重慶市第十一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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重慶市第十一中學(xué)校教育集團高2025屆高二上期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項:1.本試卷滿分為150分,考試時間為120分鐘2.答卷前考生務(wù)必將自己的姓名、班級、準考證號填寫在答題卡上3.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)1.已知兩點,,則直線的斜率為A.2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接應(yīng)用斜率公式計算即可.【詳解】已知兩點,,由斜率公式得.故選:C【點睛】本題主要考查直線的斜率公式,屬于基礎(chǔ)題.2.在棱長為1的正四面體中,直線與是().A.平行直線B.相交直線C.異面直線D.無法判斷位置關(guān)系【答案】C【解析】【分析】利用異面直線的判斷方法判斷即可.【詳解】作出正四面體,如圖, 因為平面,平面,,平面,所以與是異面直線.故選:C.3.已知,表示兩條不同的直線,表示平面,則下列說法正確的是()A.若,,則B.若,,則C.若,,則D.若,,則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行的判定與性質(zhì)依次判斷各個選項可得結(jié)果.【詳解】選項:由線面垂直的性質(zhì)定理可知正確;選項:由線面垂直判定定理知,需垂直于內(nèi)兩條相交直線才能說明,錯誤;選項:若,則平行關(guān)系不成立,錯誤;選項:的位置關(guān)系可能是平行或異面,錯誤.故選:【點睛】本題考查空間中線面平行與垂直相關(guān)命題的辨析,關(guān)鍵是能夠熟練掌握空間中直線與平面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理.4.已知雙曲線的兩條漸近線均與圓相切,則雙曲線C的離心率為()A.B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】先得到雙曲線的漸近線,然后根據(jù)漸近線與圓相切,利用點到直線的距離等于半徑,得到和 的關(guān)系,求出離心率,得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線為因為兩條漸近線均與圓相切,所以點到直線的距離等于半徑即,又因為整理得到,故雙曲線C的離心率為.故選:B.【點睛】本題考查求雙曲線漸近線,根據(jù)直線與圓相切求參數(shù)關(guān)系,求雙曲線的離心率,屬于簡單題.5.如圖,在四棱錐中,底面,底面為正方形,,為上一點,且,則異面直線與所成的角的大小為()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以點為坐標原點,、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系,利用空間向量法可求得異面直線與所成的角的大小.【詳解】以點為坐標原點,、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系, 則、、、,,,,因此,異面直線與所成的角的大小為.故選:B.6.如圖,已知橢圓C的中心為原點O,為橢圓C的左焦點,P為橢圓C上一點,滿足,且,則橢圓C的方程為()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)橢圓的右焦點為,連接,由可得,可求得,由橢圓的定義可求得,利用之間的關(guān)系可求得,即可得到答案【詳解】如圖,設(shè)橢圓的右焦點為,則,連接,因,所以, 所以,由橢圓的定義可得,則,又因為,所以,所以橢圓的方程為,故選:D7.已知實數(shù)x,y滿足方程,則的最大值和最小值分別為()A.、B.,C.,D.,【答案】B【解析】【分析】根據(jù)目標式的幾何意義:圓上點與原點所成直線的斜率,結(jié)合直線與圓關(guān)系求其最值即可.【詳解】圓,圓心,半徑為,令,即,的最值,是圓心到直線的距離等于半徑時的k值,∴,解得,∴的最大值為,最小值為.故選:B8.已知雙曲線虛軸的一個頂點為D,分別是C的左,右焦點,直線與C交于A,B兩點.若的重心在以為直徑的圓上,則C的漸近線方程為()A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】不妨取,再求得兩點的坐標為,從而求得重心的坐標為,進而得到,解得,由此得解.【詳解】因為雙曲線,則其虛軸上的頂點為,不妨取,聯(lián)立,解得,則兩點的坐標為,所以的重心的坐標為,即,因為△ABD的重心在以為直徑的圓上,而為直徑的圓的方程為,所以,解得,所以的漸近線方程為.故選:D.二、多選題(本大題共4小題,每小題5分,共20.0分)9.在正方體中,點是底面的中心,則()A.平面B.與成角為30oC.D.平面【答案】ABC【解析】【分析】A.由,得到是平行四邊形,從而,再利用線面平行的判定定理判斷;B.根據(jù),得到為所成的角判斷;C.由正方體的特征,得到平面判斷;D.由判斷;【詳解】如圖所示: A.因為,是平行四邊形,所以,因為平面,平面,所以平面,故正確;B.因為,所以為所成的角,又平面,則,設(shè)棱長為a,則,因為,則,故正確;C.因為,所以平面,則,故正確;D.因為,,所以不垂直,則與平面不垂直,故錯誤;故選:ABC10.設(shè)橢圓的左右焦點為,P是C上的動點,則()A.B.離心率C.短軸長為2,長軸長為4D.不可能是鈍角【答案】AD【解析】【分析】利用橢圓定義及性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】橢圓,,,A正確; 離心率,B錯誤;短軸長為,長軸長為,C錯誤;當點P在橢圓短軸端點處時,最大,此時,得,故不可能是鈍角,D正確.故選:AD.11.給出下列命題,其中正確的是()A.若直線l的方向向量,平面α的法向量,則∥;B.若平面α,β的法向量分別為,則;C.若平面α經(jīng)過三點,向量是平面α的法向量,則;D.若點,點C是A關(guān)于平面yOz的對稱點,則點B與C的距離為【答案】BC【解析】【分析】對于A:通過計算以及線面平行的判定來判斷;對于B:通過計算來判斷;對于C:通過計算以及來得答案;對于D:求出對稱點,然后利用距離公式計算.【詳解】對于A:,則,又直線l可能在平面α外,也可能在平面α內(nèi),故∥或,A錯誤;對于B:,則,B正確;對于C:,向量是平面α的法向量,則,解得,,C正確;對于D:點C是A關(guān)于平面yOz的對稱點,且,得,則,D錯誤. 故選:BC.12.隨著我國航天科技快速發(fā)展,雙曲線鏡的特性使得它在天文觀測中具有重要作用,雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是:從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線,經(jīng)雙曲線反射后,反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.由此可得,過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.已知分別為雙曲線的左,右焦點,過C右支上一點作直線l交x軸于,交y軸于點N,則()A.C的漸近線方程為B.過點作,垂足為H,則C.點N的坐標為D.四邊形面積的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)方程,可直接求出漸近線方程,即可判斷A項;根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可推得點為的中點.進而得出,結(jié)合雙曲線的定義,即可判斷B項;由已知可得,進而結(jié)合雙曲線方程,即可得出點的坐標,即可判斷C項;由,代入利用基本不等式即可求出面積的最小值,判斷D項.【詳解】對于A項,由已知可得,,所以雙曲線的漸近線方程為,故A項正確;對于B項,如圖, ,且滿足,所以直線的方程為,聯(lián)立化簡得,由于,即為雙曲線的切線.由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知,平分,延長與的延長線交于點.則垂直平分,即點為的中點.又是的中點,所以,故B項正確;對于C項,設(shè),則,整理可得.又,所以有,所以有,解得,所以點的坐標為,故C項錯誤; ,當且僅當,即時,等號成立.所以,四邊形面積的最小值為,故D項正確.故選:ABD【點睛】關(guān)鍵點睛:解答本題的關(guān)鍵是利用光學(xué)性質(zhì)得點為的中點,結(jié)合雙曲線的定義求解,注意平面幾何的特性是解決此類問題的捷徑.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20.0分)13.兩平行直線與之間的距離為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)兩條平行直線間距離公式,即可得解.【詳解】將直線化為,所以這兩條平行直線間的距離為.故答案為:.14.已知方程表示焦點在y軸上的橢圓,則m的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)橢圓標準方程與橢圓焦點位置的關(guān)系列不等式求解.【詳解】方程,即表示焦點在y軸上的橢圓,得, 解得.故答案為:.15.如圖,在長方體中,且,為棱上的一點.當取得最小值時,的長為______.【答案】【解析】【分析】將側(cè)面、側(cè)面延展至同一平面,分析可知,當點、、三點共線時,取最小值,推導(dǎo)出點為棱的中點,再利用勾股定理可求得線段的長.【詳解】將側(cè)面、側(cè)面延展至同一平面,如下圖所示:當點、、三點共線時,取最小值, 在上圖矩形中,,,則,即,此時,點為的中點,如下圖所示,連接,易知四邊形是邊長為的正方形,則,因為平面,平面,所以,,又因為為的中點,所以,,由勾股定理可得.故答案為:.16.設(shè)橢圓的焦點為,,P是橢圓上一點,且,若的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R,r,當時,橢圓的離心率為______.【答案】##0.6【解析】【分析】由正弦定理得到,再根據(jù)三角形面積公式和余弦定理得到,從而根據(jù)得到方程,求出離心率.【詳解】由題意得, 由正弦定理得,故,由橢圓定義可知,,故,又,由余弦定理得,即,解得,故,解得,因為,所以,解得.故答案為:四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.平面直角坐標系中,已知三個頂點的坐標分別為,,. (1)求邊上的高所在的直線方程;(2)求的面積.【答案】(1);(2)5【解析】【分析】(1)寫出BC邊所在的直線的斜率,即可求出BC邊上高的斜率,根據(jù)點斜式寫出方程;(2)利用點到直線的距離求三角形的高,再根據(jù)兩點間的距離求三角形的底BC,即可得解.【詳解】(1)直線的斜率,則邊上高所在直線斜率,則邊上的高所在的直線方程為,即.(2)的方程為,.點到直線的距離,,則的面積【點睛】本題主要考查了直線方程的點斜式,垂直直線斜率間的關(guān)系,點到直線的距離,屬于中檔題.18.已知直線l經(jīng)過兩條直線2x﹣y﹣3=0和4x﹣3y﹣5=0的交點,且與直線x+y﹣2=0垂直.(1)求直線l的方程;(2)若圓C過點(1,0),且圓心在x軸的正半軸上,直線l被該圓所截得的弦長為,求圓C的標準方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先求得直線和直線的交點坐標,再用點斜式求得直線的方程.(2)設(shè)圓的標準方程為,根據(jù)已知條件列方程組,求得,由此求得圓的標準方程.【小問1詳解】 .直線的斜率為,所以直線的斜率為,所以直線的方程為.【小問2詳解】設(shè)圓的標準方程為,則,所以圓標準方程為.19.直三棱柱中,,D為線段AB上一動點.(1)當D為線段AB的中點時.證明:平面(2)當時,求直線與平面所成角的正弦值【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)利用三角形中位線性質(zhì)可得,再利用線面平行的判定定理即可得證;(2)利用勾股定理可得,從而建立空間直角坐標系,利用線面角的向量求法即可得解.【小問1詳解】連接,交于點,連接,如圖,四邊形為平行四邊形,為的中點,又為的中點,, 平面,平面,平面.【小問2詳解】因為,所以,故,又在直三棱柱中,平面,則以為坐標原點,正方向為軸的正方向,建立空間直角坐標系如圖,則,,,,設(shè),由得:,即,解得,,,,,設(shè)平面的法向量,則,令,則,,,又,設(shè)直線與平面所成角為,則,所以直線與平面所成角的正弦值為..20.已知雙曲線,點在E上.(1)求E的方程; (2)過點的直線l交E于不同的兩點A,B(均異于點P),求直線PA,PB的斜率之和.【答案】(1)(2)3【解析】【分析】(1)將點坐標代入,即可得出答案;(2)設(shè)出的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線的方程得出,根據(jù)已知求出的范圍.設(shè),進而根據(jù)韋達定理得出的關(guān)系,表示出斜率,求和化簡即可得出答案.【小問1詳解】將點代入雙曲線方程可得,,解得,所以,E的方程為.【小問2詳解】由已知易得直線的斜率一定存在,設(shè)斜率為,則的方程為.聯(lián)立直線與雙曲線的方程,整理可得,則,解得且.設(shè),由韋達定理可得, 則.21.如圖,正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面相互垂直,已知.(1)求證:;(2)在線段BE上是否存在一點P,使得平面平面BCEF?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在,【解析】【分析】(1)先得到面,則,再過作于,由勾股定理得到,由此可證明;(2)分別以方向為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,利用向量法求出線段BE上存在一點P,使得平面平面BCEF.【小問1詳解】 平面平面,平面平面,又,平面,面,平面,,過作于,則,又,面,面,又面,;【小問2詳解】由(1)知兩兩垂直,分別以方向為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,,則,假設(shè)在線段BE上存在一點P,使得平面平面BCEF設(shè),則,設(shè)平面的一個法向量為,由得 ,取得,設(shè)平面BCEF的一個法向量為,,,得,取得,平面平面BCEF,解得,,即在線段BE上存在一點P,使得平面平面BCEF,且.22.已知橢圓的離心率為,點為A橢圓C的右頂點,點B為橢圓上一動點,O為坐標原點,若面積的最大值為1.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線與橢圓C交于M,N兩點,O為坐標原點,若,求面積的最大值.【答案】(1)(2)1【解析】【分析】(1)當點為橢圓短軸端點時,面積最大,從而得到關(guān)系,結(jié)合離心率,,求出,,得到橢圓方程.(2)設(shè),,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,化為關(guān)于的一元二次方程,由弦長公式求弦長,再由點到直線的距離求點到直線的距離,寫出三角形面積公式,再利用換元法,結(jié)合二次函數(shù)求最值.【小問1詳解】 當點為橢圓短軸端點時,面積的最大值為1,此時,即,又因為,,所以,,所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】聯(lián)立,消得,由,得,設(shè),,則,,因為, 所以,所以,即,即,因為,即,點到直線的距離為,,令,所以,,,所以當時,即時,面積最大,最大值為1.

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