湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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2023年秋季湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體高二期中考試數(shù)學(xué)試卷試卷滿分：150分注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、考號、班級、姓名等填寫在答題卡上．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，答在試題卷、草稿紙上無效．3．填空題和解答題的作答：用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷、草稿紙上無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.空間任意四個點A，B，C，D，則等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量加法的三角形法則和向量減法的定義即可求出答案.【詳解】易知，.故選：D.2.已知空間向量，則向量在坐標平面Oxy上的投影向量是（????）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義即可得出正確的答案.【詳解】根據(jù)空間中點坐標確定方法知，空間中點在坐標平面上的投影坐標， 軸上坐標不變，軸上坐標變?yōu)?．所以空間向量在坐標平面上的投影向量是：故選：C.3.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理以及空間基底逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.【詳解】解：對于A，設(shè)，所以，此方程組無解，所以，，不共面；對于B，因為，所以，，共面；對于C，設(shè)，所以，此方程組無解，所以，，不共面；對于D，設(shè)，所以，此方程組無解，所以，，不共面；故選：B4.一入射光線經(jīng)過點，被直線l：反射，反射光線經(jīng)過點，則反射光線所在直線方程為（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】求得點關(guān)于直線l：的對稱點的坐標，可得的方程，即反射光線所在直線方程.【詳解】解：因為點關(guān)于l：的對稱點為，所以反射光線的方程為.故選：D.5.已知直線平行，則實數(shù)的值為A.B.C.或D.【答案】A【解析】【分析】對x，y的系數(shù)分類討論，利用兩條直線平行的充要條件即可判斷出．【詳解】當(dāng)m=﹣3時，兩條直線分別化為：2y=7，x+y=4，此時兩條直線不平行；當(dāng)m=﹣5時，兩條直線分別化為：x﹣2y=10，x=4，此時兩條直線不平行；當(dāng)m≠﹣3，﹣5時，兩條直線分別化為：y=x+，y=+，∵兩條直線平行，∴，≠，解得m=﹣7．綜上可得：m=﹣7．故選：A．【點睛】本題考查了分類討論、兩條直線平行的充要條件，屬于基礎(chǔ)題．6.已知橢圓的一條弦所在的直線方程是弦的中點坐標是則橢圓的離心率是A.B.C.D.【答案】C 【解析】【詳解】設(shè)直線與橢圓交點為，分別代入橢圓方程，由點差法可知代入k=1,M(-4,1),解得，選C.7.已知是橢圓的右焦點，為橢圓上一點，為橢圓外一點，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)橢圓的左焦點為，由已知條件推導(dǎo)出，當(dāng)點在的延長線上時，得的最大值．【詳解】解：點為橢圓的右焦點，，點為橢圓上任意一點，點A的坐標為，點A在橢圓外，設(shè)橢圓的左焦點為，，，，當(dāng)點在的延長線上時取等號，，則的最大值為．故選：．8.已知空間中三個點組成一個三角形，分別在線段上取三點，當(dāng)周長最小時，直線與直線的交點坐標為（） AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】當(dāng)為三角形的垂足三角形時候周長最小，此時與的交點即為三角形的垂心.【詳解】如圖所示：先固定D不動，分別作D關(guān)于和的對稱點，連接，設(shè)分別與和交于點，利用幾何關(guān)系可知與的交點即為三角形的垂心，從而，即，不妨設(shè)垂心，坐標原點為，則，所以有，即垂心的坐標滿足,又四點共面，從而由四點共面的充要條件可知，，從而，結(jié)合， 解得.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決問題的關(guān)鍵是分析出當(dāng)周長最小時，與的交點即為三角形的垂心，再求垂心時，除了利用垂直轉(zhuǎn)換為數(shù)量積為0以外，還要注意四點共面的充要條件的應(yīng)用，否則只能算出比例.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的有（）．A.直線過定點B.過點且斜率為的直線的點斜式方程為C.斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為D.經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距相等的直線方程為【答案】AB【解析】【分析】求出直線過的定點判斷A；寫出直線的點斜式方程判斷B；求出直線斜截式方程判斷C；求出直線方程判斷D作答.【詳解】對于A，直線恒過定點，A正確；對于B，過點且斜率為的直線的點斜式方程為，B正確；對于C，斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為，C錯誤；對于D，經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距相等的直線過原點時，方程為，當(dāng)該直線不過原點時，方程為，D錯誤.故選：AB10.如圖，棱長為的正方體中，，分別為，的中點，則（） A.直線與底面所成的角為B.平面與底面夾角的余弦值為C.直線與直線的距離為D.直線與平面的距離為【答案】BCD【解析】【分析】以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法分別求出線面角，面面角，平行線間距離及線面距離.【詳解】如圖所示，以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸，則，，，，，，A選項：，平面的法向量，設(shè)直線與底面所成的角為，則，直線與底面所成的角不為，故A錯誤； B選項：，，設(shè)平面的法向量，則，令，則設(shè)平面與底面夾角為，則，平面與底面夾角的余弦值為，故B正確；C選項，，直線與直線的距離為：，故C正確；D選項，，平面，平面，又，平面的法向量，直線與平面的距離為：，故D正確；故選：BCD.11.已知圓和圓的交點為，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.公共弦所在的直線方程為B.線段的中垂線方程為C.公共弦的長為D.若為圓上的一個動點，則三角形周長的最大值為 【答案】AB【解析】【分析】先找到圓和圓的圓心和半徑，判斷兩圓的位置關(guān)系，確定兩圓是否相交.再對兩圓作差得到公共弦的直線方程，即可判斷A；線段的中垂線方程為兩圓心的連線方程，可判斷B；圓心到直線的距離，再代入弦長公式即可得到C選項；假設(shè)的坐標，計算，的長度相加，然后根據(jù)式子的特點判斷最大值即可判斷D選項.【詳解】圓的圓心，和圓的圓心，.則圓心距為，，所以兩圓相交.兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程為，故A正確；線段的中垂線即為直線，由，得直線的方程為，故B正確；圓心到直線的距離為，則弦長，故C錯誤；由于的長度和對角的角度固定屬于定邊定角問題：當(dāng)時，三角形的周長最大，此時，則周長的最大值為：，即，故D錯誤.故選：AB．12.給定兩個不共線的空間向量與，定義叉乘運算：．規(guī)定：①為同時與，垂直的向量；②，，三個向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③．如圖2，在長方體中， 則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)新定義空間向量的叉乘運算依次判斷選項即可.【詳解】在長方體中，AB=AD=2，，A：同時與垂直，，又因為，所以，且，構(gòu)成右手系，故成立，故A正確；B：根據(jù)三個向量構(gòu)成右手系，可知，，則，故B錯誤；C：，且與同向共線，，且與同向共線，又，且與同向共線，即與同向共線，所以，且與同向共線，所以，故C正確； D：長方體的體積，，所以，故D正確.故選：ACD第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若直線l的一個方向向量是，則直線l的傾斜角是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量可得直線的斜率，然后可求直線的傾斜角.【詳解】因為直線l的方向向量為，所以直線的斜率為，即直線的傾斜角的大小是.故答案為：.14.已知圓與圓恰有兩條公切線，則實數(shù)m取值范圍______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩圓相交，列出不等關(guān)系，即可求得結(jié)果.【詳解】由，即，可知圓的圓心為，半徑為5；因為圓與圓恰有兩條公切線，所以圓與圓相交，則，∵，解得：，即的取值范圍是.故答案為：.15.已知，是橢圓C：的兩個焦點，P為C上一點，且，，則C的離心率為______． 【答案】##【解析】【分析】利用橢圓的定義結(jié)合已知條件可得，，再在中利用余弦定理列方程可求出橢圓的離心率.【詳解】解：因為，由橢圓的定義可得，可得，，在中，由余弦定理可得：，而，即，可得，可得離心率，故答案為：16.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．如：若實數(shù)滿足，則的最小值為______，的最大值為______．【答案】①.②.【解析】【分析】利用直線和圓的位置關(guān)系可得的最小值，把轉(zhuǎn)化為點到直線的距離與它到距離比值的2倍，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】由得，令，則直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離為，解得， 所以的最小值為.可以看作點到直線的距離與它到距離比值的2倍，設(shè)過點的直線與圓相切于點，此時取到最大值.設(shè)直線方程為，由，得，，解得，結(jié)合圖形可知，把代入聯(lián)立后的方程可得切點，代入可得的最大值為.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵是把目標式轉(zhuǎn)化為點到直線的距離與它到距離比值的2倍，數(shù)形結(jié)合可得答案.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17.求分別滿足下列條件的直線的一般式方程．（1）斜率是，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積是6； （2）經(jīng)過點，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等．【答案】（1）（2）或或【解析】【分析】（1）設(shè)出直線方程，得到與兩坐標軸的交點坐標，根據(jù)面積列出方程，求出答案；（2）分截距為0和截距不為0兩種情況，設(shè)出直線方程，待定系數(shù)法求出直線方程.【小問1詳解】設(shè)直線的方程為．令，得．令，得，，解得．直線的方程為，化為一般式為．【小問2詳解】設(shè)直線在軸、軸上的截距分別為．當(dāng)時，直線的方程為．直線過點，，又，故，解得或直線的方程為或；當(dāng)時，設(shè)直線方程為，直線過原點且過點，故，解得，直線的方程為．綜上所述，直線的方程為或或． 18.已知以點為圓心的圓與______，過點的動直線l與圓A相交于M，N兩點.從①直線相切；②圓關(guān)于直線對稱；③圓的公切線長這3個條件中任選一個，補充在上面問題的橫線上并回答下列問題.（1）求圓A的方程;（2）當(dāng)時，求直線l的方程.【答案】（1）；（2），或.【解析】【分析】（1）選①：根據(jù)圓的切線性質(zhì)進行求解即可；選②：根據(jù)圓與圓的對稱性進行求解即可；選③：根據(jù)兩圓公切線的性質(zhì)進行求解即可.（2）利用圓的垂徑定理，結(jié)合點到直線距離公式進行求解即可.【小問1詳解】選①：因為圓A與直線相切，所以圓A的半徑為，因此圓A的方程為；選②：因為圓A與圓關(guān)于直線對稱，所以兩個圓的半徑相等，因此圓A的半徑為，所以圓A的方程為；選③：設(shè)圓的圓心為，兩圓的一條公切線為兩圓的圓心與兩圓的一條公切線示意圖如下：設(shè)圓A的半徑， 因此有：，所以圓A的方程為；【小問2詳解】三種選擇圓A的方程都是，當(dāng)過點動直線l不存在斜率時，直線方程為，把代入中，得，顯然，符合題意，當(dāng)過點的動直線l存在斜率時，設(shè)為，直線方程為，圓心到該直線的距離為：，因為，所以有，即方程為：綜上所述：直線l的方程為，或.19.如圖，四棱錐的底面是矩形，⊥平面，，.（1）求證：⊥平面；（2）求二面角余弦值的大?。唬?）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）（3） 【解析】【分析】（1）如圖建立空間直角坐標系，求出點的坐標，即可得到，，從而得證；（2）（3）利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】證明：建立如圖所示的直角坐標系，則、、．在中，，，∴．∴、，∴，，，∵，，即，，又，平面，∴⊥平面；【小問2詳解】由（1）得，．設(shè)平面的法向量為，則，即，故平面的法向量可取為，∵平面， ∴為平面的一個法向量．設(shè)二面角的大小為，由圖易得為銳角，依題意可得，即二面角余弦值為．【小問3詳解】由（1）得，，設(shè)平面的法向量為，則，∴，故可取為．∵，∴到平面的距離為.20.已知三棱錐（如圖①）的平面展開圖（如圖②）中，四邊形ABCD為邊長為的正方形，和均為正三角形.（1）證明：平面⊥平面；（2）棱PA上是否存在一點M，使平面PBC與平面BCM所成角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）設(shè)AC的中點為O，連接BO，PO，則PO⊥AC，在△POB中利用勾股定理逆定理可得PO⊥OB，然后由線面垂直的判定定理可證得PO⊥平面ABC，再利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論， （2）由題意可得兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標系，設(shè)，表示出點，再由平面PBC與平面BCM所成角的余弦值為可求出的值.【小問1詳解】設(shè)AC的中點為O，連接BO，PO．由題意得，，PO＝AO＝BO＝CO＝2．∵在△PAC中，PA＝PC，O為AC的中點，∴PO⊥AC，∵在△POB中，PO＝2，OB＝2，，PO2+OB2＝PB2，∴PO⊥OB∵AC∩OB＝O，AC，OB?平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC【小問2詳解】由PO⊥平面ABC，平面ABC，OB⊥AC，∴PO⊥OB，PO⊥OC，∴以為原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標系，如圖所示，則O（0,0,0），C（2,0,0），B（0,2,0），A（2,0,0），P（0,0,2），設(shè)，則，∴,,設(shè)平面BCM的法向量為，則，令，則，設(shè)PBC的法向量為，因為， 所以，令，則設(shè)平面PBC與平面BCM所成角為，由圖可知為銳角，則，化簡得，解得或（舍去）∴存在點M使平面PBC與平面BCM所成角的余弦值為，且.21.平面直角坐標系內(nèi)有兩點，存在點使得恒為．（1）求點軌跡方程；（2）若點在第三象限，連接交軸于點，連交軸于點，四邊形面積是否為定值，若是請求出定值，若不是請說明理由．【答案】（1）（或）（2）是定值16【解析】【分析】（1）根據(jù)題中條件可直接得到點的軌跡，根據(jù)軌跡類型即可寫出方程；（2）設(shè)，可求得直線的方程，繼而求得點的坐標，則可求得,再利用計算即可.【小問1詳解】且，定弦定角軌跡為圓，故點在以原點為圓心，4為半徑的圓上，但點應(yīng)在優(yōu)弧上， 則點的軌跡方程為（或）【小問2詳解】為定值，證明如下：設(shè)（或）則且則22.生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個焦點.現(xiàn)橢圓C的焦點在y軸上，中心在坐標原點，從下焦點射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到上焦點，這束光線的總長度為4，且反射點與焦點構(gòu)成的三角形面積最大值為，已知橢圓的離心率e. （1）求橢圓C的標準方程；（2）若從橢圓C中心O出發(fā)的兩束光線OM、ON，分別穿過橢圓上的A、B點后射到直線上的M、N兩點，若AB連線過橢圓的上焦點，試問，直線BM與直線AN能交于一定點嗎？若能，求出此定點：若不能，請說明理由.【答案】（1）（2）能，定點為（0，）【解析】【分析】（1）由條件列方程求可得橢圓方程；（2）聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)論完成證明.【小問1詳解】由已知可設(shè)橢圓方程為，則，，又所以，故橢圓C的標準方程為【小問2詳解】設(shè)AB方程為，由，得，設(shè)，則..由對稱性知，若定點存在，則直線BM與直線AN交于y軸上的定點， 由得，則直線BM方程為，令，則又，則，所以，直線BM過定點（0，），同理直線AN也過定點.則點（0，）即為所求點.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；