歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī).pptx

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1《數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化》歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī) 2第六講歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)前言一、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)1、危機(jī)的起因2、危機(jī)的實質(zhì)3、危機(jī)的解決二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)1、危機(jī)的引發(fā)2、危機(jī)的實質(zhì)3、危機(jī)的解決三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)1.“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光——集合論2.算術(shù)的集合論基礎(chǔ)3.羅素的“集合論悖論”引發(fā)危機(jī)4.危機(jī)的消除四、三次數(shù)學(xué)危機(jī)與“無窮”的聯(lián)系 3前言歷史上,數(shù)學(xué)的發(fā)展有順利也有曲折。大的挫折也可以叫做危機(jī)。危機(jī)也意味著挑戰(zhàn),危機(jī)的解決就意味著進(jìn)步。所以,危機(jī)往往是數(shù)學(xué)發(fā)展的先導(dǎo)。數(shù)學(xué)發(fā)展史上有三次數(shù)學(xué)危機(jī)。每一次數(shù)學(xué)危機(jī),都是數(shù)學(xué)的基本部分受到質(zhì)疑。實際上,也恰恰是這三次危機(jī),引發(fā)了數(shù)學(xué)上的三次思想解放,大大推動了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。 4一.第一次數(shù)學(xué)危機(jī)1.危機(jī)的起因:第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由不能寫成兩個整數(shù)之比引發(fā)的。畢達(dá)哥拉斯(約公元前580-前500)古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家 51.這一危機(jī)發(fā)生在公元前5世紀(jì),危機(jī)來源于:當(dāng)時認(rèn)為所有的數(shù)都能表示為整數(shù)比,但突然發(fā)現(xiàn)不能表為整數(shù)比。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的.2.危機(jī)的實質(zhì):是無理數(shù),全體整數(shù)之比構(gòu)成的是有理數(shù)系,有理數(shù)系需要擴(kuò)充,需要添加無理數(shù). 6☆當(dāng)時古希臘的歐多克索斯部分地解決了這一危機(jī)。他采用了一個十分巧妙的關(guān)于“兩個量之比”的新說法,回避了是無理數(shù)的實質(zhì),而是用幾何的方法去處理不可公度比。這樣做的結(jié)果,使幾何的基礎(chǔ)牢靠了,幾何從全部數(shù)學(xué)中脫穎而出。歐幾里得的《幾何原本》中也采用了這一說法,以致在以后的近二千年中,幾何變成了幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 73.危機(jī)的解決但是徹底解決這一危機(jī)是在19世紀(jì),依賴于數(shù)系的擴(kuò)張。直到人類認(rèn)識了實數(shù)系,這次危機(jī)才算徹底解決,這已經(jīng)是兩千多年以后的事情了。 8二.第二次數(shù)學(xué)危機(jī)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀(jì)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的,第二次數(shù)學(xué)危機(jī)則是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的,是對牛頓“無窮小量”說法的質(zhì)疑引起的。 91.危機(jī)的引發(fā)1)牛頓的“無窮小”牛頓的微積分是一項劃時代的科學(xué)成就,蘊含著巨大的智慧和創(chuàng)新,但也有邏輯上的問題。我們來看一個例子。微積分的一個來源,是想求運動物體在某一時刻的瞬時速度。在牛頓之前,只能求一段時間內(nèi)的平均速度,無法求某一時刻的瞬時速度。 10例如,設(shè)自由落體在時間下落的距離為,有公式,其中是固定的重力加速度。我們要求物體在的瞬時速度,先求?!啵?) 11當(dāng)變成無窮小時,右端的也變成無窮小,因而上式右端就可以認(rèn)為是,這就是物體在時的瞬時速度,它是兩個無窮小之比。牛頓的這一方法很好用,解決了大量過去無法解決的科技問題。但是邏輯上不嚴(yán)格,遭到責(zé)難。 122)貝克萊的發(fā)難英國的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓的理論。貝克萊問道:“無窮小”作為一個量,究竟是不是0? 13如果是0,上式左端當(dāng)成無窮小后分母為0,就沒有意義了。如果不是0,上式右端的就不能任意去掉。在推出上式時,假定了才能做除法,所以上式的成立是以為前提的。那么,為什么又可以讓而求得瞬時速度呢?因此,牛頓的這一套運算方法,就如同從出發(fā),兩端同除以0,得出5=3一樣的荒謬。(*) 14貝克萊還諷刺挖苦說:即然和都變成“無窮小”了,而無窮小作為一個量,既不是0,又不是非0,那它一定是“量的鬼魂”了。這就是著名的“貝克萊悖論”。對牛頓微積分的這一責(zé)難并不是由數(shù)學(xué)家提出的,但是, 15貝克萊的質(zhì)問是擊中要害的數(shù)學(xué)家在將近200年的時間里,不能徹底反駁貝克萊的責(zé)難。直至柯西創(chuàng)立極限理論,才較好地反駁了貝克萊的責(zé)難。直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“”語言,才徹底地反駁了貝克萊的責(zé)難。 163)實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)承認(rèn),貝克萊的責(zé)難是有道理的。“無窮小”的方法在概念上和邏輯上都缺乏基礎(chǔ)。牛頓和當(dāng)時的其他數(shù)學(xué)家并不能在邏輯上嚴(yán)格說清“無窮小”的方法。數(shù)學(xué)家們相信它,只是由于它使用起來方便有效,并且得出的結(jié)果總是對的。特別是像海王星的發(fā)現(xiàn)那樣鼓舞人心的例子,顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所以,人們不大相信貝克萊的指責(zé)。這表明,在大多數(shù)人的腦海里,“實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)?!?172.危機(jī)的實質(zhì)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的實質(zhì)是“不是有理數(shù),而是無理數(shù)”。那么第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實質(zhì)是什么?應(yīng)該說,是極限的概念不清楚,極限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是說,微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。 18其實,在牛頓把瞬時速度說成“物體所走的無窮小距離與所用的無窮小時間之比”的時候,這種說法本身就是不明確的,是含糊的。當(dāng)然,牛頓也曾在他的著作中說明,所謂“最終的比”,就是分子、分母要成為0還不是0時的比——例如(*)式中的gt,它不是“最終的量的比”,而是“比所趨近的極限”。 19他這里雖然提出和使用了“極限”這個詞,但并沒有明確說清這個詞的意思。德國的萊布尼茨雖然也同時發(fā)明了微積分,但是也沒有明確給出極限的定義。正因為如此,此后近二百年間的數(shù)學(xué)家,都不能滿意地解釋貝克萊提出的悖論。 20所以,由“無窮小”引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī),實質(zhì)上是缺少嚴(yán)密的極限概念和極限理論作為微積分學(xué)的基礎(chǔ)。 21牛頓(英,1642-1727)萊布尼茨(德,1646-1716) 223.危機(jī)的解決1)必要性微積分雖然在發(fā)展,但微積分的邏輯基礎(chǔ)上存在的問題是那樣明顯,這畢竟是數(shù)學(xué)家的一塊心病。 23而且,隨著時間的推移,研究范圍的擴(kuò)大,類似的悖論日益增多。數(shù)學(xué)家在研究無窮級數(shù)的時候,做出許多錯誤的證明,并由此得到許多錯誤的結(jié)論。由于沒有嚴(yán)格的極限理論作為基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)家們在有限與無限之間任意通行(不考慮無窮級數(shù)收斂的問題)。 24因此,進(jìn)入19世紀(jì)時,一方面微積分取得的成就超出人們的預(yù)料,另一方面,大量的數(shù)學(xué)理論沒有正確、牢固的邏輯基礎(chǔ),因此不能保證數(shù)學(xué)結(jié)論是正確無誤的。歷史要求為微積分學(xué)說奠基。 252)嚴(yán)格的極限理論的建立到19世紀(jì),一批杰出數(shù)學(xué)家辛勤、天才的工作,終于逐步建立了嚴(yán)格的極限理論,并把它作為微積分的基礎(chǔ)。應(yīng)該指出,嚴(yán)格的極限理論的建立是逐步的、漫長的。 26①在18世紀(jì)時,人們已經(jīng)建立了極限理論,但那是初步的、粗糙的。②達(dá)朗貝爾在1754年指出,必須用可靠的理論去代替當(dāng)時使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。③19世紀(jì)初,捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾開始將嚴(yán)格的論證引入數(shù)學(xué)分析,他寫的《無窮的悖論》一書中包含許多真知灼見。 27④而做出決定性工作、可稱為分析學(xué)的奠基人的是法國數(shù)學(xué)家柯西(A.L.Cauchy,1789—1857)。他在1821—1823年間出版的《分析教程》和《無窮小計算講義》是數(shù)學(xué)史上劃時代的著作。他對極限給出比較精確的定義,然后用它定義連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無窮級數(shù)的收斂性,已與我們現(xiàn)在教科書上的差不太多了。 28柯西(法,1789-1857)波爾查諾(捷,1781-1848) 293)嚴(yán)格的實數(shù)理論的建立①對以往理論的再認(rèn)識后來的一些發(fā)現(xiàn),使人們認(rèn)識到,極限理論的進(jìn)一步嚴(yán)格化,需要實數(shù)理論的嚴(yán)格化。微積分或者說數(shù)學(xué)分析,是在實數(shù)范圍內(nèi)研究的。但是,下邊兩件事,表明極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對實數(shù)系的依賴比人們想象的要深奧得多。 30一件事是,1874年德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯(K.T.W.Weirstrass,1815—1897)構(gòu)造了一個“點點連續(xù)而點點不可導(dǎo)的函數(shù)”?!斑B續(xù)函數(shù)”在直觀上是“函數(shù)曲線沒有間斷,連在一起”,而“函數(shù)在一點可導(dǎo)”直觀上是“函數(shù)曲線在該點有切線”。所以,在直觀上“連續(xù)”與“可導(dǎo)”有密切的聯(lián)系。這之前甚至有人還證明過:函數(shù)在連續(xù)點上都可導(dǎo)(當(dāng)然是錯誤的)。因此根本不可想象,還會有“點點連續(xù)而點點不可導(dǎo)的函數(shù)”。 31魏爾斯特拉斯德意志帝國數(shù)學(xué)家。1815年10月31日生于威斯特法倫州的奧斯滕費爾德,1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律和財政。1838年轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué)。1842~1856年,先后在幾所中學(xué)任教。1854年3月31日獲得哥尼斯堡大學(xué)名譽(yù)博士學(xué)位。1856年10月受聘為柏林大學(xué)助理教授,同年成為柏林科學(xué)院成員,1864年升為教授。魏爾斯特拉斯(德,1815~1897) 32魏爾斯特拉斯關(guān)于“點點連續(xù)而點點不可導(dǎo)的函數(shù)”的例子是其中是奇數(shù),,使。 33另一件事是德國數(shù)學(xué)家黎曼(B.Riemann,1826—1866)發(fā)現(xiàn),柯西把定積分限制于連續(xù)函數(shù)是沒有必要的。黎曼證明了,被積函數(shù)不連續(xù),其定積分也可能存在。 34黎曼還造出一個函數(shù),當(dāng)自變量取無理數(shù)時它是連續(xù)的,當(dāng)自變量取有理數(shù)時它是不連續(xù)的。 35黎曼1826年9月17日,黎曼生于德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村,父親是一個鄉(xiāng)村的窮苦牧師。他六歲開始上學(xué),14歲進(jìn)入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí),19歲按其父親的意愿進(jìn)入哥廷根大學(xué)攻讀哲學(xué)和神學(xué),1847年,黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)學(xué)習(xí),成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學(xué)生。1849年重回哥廷根大學(xué)攻讀博士學(xué)位,成為高斯晚年的學(xué)生。黎曼(德,1826-1866) 36這些例子使數(shù)學(xué)家們越來越明白,在為分析建立一個完善的基礎(chǔ)方面,還需要再前進(jìn)一步:即需要理解和闡明實數(shù)系的更深刻的性質(zhì)。 37②魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯(KarlWeierstrass,1815—1897)的努力,終于使分析學(xué)從完全依靠運動學(xué)、直觀理解和幾何概念中解放出來。他的成功產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響,主要表現(xiàn)在兩方面,一方面是建立了實數(shù)系,另一方面是創(chuàng)造了精確的“”語言。 38“”語言的成功,表現(xiàn)在:這一語言給出極限的準(zhǔn)確描述,消除了歷史上各種模糊的用語,諸如“最終比”、“無限地趨近于”,等等。這樣一來,分析中的所有基本概念都可以通過實數(shù)和它們的基本運算和關(guān)系精確地表述出來。 394)極限的“”定義及“貝克萊悖論”的消除①極限的“”定義 40定義:設(shè)函數(shù)在的附近都有定義,如果有一個確定的實數(shù)(無論多么小的正數(shù))。都(都能找到一個正數(shù),依賴于),使當(dāng)時(滿足不等式的所有不等于的),有(這些對應(yīng)的函數(shù)值與的差小于預(yù)先給定的任意小的)我們就說“函數(shù)在趨近于時,有極限”。記為。 41由極限的這個“”定義,可以求出一些基本的極限,并嚴(yán)格地建立一整套豐富的極限理論。簡單說,例如有兩個相等的函數(shù),取極限后仍相等;兩個函數(shù),代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和。等等。由此再建立嚴(yán)格的微積分理論。 42②“貝克萊悖論”的消除回到牛頓的(*)式上:(*)這是在(即)條件下,得到的等式;它表明時間內(nèi)物體的平均速度為。(*)式兩邊都是△t的函數(shù)。然后,我們把物體在時刻的瞬時速度定義為:上述平均速度當(dāng)趨于0時的極限,即物體在時刻的瞬時速度=。 43下邊我們對(*)式的等號兩邊同時取極限,根據(jù)“兩個相等的函數(shù)取極限后仍相等”,得瞬時速度=再根據(jù)“兩個函數(shù)和的極限等于極限的和”,得然后再求極限得 44上述過程所得結(jié)論與牛頓原先的結(jié)論是一樣的,但每一步都有了嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)。“貝克萊悖論”的焦點“無窮小量是不是0?”,在這里給出了明確的回答:。這里也沒有“最終比”或“無限趨近于”那樣含糊不清的說法。 45總之,第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的核心是微積分的基礎(chǔ)不穩(wěn)固??挛鞯呢暙I(xiàn)在于,將微積分建立在極限論的基礎(chǔ)。魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)在于,邏輯地構(gòu)造了實數(shù)系,建立了嚴(yán)格的實數(shù)理論,使之成為極限理論的基礎(chǔ)。所以,建立數(shù)學(xué)分析(或者說微積分)基礎(chǔ)的“邏輯順序”是:實數(shù)理論—極限理論—微積分。而“歷史順序”則正好相反。 46知識的邏輯順序與歷史順序有時是不同的. 47三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)1.“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光——集合論到19世紀(jì),數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何的出現(xiàn)使幾何理論更加擴(kuò)展和完善;實數(shù)理論(和極限理論)的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ);群的理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更為明晰,等等。人們水到渠成地思索:整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在哪里?正在這時,19世紀(jì)末,集合論出現(xiàn)了。人們感覺到,集合論有可能成為整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 48其理由是:算術(shù)以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等為對象,微積分以變數(shù)、函數(shù)為對象,幾何以點、線、面及其組成的圖形為對象。同時,用集合論的語言,算術(shù)的對象可說成是“以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等組成的集合”;微積分的對象可說成是“以函數(shù)等組成的集合”;幾何的對象可說成是“以點、線、面等組成的集合”。這樣一來,都是以集合為對象了。集合成了更基本的概念。 49于是,集合論似乎給數(shù)學(xué)家?guī)砹耸锕猓嚎赡軙粍谟酪莸財[脫“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的危機(jī)。盡管集合論自身的相容性尚未證明,但許多人認(rèn)為這只是時間問題。龐加萊((JulesHenriPoincaré,法,1854-1912)甚至在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上宣稱:“現(xiàn)在我們可以說,完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了!” 502.算術(shù)的集合論基礎(chǔ)1)人們按下列邏輯順序把全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)歸結(jié)為算術(shù),即歸結(jié)為非負(fù)整數(shù),即自然數(shù)集合加上0——現(xiàn)在我國中小學(xué)就把這一集合稱為自然數(shù)集合。(算術(shù))非負(fù)整數(shù)n→有理數(shù)實數(shù)復(fù)數(shù)圖形 51因此,全部數(shù)學(xué)似乎都可歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)了,或者說,全部數(shù)學(xué)都可以歸結(jié)為算術(shù)了。這樣,如果能把算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上,就相當(dāng)于解決了整個“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的問題。法國數(shù)學(xué)家、數(shù)理邏輯先驅(qū)弗雷格(G.Frege,1848—1925)就做了這樣的工作。他寫了一本名叫《算術(shù)基礎(chǔ)》的書。 52弗雷格(法,1848—1925)《算術(shù)基礎(chǔ)》 532)弗雷格的《算術(shù)基礎(chǔ)》為了使算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上,所有的非負(fù)整數(shù),都需要用集合論的觀點和語言重新定義。首先從0說起。0是什么?應(yīng)當(dāng)先回答0是什么,然后才有表示“0”的符號。 54為此,先定義“空集”。空集是“不含元素的集合”。例如,“方程在實數(shù)集中的根的集合”就是一個空集,再例如“由最大的正整數(shù)組成的集合”也是一個空集。 55所有的空集放在一起,作成一個集合的集合,(為說話簡單我們把“集合的集合”稱作類),這個類,就可以給它一個符號:0,中國人念“l(fā)ing”,英國人念“Zero”??占强盏?,但由所有空集組成的類,它本身卻是一個元素了,即,0是一個元素了。由它再作成一個集合{0},則不是空集了。 56弗雷格再定義兩個集合間的雙射:既是滿射又是單射的映射叫作雙射,也稱可逆映射;通俗地說,就是存在逆映射的映射。它可以在兩個集合間來回地映射,所以一般稱為“雙射”。弗雷格再定義兩個集合的“等價”:,能夠在其間建立雙射的兩個集合A、B稱為“等價”。 57下邊可以定義“1”了。把與集合{0}等價的所有集合放在一起,作成一個集合的集合。這個類,就可以給它一個符號:1。再定義“2”。把與集合{0,1}等價的所有集合放在一起,作成一個集合的集合。這個類,就叫:2。然后,把與{0,1,2}等價的集合作成的類,叫:3。 58一般地,在有了0,1,2,…,n的定義后,就把所有與集合{0,1,2,…,n}等價的集合放在一起,作成集合的集合,這樣的類,定義為:n+1。這種定義概念的方法,叫作“歸納定義”的方法。 59這樣,弗雷格就從空集出發(fā),而僅僅用到集合及集合等價的概念,把全部非負(fù)整數(shù)定義出來了。于是根據(jù)上邊說的“可以把全部數(shù)學(xué)歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)”,就可以說,全部數(shù)學(xué)可以建立在集合論的基礎(chǔ)上了。 603.羅素的“集合論悖論”引發(fā)危機(jī)1)悖論引起震憾和危機(jī)正當(dāng)弗雷格即將出版他的《算術(shù)基礎(chǔ)》一書的時候,羅素的集合論悖論出來了。這也是龐加萊宣布“完全嚴(yán)格的數(shù)學(xué)已經(jīng)建立起來!”之后剛剛兩年,即1902年。 61伯特蘭·羅素(1872-1970)Russell,BertrandArthurWilliam(ThirdEarlRussell)學(xué)科成就:英國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家,分析學(xué)的主要創(chuàng)始人,世界和平運動的倡導(dǎo)者和組織者。所獲獎項:1950年諾貝爾文學(xué)獎。頒獎詞:當(dāng)代理性和人道的最杰出的代言人之一,西方自由言論和自由思想的無畏斗士。羅素(英,1872-1970) 62集合論中居然有邏輯上的矛盾!傾刻之間,算術(shù)的基礎(chǔ)動搖了,整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)似乎也動搖了。這一動搖所帶來的震憾是空前的。許多原先為集合論興高采烈的數(shù)學(xué)家發(fā)出哀嘆:我們的數(shù)學(xué)就是建立在這樣的基礎(chǔ)上的嗎?羅素悖論引發(fā)的危機(jī),就稱為第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。 63羅素把他發(fā)現(xiàn)的悖論寫信告訴弗雷格。弗雷格在他的《算術(shù)基礎(chǔ)》一書的末尾無可奈何地寫道:“一個科學(xué)家遇到的最不愉快的事莫過于,當(dāng)他的工作完成時,基礎(chǔ)崩塌了。當(dāng)本書即將印刷時,羅素先生的一封信就使我陷入這樣的尷尬境地?!?642)羅素悖論在敘述羅素悖論之前,我們先注意到下邊的事實:一個集合或者是它本身的成員(元素),或者不是它本身的成員(元素),兩者必居其一。羅素把前者稱為“異常集合”,把后者稱為“正常集合”。 65例如,所有抽象概念的集合,本身還是抽象概念。即,它是這一集合本身的元素,所以是“異常集合”。但是,所有人的集合,不是人,即,它不是這一集合本身的元素,所以是“正常集合”。再例如,所有集合的集合,本身還是集合,即,它是這一集合本身的元素,所以是“異常集合”。但是,所有星星的集合不是星星,即,它不是這一集合本身的元素,所以是“正常集合”。 66羅素當(dāng)年的例子“異常集合”1:不多于29個字母表達(dá)的句子所構(gòu)成的集合(這一集合的定義是“不多于29個字母表達(dá)的句子”,它是這一集合本身的成員)“異常集合”2:不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合(“不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合”肯定不是麻雀,所以它是這一集合本身的成員) 67羅素悖論是:以表示“是其本身成員的所有集合的集合”(所有異常集合的集合),而以表示“不是它本身成員的所有集合的集合”(所有正常集合的集合),于是任一集合或者屬于,或者屬于,兩者必居其一,且只居其一。然后問:集合是否是它本身的成員?(集合是否是異常集合?) 68如果是它本身的成員,則按及的定義,是的成員,而不是的成員,即不是它本身的成員,這與假設(shè)矛盾。即如果不是它本身的成員,則按及的定義,是的成員,而不是的成員,即是它本身的成員,這又與假設(shè)矛盾。即悖論在于:無論哪一種情況,都得出矛盾。 69羅素悖論的通俗化——“理發(fā)師悖論”:某村的一個理發(fā)師宣稱,他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問:理發(fā)師是否給自己刮臉?如果他給自己刮臉,他就屬于自己給自己刮臉的人,按宣稱的原則,理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉,這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉,他就屬于自己不給自己刮臉的,按宣稱的原則,理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉,這又與假設(shè)矛盾。 704.危機(jī)的消除危機(jī)出現(xiàn)以后,包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家作了巨大的努力來消除悖論。當(dāng)時消除悖論的選擇有兩種,一種是拋棄集合論,再尋找新的理論基礎(chǔ),另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因,改造集合論,探討消除悖論的可能。人們選擇了后一條路,希望在消除悖論的同時,盡量把原有理論中有價值的東西保留下來。 71這種選擇的理由是,原有的康托集合論雖然簡明,但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的,這就留下了解決問題的余地。羅素等人分析后認(rèn)為,這些悖論的共同特征(悖論的實質(zhì))是“自我指謂”。即,一個待定義的概念,用了包含該概念在內(nèi)的一些概念來定義,造成惡性循環(huán)。例如,悖論中定義“不屬于自身的集合”時,涉及到“自身”這個待定義的對象。 72為了消除悖論,數(shù)學(xué)家們要將康托“樸素的集合論”加以公理化;并且規(guī)定構(gòu)造集合的原則,例如,不允許出現(xiàn)“所有集合的集合”、“一切屬于自身的集合”這樣的集合。 731908年,策梅洛(E.F.F.Zermelo,1871—1953)提出了由7條公理組成的集合論體系,稱為Z-系統(tǒng)。1922年,弗蘭克(A.A.Fraenkel)又加進(jìn)一條公理,還把公理用符號邏輯表示出來,形成了集合論的ZF-系統(tǒng)。再后來,還有改進(jìn)的ZFC-系統(tǒng)。這樣,大體完成了由樸素集合論到公理集合論的發(fā)展過程,悖論消除了。 74但是,新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因此,龐加萊在策梅洛的公理化集合論出來后不久,形象地評論道:“為了防狼,羊群已經(jīng)用籬笆圈起來了,但卻不知道圈內(nèi)有沒有狼”。這就是說,第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決,并不是完全令人滿意的。 75四、三次數(shù)學(xué)危機(jī)與“無窮”的聯(lián)系我們過去就說過,無窮與有窮有本質(zhì)的區(qū)別?,F(xiàn)在我們可以總結(jié)說,三次數(shù)學(xué)危機(jī)都與無窮有關(guān),也與人們對無窮的認(rèn)識有關(guān)。 76第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害是不認(rèn)識無理數(shù),而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),它可以看成是無窮個有理數(shù)組成的數(shù)列的極限。由于當(dāng)時尚未真正認(rèn)識無窮,所以那時對第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決并不徹底;第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的徹底解決,是在危機(jī)產(chǎn)生二千年后的19世紀(jì),建立了極限理論和實數(shù)理論之后。實際上,它差不多是與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)同時才被徹底解決的。 77第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害,是極限理論的邏輯基礎(chǔ)不完善,而極限正是“有窮過渡到無窮”的重要手段。貝克萊的責(zé)難,也集中在“無窮小量”上。由于無窮與有窮有本質(zhì)的區(qū)別,所以,極限的嚴(yán)格定義,極限的存在性,無窮級數(shù)的收斂性,這樣一些理論問題就顯得特別重要。 78第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害,是“所有不屬于自身的集合”這樣界定集合的說法有毛病。而且這里可能涉及到無窮多個集合,人們犯了“自我指謂”、“惡性循環(huán)”的錯誤。以上事實告訴我們,由于人們習(xí)慣于有窮,習(xí)慣于有窮情況下的思維,所以一旦遇到無窮時,要格外地小心;而高等數(shù)學(xué)則是經(jīng)常與無窮打交道的。

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