四川省南部中學2023-2024學年高三第四次月考數(shù)學 (理科) Word版含解析.docx

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南部中學高2021級高三第四次月考數(shù)學(理)試卷時間:120分鐘總分:150分一、單項選擇題.本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求.1.若隻合,,則()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求集合,再由并集運算求解即可.【詳解】,=,則.故選:D.2.復數(shù)的共軛復數(shù)是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡,再求出其共軛復數(shù).【詳解】因為,所以復數(shù)的共軛復數(shù)是.故選:C3.已知向量,若,則()A.25B.5C.D.【答案】B【解析】 【分析】先根據求出,然后利用坐標運算求模.【詳解】因為,所以,即,解得,所以,所以.故選:B.4.若,,,則()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)的圖象與性質即可求解.【詳解】根據指數(shù)、對數(shù)的性質可得:,,因為,所以,所以故選:C.5.在△中,“”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【詳解】試題分析:由正弦定理,得,由得 ,即,由大邊對大角得;當?shù)?,即,由正弦定理得,因此“”是“”的充要條件,故答案為C.考點:1、正弦定理應用;2、充要條件的判斷.6.記為等差數(shù)列的前n項和.已知,則A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】等差數(shù)列通項公式與前n項和公式.本題還可用排除,對B,,,排除B,對C,,排除C.對D,,排除D,故選A.【詳解】由題知,,解得,∴,故選A.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式,滲透方程思想與數(shù)學計算等素養(yǎng).利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關于首項與公差的方程,解出首項與公差,在適當計算即可做了判斷.7.基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:描述累計感染病例數(shù)隨時間(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率與,近似滿足.有學者基于已有數(shù)據估計出=3.07,=6.據此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(參考數(shù)據:ln2≈0.69)()A.1.5天B.2天C.2.5天D.3.5天【答案】B【解析】【分析】根據題意可得,設在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天,根據,解得即可得結果.【詳解】因為,,,所以,所以,設在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天, 則,所以,所以,所以天.故選:B.【點睛】方法點睛:與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向,這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識,解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題,只有吃透題意,才能將實際問題轉化為數(shù)學模型進行解答.8.函數(shù)在區(qū)間上的圖象為()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性,然后代入計算,從而得正確答案.【詳解】,為奇函數(shù),排除A;又,排除B;,即,排除C,故選:D 9.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),且在區(qū)間上存在唯一的使得,則的取值不可能為()A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】由已知函數(shù)在上單調遞增,在上存在唯一的最大值,建立關于的不等式組,求解的范圍,比較選項.【詳解】由題意可知,解得:四個選項只有B不成立.故選:B【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質,重點考查最值,屬于中檔題型,本題的關鍵是考查端點值和最大值的比較.10.已知函數(shù)的值域為,那么實數(shù)的取值范圍是()A.B.[-1,2)C.(0,2)D.【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的值域,而的值域為,進而得,由此可求出的取值范圍.【詳解】解:因為函數(shù)的值域為,而的值域為,所以,解得, 故選:B【點睛】此題考查由分段函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍,分段函數(shù)的值域等于各段上的函數(shù)的值域的并集是解此題的關鍵,屬于基礎題.11.在中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,,則的外接圓的面積為()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據二倍角公式將化簡得到,利用余弦定理和正弦定理將化簡可得,進而求出結果.【詳解】因為,所以,所以,即,又,所以,所以,所以.因為,由余弦定理得,即,又,所以,所以,由正弦定理得,所以.設的外接圓的半徑為,所以,解得,所以的外接圓的面積為.故選:B. 12.已知函數(shù),,若,,則的最大值為()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先由,,再結合函數(shù)函數(shù)的圖象可知,,這樣轉化,利用導數(shù)求函數(shù)的最大值.【詳解】由題意得,,,即,令函數(shù),則,所以,時,,在上單調遞減,時,,在上單調遞增,又當時,,時,,作函數(shù)的圖象如圖所示.由圖可知,當時,有唯一解,故,且,∴.設,,則,令解得,所以在上單調遞增,在上單調遞減,∴,即的最大值為.故選:D. 【點睛】關鍵點點睛:本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值,本題的關鍵是觀察與變形,,并且由函數(shù)圖象判斷,只有一個零點,所以,這樣后面的問題迎刃而解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知函數(shù),則___________.【答案】2【解析】【分析】根據解析式求函數(shù)值即可.【詳解】因為所以,故答案為:214.在平行四邊形中,點E滿足且,則實數(shù)________.【答案】4【解析】【分析】根據平面向量的線性運算結合平面向量基本定理分析可得結果.【詳解】由題意可得:,故答案為:4.15.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為_________.【答案】【解析】 【分析】求導得函數(shù)的單調性,即可求解極值點以及端點處的函數(shù)值比較大小求解.【詳解】,則.令,解得(舍去),或.所以故在單調遞增,在單調遞減,,又,所以.故答案為:16.已知函數(shù),函數(shù),則下列結論正確的是__________.①若有3個不同的零點,則a的取值范圍是②若有4個不同的零點,則a的取值范圍是③若有4個不同的零點,則④若有4個不同的零點,則的取值范圍是【答案】②③④【解析】【分析】根據題意,將問題轉化為函數(shù)與圖像的交點個數(shù)問題,進而數(shù)形結合求解即可得答案.【詳解】令,得,即所以零點個數(shù)為函數(shù)與圖像的交點個數(shù), 作出函數(shù)圖像如圖,由圖可知,有3個不同的零點,則的取值范圍是,,故①錯誤;有4個不同的零點,則的取值范圍是,故②正確;有4個不同的零點,,,,此時,關于直線對稱,所以,故③正確;由③可知,所以,由于有4個不同的零點,的取值范圍是,故,所以,故④選項正確.故答案為:②③④.【點睛】關鍵點點睛:本題解題關鍵是將問題轉化為函數(shù)與圖像的交點個數(shù)問題,數(shù)形結合得出答案,考查等價轉化的思想.三、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列的前項和.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根據題意列出方程組,求出首項與公比,即可求出等比數(shù)列的通項公式即可; (2)由an=化簡bn=log3a1+log3a2+…+log3an,可得到bn的通項公式,求出的通項公式,利用裂項相消法求和.【詳解】(1)設數(shù)列{an}的公比為q,由=9a2a6得=9,所以q2=.由條件可知q>0,故q=.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=.故數(shù)列{an}的通項公式為an=.(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-.故.所以數(shù)列前n項和為18.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調遞減區(qū)間;(2)若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的兩倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)利用三角恒等變換整理可得,代入最小正周期 運算求解,再以為整體結合正弦函數(shù)可得,運算求解的單調遞減區(qū)間;(2)根據圖像變換可得,以為整體結合正弦函數(shù)圖像求值域.【小問1詳解】∴的最小正周期為∵,則∴的單調遞減區(qū)間為【小問2詳解】根據題意可得:將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的兩倍(縱坐標不變),則∵,則∴,則即函數(shù)在區(qū)間上的值域為.19.已知函數(shù).(1)若,求的極值.(2)若方程在區(qū)間上有解,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極小值為,無極大值(2)【解析】 【分析】(1)求出函數(shù)的定義域與導數(shù)導函數(shù),即可得到函數(shù)的單調區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值;(2)對參數(shù)分、、三種情況討論,分別求出函數(shù)的單調性,即可得到函數(shù)的極值(最值),從而得到不等式,即可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解:因為定義域為,所以,當時,,,令得當時,,當時,所以在上單調遞減,在上單調遞增,所以的極小值為,無極大值.【小問2詳解】解:因為,①若,當時恒成立,所以在上單調遞增要使方程在上有解,則即得,因為,所以.②若,當時恒成立,所以在上單調遞減,此時不符合條件.③若,當時,,當時,所以在上單調遞減,在上單調遞增, 此時,,要使方程在上有解,則需,解得,所以.綜上可知,的取值范圍為20.在①,②,③的面積為這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中,并加以解答.已知的內角,,所對的邊分別為,,,且___________.(1)求角;(2)若為的中點,且,,求,的值.【答案】條件選擇見解析;(1);(2).【解析】分析】選擇①(1)利用正弦定理將角轉化邊,整理得到,然后利用余弦定理求解.選擇②(1)利用正弦定理將邊轉化角得到,然后利用兩角和的正弦公式轉化為求解.選擇③(1)利用面積公式結合條件,然后利用正弦定理將角轉化為邊整理得到,然后利用余弦定理求解.(2)在中,由余弦定理得到,在中,由余弦定理得到,然后根據,兩式相加求解.【詳解】選擇①(1)根據正弦定理得,整理得,即, 所以.因為,所以.選擇②(1)根據正弦定理有,所以,即.因為,所以,從而有,故.選擇③(1)因為,所以,即,由余弦定理,得,又因,所以.(2)在中,,即.在中,,即.因為,所以,所以.由及,得,所以,從而,所以.【點睛】本題主要考查正弦定理,余弦定理的應用以及兩角和與差的三角函數(shù),還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.21.已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調性;(2)若不等式對恒成立,求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析 (2)【解析】【分析】(1)利用導數(shù)與單調性的關系分類討論求解;(2)利用導數(shù)與單調性最值的關系,結合的不同取值范圍分類討論求解.【小問1詳解】,的定義域為.①當即時,在上遞減,在上遞增,②即時,在和上遞增,在上遞減.【小問2詳解】設,設,則在上遞增,的值域為,①當時,為上的增函數(shù),,適合條件.②當時,不適合條件.③當時,對于,令,存在,使得時,在上單調遞減,, 即在時,不適合條件.綜上,的取值范圍為.選做題:第22題,23題中選做一題,多做或做錯按照第一題計分選修4-422.在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),.以為極點,軸非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求的直角坐標方程;(2)已知點,設與的交點為,.當時,求的極坐標方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據將極坐標方程化為直角坐標方程;(2)將曲線的參數(shù)方程代入的直角坐標方程,根據的幾何意義可設,,列出韋達定理,由求出,即可求出的普通方程與極坐標方程.【小問1詳解】因為曲線的極坐標方程為,即,因為,所以,所以的直角坐標方程為.【小問2詳解】將曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))代入的直角坐標方程,整理得, 由的幾何意義可設,,因點在內,所以方程必有兩個實數(shù)根,所以,,因為,所以,因為,所以,即,所以的普通方程為,則的極坐標方程為.選修4-523.已知函數(shù),.(1)求函數(shù)的最小值;(2)設,求證:.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)寫出分段函數(shù)形式,分析、的性質及最值,即可確定最小值;(2)利用分析法,將問題化為證明,進一步轉化為證即可.【小問1詳解】由題設,而在、、上均能取到最小值,對于在上遞減,上為常數(shù),上遞增,且連續(xù),所以的最小值在上取得,即時,最小值為.【小問2詳解】 由,僅當取等號,要證,即證,則,需證,而,即,

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