分離，再求最值可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以，故A正確；所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，故C正確；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，若，則，即，所以，而，即；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則得， 即，而，即，綜上所述，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵點(diǎn)是分類討論、分離參數(shù)求最值．三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知平面向量，，那么在上的投影向量坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算和投影向量的計(jì)算公式即可.【詳解】，所以，同理可得：，且，，在上的投影向量為：故答案為：14.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】由于在上是增函數(shù)，則在上恒成立，可得以在上恒成立，即在上恒成立，令，求導(dǎo)確定單調(diào)性即可得最值從而可得的取值范圍，即可得所求. 【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，則，故，所以的最小值是.故答案為：.15.購(gòu)買同一種物品可以用兩種不同的策略，不考慮物品價(jià)格的升降，甲策略是每次購(gòu)買這種物品的數(shù)量一定，乙策略是每次購(gòu)買這種物品所花的錢數(shù)一定，則______種購(gòu)物策略比較經(jīng)濟(jì).【答案】乙【解析】【分析】設(shè)第一次和第二次購(gòu)物時(shí)價(jià)格分別為，每次購(gòu)n，根據(jù)條件，求得按甲策略購(gòu)買的平均價(jià)格x，若按第二種策略，設(shè)每次花錢m元錢，則可求得按乙策略購(gòu)買的平均價(jià)格y，利用作差法，即可比較x，y的大小，進(jìn)而可求得答案.【詳解】設(shè)第一次和第二次購(gòu)物時(shí)價(jià)格分別為，按甲策略，每次購(gòu)n，按這種策略購(gòu)物時(shí)，兩次的平均價(jià)格，按乙策略，第一次花m元錢，能購(gòu)物物品，第二次仍花m元錢，能購(gòu)物物品，兩次購(gòu)物的平均價(jià)格，比較兩次購(gòu)物的平均價(jià)格，因?yàn)榧撞呗缘钠骄鶅r(jià)格不小于第乙種策略的平均價(jià)格，所以用第二種購(gòu)物方式比較經(jīng)濟(jì)， 故答案為：乙.16.已知函數(shù)若關(guān)于的方程，有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】作出與的圖象，即可判斷【詳解】作出的圖象，因?yàn)榈膱D象是過(guò)定點(diǎn)，并且是繞著該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的兩條關(guān)于對(duì)稱的的射線.當(dāng)時(shí)，為軸，兩函數(shù)圖象只有3個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，的是兩條向下的射線，兩圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.故，先考慮時(shí)兩圖象的交點(diǎn)情形，當(dāng)時(shí)，,與剛好只交于點(diǎn).證明如下：當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處，由，故，令，則，所以切線方程為：；當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處，由，故，令，則，所以切線方程為：；所以當(dāng)時(shí)在，兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)考慮，當(dāng)，兩函數(shù)圖象必有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以兩函數(shù)圖象在有一個(gè)交點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，聯(lián)立得，無(wú)解，所以沒(méi)有交點(diǎn)；所以當(dāng)時(shí)，只有3個(gè)交點(diǎn)，不合題意.當(dāng)時(shí)，，兩射線更加陡峭，兩函數(shù)圖象在時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn)，在有一個(gè)交點(diǎn)，則在有兩個(gè)交點(diǎn)，另外兩個(gè)交點(diǎn)要在取得，當(dāng)，即時(shí)，在和各一個(gè)交點(diǎn)；故在時(shí)，兩圖象有4個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，兩射線趨于平緩，則兩函數(shù)圖象在有一個(gè)交點(diǎn)，在沒(méi)有交點(diǎn)，則在有2個(gè)交點(diǎn)，另兩個(gè)必須在取得，若與相切，則聯(lián)立得，；此時(shí)兩函數(shù)圖象在有三個(gè)公共點(diǎn).所以在時(shí)，兩函數(shù)圖象在有2個(gè)交點(diǎn)，在也有2個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)，兩函數(shù)圖象在有2個(gè)交點(diǎn)，在也有3個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意；綜上所述，的取值范圍為.故答案為： 四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.已知函數(shù)在處有極值2.（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【答案】（1），（2）最小值是，最大值是2.【解析】【分析】（1）利用極值和極值點(diǎn)列方程求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后比較極值和端點(diǎn)處函數(shù)值的大小即可.【小問(wèn)1詳解】，.∵函數(shù)在處取得極值2，∴，，解得，，∴，經(jīng)驗(yàn)證在處取得極大值2，故，.【小問(wèn)2詳解】，令，解得， 令，解得或，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故函數(shù)的最小值是，，故函數(shù)的最大值是2.18.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)，且時(shí)，求的值.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到答案；（2）代入得，再求出，再利用二倍角公式和兩角和與差的余弦公式即可得到答案.小問(wèn)1詳解】，因?yàn)?，所以函?shù)的值域是.令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問(wèn)2詳解】 由，得.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所?9.已知且，函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，且滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：①函數(shù)為奇函數(shù)；②；③.（1）從中選擇的兩個(gè)條件的序號(hào)為_(kāi)_____，依所選擇的條件求得______，______.（2）在（1）的情況下，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍.【答案】（1）選擇①②，，（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)單調(diào)性分析可知一定滿足①②，進(jìn)而結(jié)合奇偶性和列方程求解即可；（2）參變分離可得，，，換元轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)解，進(jìn)而結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞減函數(shù)，故②，③不會(huì)同時(shí)成立，故函數(shù)一定滿足①函數(shù)為奇函數(shù). 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，則，，故一定滿足②.選擇①②，，即，而，解得.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，由，則，即，令，因?yàn)?，所以，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)解，顯然，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，，要使在上有兩個(gè)解，則，所以的取值范圍是.20.在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，，，且. （1）求的正弦值；（2），邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，求的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用正弦定理對(duì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得出角，再由正弦定理解出的正弦值；（2）運(yùn)用余弦定理以及向量知識(shí)求出、、的值，根據(jù)題意得到為重心，從而得出、，進(jìn)而得出的余弦值.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理可得，，即，整理?因?yàn)?，所以，所以，?又因?yàn)?，所?由正弦定理，得.【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得， 即，所以.在中，由余弦定理得，則.在中，，所以，解得.由，分別為邊，上的中線可知為的重心，可得，.在中，由余弦定理得，又因?yàn)?，所?21.數(shù)列滿足，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求 對(duì)任意都成立的最小正整數(shù).（參考公式：，）【答案】（1）（2）1012【解析】【分析】（1）先寫出，結(jié)合題中條件的式子，兩式相減可得出與之間的遞推關(guān)系，從而解決問(wèn)題；（2）先分析出中各項(xiàng)所滿足的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式求解出，裂項(xiàng)求解出，從而求解出滿足題意的值.【小問(wèn)1詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，作差，得，即.因?yàn)椋?，所以，滿足，即為常數(shù)列，即，.【小問(wèn)2詳解】由題意，，即.設(shè)，，則，， .因?yàn)閷?duì)任意都成立，所以，即，的最小值為1012.22.設(shè)函數(shù)，，.（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到，再分別解不等式和，即可得到在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）根據(jù)條件得到時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)（），求導(dǎo)得到，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得到在上單調(diào)遞增和分類討論和即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意得：，.由，得，由，得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】 由時(shí)，，得，即.設(shè)，，則，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，，所以，所以即在上單調(diào)遞增，則.①當(dāng)時(shí)，則，所以上單調(diào)遞增，所以恒成立，符合題意.②當(dāng)時(shí)，則，且時(shí)，，則必存在正實(shí)數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意.綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時(shí)，一般需要對(duì)結(jié)論進(jìn)行合適的轉(zhuǎn)化，本題轉(zhuǎn)化為只需證明在上的最小值大于即可，對(duì)不等式適當(dāng)變形，構(gòu)造函數(shù)是解決問(wèn)題的第二個(gè)關(guān)鍵所在，一般需利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，.