四川省眉山市仁壽第一中學(xué)校（北校區(qū)）2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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高2025屆2023-2024學(xué)年度上期半期考試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單選題1.直線的傾斜角是（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出直線的斜率，由斜率的公式結(jié)合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】由可得，所以該直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以，故選：B.2.在空間直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)直接求解即可.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，則其關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為.故選：A.3.若直線與直線平行，則（）A.B.C.或D.不存在【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行，列出方程，去掉兩直線重合的情況，即可得到結(jié)果.【詳解】由直線與直線平行，可得:，解得． 故選:B4.如圖，在四面體OABC中，M是棱OA上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N，P分別是BC，MN的中點(diǎn)．設(shè)，，，則向量可表示為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，分析即得解詳解】由題意，向量，故選：D5.一次函數(shù)與為常數(shù)，且，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象可能為（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖象分析b、k取值符號(hào)進(jìn)行判斷即可．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A中，直線的直線的∴A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B中，直線的直線的，∴B錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)C中，直線的直線的∴C對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)D中，直線的直線的∴D錯(cuò)．故選：C．6.下列各對(duì)事件中，不互為相互獨(dú)立事件的是（）A.甲?乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，事件“甲射中10環(huán)”，事件“乙射中9環(huán)”B.甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名學(xué)生參加演講比賽，事件“從甲組中選出1名男生”，事件“從乙組中選出1名女生”C.袋中有3白?2黑共5個(gè)大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件“第一次摸到白球”，事件"第二次摸到白球”D.袋中有3白?2黑共5個(gè)大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”【答案】D【解析】【分析】根據(jù)事件的特點(diǎn)結(jié)合獨(dú)立事件的定義對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，甲的成績與乙的成績互不影響，故事件與事件為相互獨(dú)立事件；對(duì)于選項(xiàng)B：從甲?乙兩組中各選1名學(xué)生參加演講比賽，甲的選擇與乙的選擇互不影響，故事件與事件為相互獨(dú)立事件；對(duì)于選項(xiàng)C：依次有放回地摸兩球，則第一次的結(jié)果與第二次的結(jié)果互不影響，故事件與事件為相互獨(dú)立事件； 對(duì)于選項(xiàng)D：依次不放回地摸兩球，則第一次的結(jié)果會(huì)影響第二次的結(jié)果，故事件與事件不為相互獨(dú)立事件；故選：D.7.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則點(diǎn)到直線的距離為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題可求在方向上的投影數(shù)量，進(jìn)而點(diǎn)到直線的距離為，即求.【詳解】∵，，，∴，∴，∴在方向上的投影數(shù)量為，∴點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.8.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用兩點(diǎn)距離公式，轉(zhuǎn)化問題式為動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和的最小值，根據(jù)將軍飲馬模型計(jì)算即可.【詳解】由，即轉(zhuǎn)化問題為：直線上一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和最小， 如圖所示，設(shè)直線與軸分別交于點(diǎn)，則，由直線方程可得其傾斜角為，易知是等腰直角三角形，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，則三點(diǎn)共線，易知也是等腰直角三角形，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取得最小值.故選：B二?多選題（全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知，，是空間的三個(gè)單位向量，下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，兩兩共面，則，，共面C.若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底D.對(duì)于空間的任意一個(gè)向量，總存在實(shí)數(shù)，，，使得【答案】AC【解析】【分析】直接利用共線向量和共面向量，向量的基底等基礎(chǔ)知識(shí)和相關(guān)的定義判斷四個(gè)命題的結(jié)論．【詳解】，，都是非零向量，當(dāng)且時(shí)，一定有，故A正確；若，，兩兩共面，可能為空間能作為基底的三個(gè)向量，則，，不一定共面，故B錯(cuò)誤；若，，是空間的一組基底，則，，不共面，也可以是空間的一組基底，故C正確；對(duì)于空間的任意一個(gè)向量，總存在實(shí)數(shù)，，，使得，需要不共面，故D錯(cuò)誤.故選：AC． 10.下列說法正確的是（）A.過，兩點(diǎn)的直線方程為B.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是16C.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為D.直線必過定點(diǎn)【答案】CD【解析】【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)兩點(diǎn)式直線方程的使用條件判斷即可；選項(xiàng)B求出直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)，再用三角形面積公式求解即可；選項(xiàng)C，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，列方程組求解即可；選項(xiàng)D，將直線可轉(zhuǎn)化為即可進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)或時(shí)，不存在選項(xiàng)中的兩點(diǎn)式直線方程，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，所以與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，直線可化為，故直線恒過點(diǎn)，故D正確.故選：CD11.在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率分別是0.2，0.3，0.5，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.與是互斥事件，也是對(duì)立事件B.是必然事件C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)事件，，不一定兩兩互斥，結(jié)合概率運(yùn)算公式和互斥、對(duì)立的概念，即可求解. 【詳解】由事件，，不一定兩兩互斥，所以,，且，所以不一定是必然事件，無法判斷與是不是互斥或?qū)α⑹录?，所以A、B、C中說法錯(cuò)誤.故選：ABC.12.如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD-A1B1C1D1，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（）A.B.向量與的夾角是60°C.AC1⊥DBD.BD1與AC所成角的余弦值為【答案】AC【解析】【分析】選擇{、、}作為一組基底，分別表示各選項(xiàng)中的向量，運(yùn)用向量的模、向量夾角、數(shù)量積、異面直線所成角公式計(jì)算即可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，則，∴，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以， ，則，∴向量與的夾角是，所以選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，又因?yàn)椋?，∴，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)與所成角的平面角為，因?yàn)椋?，所以，，，∴，所以選項(xiàng)D不正確.故選：AC.第Ⅱ卷（選擇題共90分）二、填空題（每題5分，共計(jì)20分）13.在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有50個(gè)，除顏色外其他完全相同，小明通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球，黑色球的頻率穩(wěn)定在30%和40%，則口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是__________個(gè)．【答案】15 【解析】【分析】求出摸到白球頻率，從而得到白色球的可能個(gè)數(shù).【詳解】∵摸到紅色球、黑色球的頻率穩(wěn)定在30%和40%，∴摸到白球的頻率為，故口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是個(gè)．故答案為：1514.平面的法向量為，平面β的法向量為，若，則m=_________.【答案】【解析】【分析】等價(jià)于，由數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所?故答案為：15.已知點(diǎn)，，直線與線段相交，則的范圍為___________.【答案】，，【解析】【分析】先求出的斜率和的斜率，可得的范圍.【詳解】解：直線，即，它經(jīng)過定點(diǎn)，斜率為， 的斜率為，的斜率為，直線與線段相交，或，求得或，故答案為：，，.16.若非零實(shí)數(shù)對(duì)滿足關(guān)系式，則__________．【答案】或【解析】【分析】化簡轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，利用直線的位置關(guān)系即可求解.【詳解】由，可得，可以看成點(diǎn)到直線的距離，可以看成點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以?dāng)點(diǎn)，在直線同側(cè)時(shí)，直線與直線平行，當(dāng)點(diǎn)，在直線異側(cè)時(shí)，，關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)橹本€的斜率，直線的斜率為，所以或，所以或. 故答案為：或.三、解答題（6個(gè)大題，共計(jì)70分）17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)是．（1）試判定的形狀；（2）求邊上的中線所在直線的方程．【答案】（1）等腰直角三角形（2）【解析】【分析】（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)，得和，由得出；再根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式求出和，得出，即可證明；（2）由點(diǎn)的坐標(biāo)求出邊中點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出，即可寫出直線的點(diǎn)斜式方程．【小問1詳解】由題可知，，因?yàn)椋?，所以是直角三角形，又因?yàn)?，所以，所以是等腰三角形綜上可知，是等腰直角三角形．【小問2詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，所以直線的斜率，所以直線的方程為：，即，所以邊上的中線所在直線的方程為：．18.有4 名同學(xué)下課后一起來到圖書館看書，到圖書館以后把書包放到了一起，后來停電了，大家隨機(jī)拿起了一個(gè)書包離開圖書館，分別計(jì)算下列事件的概率．（1）恰有兩名同學(xué)拿對(duì)了書包；（2）至少有兩名同學(xué)拿對(duì)了書包；（3）書包都拿錯(cuò)了．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】先列出全部事件的24個(gè)樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概型可知：（1）恰有兩名同學(xué)拿對(duì)了書包包含6個(gè)樣本點(diǎn)，概率，（2）至少有兩名同學(xué)拿對(duì)了書包包含7個(gè)樣本點(diǎn)，概率為，（3）書包都拿錯(cuò)了包含9個(gè)樣本點(diǎn)，概率為【小問1詳解】設(shè)4名同學(xué)的書包分別為A，B，C，D，4名同學(xué)拿書包的所有可能可表示為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24種情況．恰有兩名同學(xué)拿對(duì)了書包包含6個(gè)樣本點(diǎn)，分別為，，，，，，故其概率為．【小問2詳解】至少有兩名同學(xué)拿對(duì)了書包包含7個(gè)樣本點(diǎn)，分別為，，，，，，， 故其概率為．【小問3詳解】書包都拿錯(cuò)了包含9個(gè)樣本點(diǎn)，分別為，，，，，，，，，故其概率為．19.已知直線l過點(diǎn).（1）若直線l在兩坐標(biāo)軸上截距和為零，求l方程；（2）設(shè)直線l的斜率，直線l與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)別為，求面積最小值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由題知直線l斜率存在且不為，故不妨設(shè)斜率為，進(jìn)而寫出直線的方程并求解直線在坐標(biāo)軸上截距，再結(jié)合題意求解即可；（2）由題知，進(jìn)而根據(jù)題意得，再根據(jù)基本不等式求解即可得答案.【詳解】解：（1）因?yàn)橹本€l在兩坐標(biāo)軸上截距和為零，所以直線l斜率存在且不為，故不妨設(shè)斜率為，則直線l方程為，所以直線在坐標(biāo)軸上截距分別為，，所以，整理得，解得或所以直線l方程為或.（2）由（1）知，因?yàn)椋悦娣e為， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以面積最小值20.如圖，P、O分別是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，E是AB的中點(diǎn)，AB=kAA1=．（1）求證：A1E∥平面PBC．（2）當(dāng)k=時(shí)，求點(diǎn)O到平面PBC的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量共面證明線面平行即可；（2）根據(jù)（1）中所求，求得平面的法向量，利用向量法求點(diǎn)面距離即可.小問1詳解】因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正四棱柱，顯然兩兩垂直，則以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線OA、OB、OP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則得A1、E、 由上得、、．設(shè)=x·+y·得，解得x=，y=1，∴，∵BC∩PB=B，A1E平面PBC，面，∴A1E∥平面PBC．【小問2詳解】當(dāng)k=時(shí)，得P，得=，．設(shè)平面PBC的法向量為=，則由，得故平面的一個(gè)法向量為=，設(shè)點(diǎn)O到平面PBC的距離為d，又=，∴d=．故點(diǎn)O到平面PBC的距離為.21.與學(xué)生安全有關(guān)的問題越來越受到社會(huì)的關(guān)注和重視，為了普及學(xué)生安全教育，某社區(qū)舉辦學(xué)生安全知識(shí)競賽活動(dòng)，某場比賽中，甲、乙、丙三個(gè)家庭同時(shí)回答一道有關(guān)學(xué)生安全知識(shí)的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)誤的概率是．乙、丙兩個(gè)家庭都回答正確的概率是，各家庭是否回答正確互不影響，（1）求乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率：（2）求甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可；（2）利用獨(dú)立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.【小問1詳解】 記“甲家庭回答正確這道題”“乙家庭回答正確這道題”“丙家庭回答正確這道題”分別為事件A，B，C，則，，，即，，所以，，所以乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率分別為，．【小問2詳解】有3個(gè)家庭回答正確的概率為，有2個(gè)家庭回答正確的概率為，所以不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率．22.如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是等邊三角形，平面平面，，為棱上一點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為.（1）若為棱的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求直線與平面所成的角的大??；（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）存在，點(diǎn)在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，易得，根據(jù)棱錐的體積求得，根據(jù)平面 平面，可得平面，則有，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法即可得出答案；（2）假設(shè)存在，設(shè)，求出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)平面與平面的夾角的余弦值為，則法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值等于，求出，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，則，，因?yàn)槭堑冗吶切?，為棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，則，所以，則，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，直線與平面所成的角為，則有，可取，所以，所以直線與平面所成的角的大小為；【小問2詳解】解：假設(shè)存在，設(shè)， ，由（1）得，，因?yàn)?，所以平面，則即為平面的一個(gè)法向量，，，則，設(shè)為平面的法向量，則，可取，則，解得或（舍去），所以存在點(diǎn)，點(diǎn)在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處，使得平面與平面的夾角的余弦值為.