7.2 可分離變量的微分方程.pptx

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第二節(jié)可分離變量的微分方程 一階方程的一般形式為本節(jié)主要研究能把導(dǎo)數(shù)解出來的一階方程的解法這個方程雖然簡單,也常常很難求出解的有限表達(dá)式。所以本節(jié)只討論特殊類型的一階微分方程的解法。 一階方程有時也可以寫成如下的對稱形式它既可視為以x為自變量以y為未知函數(shù)的方程也可以視為以y為自變量以x為未知函數(shù)的方程很重要的觀點(diǎn)考慮方程或?qū)懗蓛蛇叿e分得 但并不是所有的一階方程都能像上面那樣采取兩邊積分的方法來求它的通解如困難就在于方程的右端含有未知函數(shù)積分求不出來為了解決這個問題方程的兩邊同乘以使方程變?yōu)檫@樣變量x,y已經(jīng)分離在等式的兩端兩邊積分得或可以驗(yàn)證是方程的通解 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程.這類方程的特點(diǎn)是:經(jīng)過適當(dāng)整理,可使方程的一端只含有一個變量和其微分. 解法:分離變量法為微分方程的解.求解步驟:分離變量兩邊積分得到隱式通解或通積分 例.求微分方程的通解.解:分離變量得兩邊積分得即(C為任意常數(shù))或說明:在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解y=0) 例解對上式兩邊積分,得原方程的通解經(jīng)初等運(yùn)算可得到原方程的通解為你認(rèn)為做完了沒有? 原方程的解為 例.求下述微分方程的通解:解:此方程不是標(biāo)準(zhǔn)的變量分離方程,想法把它變成標(biāo)準(zhǔn)形式。令 例.求下述微分方程的通解:解:令則故有即解得(C為任意常數(shù))所求通解: 練習(xí)題1.求下列方程的通解:2.3.解初值問題 1.求下列方程的通解:提示:(1)分離變量(2)方程變形為 2.解法1分離變量即(C<0)解法2故有積分(C為任意常數(shù))所求通解: 3.解初值問題解:分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C為任意常數(shù))故所求特解為 分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分---隱式通解;3.非標(biāo)準(zhǔn)變量分離方程。注分離變量時,注意檢查是否有漏解,特別是寫成對稱形式的方程(因?yàn)橐毐WC分母不等于0)內(nèi)容小結(jié) 作業(yè)P308:1(5)(6)(7)(10),2(2).

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