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2022年春季學期高一年級開學檢測考試數(shù)學試卷一?單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1.若集合,則A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】由得:,所以,故選B.點睛:集合是高考中必考的知識點,一般考查集合的表示、集合的運算比較多.對于集合的表示,特別是描述法的理解,一定要注意集合中元素是什么,然后看清其滿足的性質,將其化簡;考查集合的運算,多考查交并補運算,注意利用數(shù)軸來運算,要特別注意端點的取值是否在集合中,避免出錯.2.已知;,若是的充分條件,則實數(shù)的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設對應的集合為,對應的集合為,由題意可得是的子集,即可求解.【詳解】由可得:,解得:,記,,若是充分條件,則是的子集,所以,所以實數(shù)的取值范圍是,故選:C.3.已知,且,則=()A.B.C.D.【答案】A
【解析】【分析】先利用誘導公式求出,再利用誘導公式和弦化切可求三角函數(shù)式的值.【詳解】由,得,,故選:A.【點睛】本題考查誘導公式和同角的三角函數(shù)基本關系式,前者應用時注意符號的討論,本題屬于基礎題.4.已知扇形面積為,半徑是1,則扇形的圓心角是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)扇形面積公式即可求出【詳解】設扇形的圓心角為,則,即,解得故選:C.5.三個數(shù),,的大小關系為A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b【答案】D【解析】【詳解】試題分析:,,綜上故選D.考點:1、指數(shù)函數(shù);2、對數(shù)函數(shù).【方法點晴】本題主要考查的是比較數(shù)的大小,屬于容易題,這里面用到的方法為中間量比較法,即比較a,b,c與0和1的大小關系,由于c<0,a<1且b>1,所以很容易看出a,b,c
的大小關系,比較兩個數(shù)的大小關系還有作差法,作商法,單調性法,直接求值等.6.若,則等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了三角函數(shù)中角的配湊問題,需要通過換元,設,得,再表示出,利用誘導公式求解即可.【詳解】設,則,,所以,所以.故選:B.7.在ABC中,若,則()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由,兩邊平方得到,再求得,聯(lián)立求解.【詳解】因為在ABC中,,兩邊平方得;,即,所以,,
即,解得,所以,故選:D8.函數(shù)的值域為()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用二次函數(shù)的性質求出的范圍,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性即可求出函數(shù)值域.【詳解】,,故的值域為.故選:A.【點睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)值域的求法,屬于基礎題.二?多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對得5分,部分選對得3分,有錯選的得0分.)9.下列函數(shù)中,在區(qū)間上單調遞增的是()A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】結合選項中函數(shù)的解析式逐項分析函數(shù)的單調性即可.
【詳解】A:結合冪函數(shù)的性質可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增;B:因為時,,結合指數(shù)函數(shù)的性質可知單調遞增,故在區(qū)間上單調遞增;C:因為,所以函數(shù)在上單調遞減,在單調遞增;D:函數(shù)在上單調遞減,在單調遞增;故選:AB.10.若函數(shù)(,且)的圖像不經(jīng)過第二象限,則需同時滿足()A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的圖像分布,列式可解得.【詳解】因為函數(shù)(,且)圖像不經(jīng)過第二象限,即可知圖像過第一、三、四象限,或過第一,三象限及原點,所以其大致圖像如圖所示:由圖像可知函數(shù)為增函數(shù),所以,當時,,故選:AD.【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖像,考查數(shù)形結合思想,屬于基礎題.11.滿足不等式的x的值可以是()A.B.C.D.【答案】BCD【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的圖象解得即可得解.【詳解】由三角函數(shù)的圖象知,當時,,故B,C,D都可以.故選:BCD.【點睛】關鍵點點睛:利用三角函數(shù)的圖象解不等式是解題關鍵.12.已知是定義在上的偶函數(shù),,且當時,,則下列說法正確的是()A.是以4為周期的周期函數(shù)B.當時,C.函數(shù)的圖象關于點對稱D.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有12個交點【答案】ABCD【解析】【分析】根據(jù)已知條件結合偶函數(shù)可求出的周期即可判斷A;求出當時,的解析式可判斷B;根據(jù)已知條件求出的對稱中心可判斷C;作出時函數(shù)的圖象以及的圖象,數(shù)形結合再由偶函數(shù)的對稱性可判斷D,進而可得正確選項.【詳解】對于A:因為滿足,所以,又因為是定義在上的偶函數(shù),可得,所以,即,所以,是以為周期的周期函數(shù),故選項A正確;對于B:由可得的圖象關于點對稱,當時,
,所以當時,,因為是以為周期的周期函數(shù),所以當時,,,故選項B正確;對于C:因為滿足,所以的圖象關于點對稱,故選項C正確;對于D:根據(jù)函數(shù)的圖象關于點對稱,周期為且是偶函數(shù),作出時的圖象以及時的圖象,由圖知時兩個函數(shù)圖象有個交點,根據(jù)偶函數(shù)圖象關于軸對稱可知時,兩個函數(shù)圖象也有個交點,所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有12個交點,故選項D正確;故選:ABCD.三?填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.)13.,若,則________.【答案】【解析】【分析】分和兩種情況解方程,由此可得出的值.【詳解】當時,由,解得;當時,由,解得(舍去).
綜上所述,.故答案為:.14.設偶函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,則滿足的x的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)性質,不等式等價于,再根據(jù)函數(shù)的單調性,即可求解不等式.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù),所以,因為函數(shù)在區(qū)間單調遞增,所以,得,解得:.故答案為:15.函數(shù)的最小值為_______________【答案】【解析】【詳解】試題分析:由,原函數(shù)可化為,所以當時,函數(shù)取得最小值,有.考點:三角函數(shù)最值.16.若函數(shù)的圖象為,則下列結論中正確的序號是__________.①圖象關于直線對稱;②圖象關于對稱;③函數(shù)在區(qū)間內不是單調的函數(shù);④由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象.【答案】①②【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質,逐項判定,即可求解,得到答案.【詳解】對于①:函數(shù)的對稱軸方程為,當時,,故①正確;對于②,函數(shù)的對稱中心為,當時,對稱中心為,故②正確;對于③,函數(shù)的遞增區(qū)間為,所以函數(shù)在區(qū)間內單調遞增,故③錯;對于④,的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)解析式為,故④錯,所以應填①②.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質的綜合應用,其中解答熟記三角函數(shù)的圖象與性質,逐項判定是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.四?解答題(本題共6小題,共70分,其中第17題10分,其他每題12分,解答應寫出文字說明?證明過程或驗算步驟.)17.計算:(1);(2).【答案】(1);(2).【解析】【詳解】(1)本問考查分數(shù)指數(shù)冪運算法則(,,為既約分數(shù)),(,,為既約分數(shù)),原式=;(2)本問考查對數(shù)運算法則(),
(),(),原式.試題解析:(1)(2)原式18.已知函數(shù),,試判斷函數(shù)的單調性,并用定義加以證明;求函數(shù)的最大值和最小值【答案】見解析.【解析】【詳解】試題分析:(1)利用定義作差,定號,下結論即可;(2)結合第一問的單調性可求最值.試題解析:任取,且,∵∴,,所以,,即,所以函數(shù)在上是增函數(shù),函數(shù)的最大值為,最小值為.點睛:利用定義判斷函數(shù)的單調性一般步驟為:(1)任取;(2)作差;(4)變形;(3)定號;(4)下結論.19.解關于x的不等式:.【答案】答案見解析
【解析】【分析】求出對應方程的根,討論方程的根的大小即可得出答案.【詳解】解:即,則對應方程的根為,①當或時,原不等式的解集為,②當或時,原不等式的解集為,③當時,原不等式的解集為.20.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求A,的值及的單調增區(qū)間;(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1),,單調遞增區(qū)間為,(2)最大值為1,最小值為【解析】【分析】(1)由圖象可觀察得到A,求出最小正周期,進而求得,可求得解析式以及單調增區(qū)間;(2)根據(jù),求得,根據(jù)正弦函數(shù)的性質,即可求得答案.【小問1詳解】由圖象可得,最小正周期為,∴,
∴,,由,,得,,所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為,.【小問2詳解】∵,∴,∴,∴函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1,最小值為.21.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù),且.(1)求函數(shù)的解析式;(2)若不等式對任意實數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1);(2).【解析】【詳解】試題分析:(1)由為奇函數(shù),且有定義,可得,再根據(jù)可得,從而可得結果;(2)在恒成立,等價于在恒成立,,利用基本不等式求出最大值的即可得結果試題解析:(1)為奇函數(shù),且有定義,則,
則,,得,所以解析式.(2)在恒成立,即在恒成立,其中,分母在取得最小值,得到,即.22.已知函數(shù).(1)若是定義在上的偶函數(shù),求實數(shù)的值;(2)在(1)的條件下,若,求函數(shù)的零點.【答案】(1);(2)和.【解析】【分析】(1)利用是定義在上的偶函數(shù),取特殊值,即可解出a;并檢驗其符合題意.(2)令,得到,用換元法令,得到,解方程即可求解.【詳解】(1)∵是定義在上的偶函數(shù).∴,即,故.函數(shù),因為.所以滿足題意.(2)依題意,令,則有,得,令,則,
解得,.即,.∴函數(shù)有兩個零點,分別為和.