湖北省宜荊荊隨2023-2024學年高二上學期10月聯(lián)考數(shù)學Word版含解析.docx

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2023年宜荊荊隨高二10月聯(lián)考數(shù)學試卷試卷滿分：150分注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則的虛部為（）A.2B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】首先得到，即可判斷其虛部.【詳解】復數(shù)，則，所以的虛部為.故選：D2.已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知求出，進而即可根據(jù)投影向量求出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，向量在向量上的投影向量是.故選：B. 3.拋鄭兩枚質地均勻的硬幣，設事件“第一枚硬幣反面向上”，事件“第二枚硬幣正面向上”，下列結論中正確的是（）A.與為互斥事件B.C.與為相互獨立事件D.與互為對立事件【答案】C【解析】【分析】由相互獨立事件及互斥事件、對立事件的定義以及古典概率依次判斷即可.【詳解】由相互獨立事件的定義知，A與B為相互獨立事件，C正確；事件可以同時發(fā)生，則A與B不是互斥事件，也不是對立事件，A錯誤；D錯誤；，B錯誤.故選：C.4.直線過點，則直線與、正半軸圍成的三角形的面積最小值為（）A.6B.12C.18D.24【答案】B【解析】【分析】依題意可得且、，利用基本不等式求出的最小值，從而求出三角形面積的最小值.【詳解】因為直線過點，所以，令，可得，即直線與軸交于點，令，可得，即直線與軸交于點，依題意可得、，所以，則，當且僅當，即、時取等號，所以直線與、正半軸圍成的三角形的面積，當且僅當、時取等號，即直線與、正半軸圍成的三角形的面積最小值為.故選：B5.貫耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如圖所示的青花折枝花卉紋六方貫耳瓶是清乾隆時期的文物，現(xiàn)收藏于首都博物館，若忽略瓶嘴與貫耳，把該瓶瓶體看作3個幾何體的組合體，上面的幾何體Ⅰ 是直棱柱，中間的幾何體Ⅱ是棱臺，下面的幾何體Ⅲ也是棱臺，幾何體Ⅲ的下底面與幾何體Ⅰ的底面是全等的六邊形，幾何體Ⅲ的上底面面積是下底面面積的9倍，若幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分別為，則幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的體積之比為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設上面的六棱柱的底面面積為，高為，根據(jù)棱柱和棱臺的體積公式直接計算，然后求比可得.【詳解】設上面的六棱柱的底面面積為，高為，由上到下的三個幾何體體積分別記為，則，，，所以.故選：D6.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，若該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的方差是（）A.5B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)與眾數(shù)的計算求解可得，再計算方差即可. 【詳解】由題意該組數(shù)據(jù)共7個數(shù)，，故第60百分位數(shù)為從小到大第5個數(shù)，又眾數(shù)為4，故，故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故該組數(shù)據(jù)的方差是.故選：B7.已知滿足，且兩條直線方程分別為，，試判斷兩條直線位置關系是（）A.平行B.重合C.垂直D.相交且不垂直【答案】B【解析】【分析】根據(jù)可得，進而結合正弦定理化簡即可判斷.【詳解】由可得，即，且，設外接圓半徑為，則：即，即，故.故兩條直線位置關系是重合.故選：B8.在空間直角坐標系中，定義：經過點且一個方向向量為的直線方程為，經過點且法向量為的平面方程為，已知：在空間直角坐標系中，經過點的直線方程為，經過點的平面的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根據(jù)題意可得直線的方向向量與平面的法向量，進而可得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】經過點直線方程為，即，故直線的一個方向向量為，又經過點的平面的方程為，即，故的一個法向量為.設直線與平面所成角為，則.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若十個學生參加知識競賽的得分分別為，則下列說法正確的是（）A.極差為11B.眾數(shù)為90C.平均數(shù)為88D.中位數(shù)是90【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)極差、眾數(shù)、平均數(shù)與中位數(shù)的計算逐個判斷即可.【詳解】將該組數(shù)據(jù)從小到大排列有：.對A，極差為，故A正確；對B，眾數(shù)為90，故B正確；對C，平均數(shù)為，故C錯誤；對D，中位數(shù)為，故D錯誤.故選：AB10.已知點與直線，下列說法正確的是（）A.過點且直線平行的直線方程為B.過點且截距相等的直線與直線一定垂直 C.點關于直線的對稱點坐標為D.直線關于點對稱的直線方程為【答案】ACD【解析】【分析】設所求直線方程為，代入點的坐標求出，即可判斷A，當截距都為時求出直線方程，即可判斷B，設點關于直線的對稱點坐標為，即可得到方程組，解得即可判斷C，求出直線上任意兩點關于點對稱的點的坐標，從而求出對稱的直線方程，即可判斷D.【詳解】對于A：設所求直線方程為，則，解得，所以過點且直線平行的直線方程為，故A正確；對于B：若截距都為，即過點且經過坐原點的直線為，此時直線的斜率，但是，，所以直線與直線不垂直，故B錯誤；對于C：設點關于直線的對稱點坐標為，則，解得，所以點關于直線的對稱點坐標為，故C正確；對于D：因為點、在直線上，點關于點對稱點為，點關于點對稱的點為，則過和的直線方程為，即，所以直線關于點對稱的直線方程為，故D正確；故選：ACD11.如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點B是圓O上異于A，C的點，，則下列結論正確的是（）A.圓錐SO的側面積為 B.三棱錐S-ABC體積的最大值為C.的取值范圍是D.若AB=BC，E為線段AB上的動點，則SE+CE的最小值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出圓錐的側面積，棱錐的體積判斷AB，利用求得后可得其范圍判斷C，把棱錐的兩個面和攤平，利用平面上的性質求的最小值判斷D．【詳解】由已知，圓錐側面積為，A錯；圓周上，易得，．B正確；，又中，，所以，所以．C錯；時，把和攤平，如圖，的最小值是，此時，，，，，D正確．故選：BD．12.已知的內接四邊形中，，下列說法正確的是（）A.四邊形的面積為B.該外接圓的直徑為C.D.過點D作交于點，則【答案】AC 【解析】【分析】A選項，利用圓內接四邊形對角互補及余弦定理求出，，進而求出，利用面積公式進行求解；B選項，在A選項基礎上，由正弦定理求出外接圓直徑；C選項，作出輔助線，利用數(shù)量積的幾何意義進行求解；D選項，結合A選項和C選項中的結論，先求出∠DOF的正弦與余弦值，再利用向量數(shù)量積公式進行計算.【詳解】對于A，連接，在中，，，由于，所以，故，解得，所以，，所以，故，，故四邊形的面積為，故A正確；對于B，設外接圓半徑為，則，故該外接圓的直徑為，半徑為，故B錯誤；對于C，連接，過點O作OG⊥CD于點F，過點B作BE⊥CD于點E，則由垂徑定理得： ，由于，所以，即，解得，所以，所以，且，所以，即在向量上的投影長為1，且與反向，故，故C正確；對于D，由C選項可知：，故，且，因為，由對稱性可知：為的平分線，故，由A選項可知：，顯然為銳角，故，，所以，所以，故D錯誤.故選：AC 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.天氣預報說，在今后的三天中每一天下雨的概率均為，用隨機模擬的方法進行試驗，由???表示下雨，由?????表示不下雨，利用計算器中的隨機函數(shù)產生之間隨機整數(shù)的組如下：通過以上隨機模擬的數(shù)據(jù)可知三天中恰有兩天下雨的概率近似為___________.【答案】0.25##【解析】【分析】找出對應的數(shù)據(jù)，再根據(jù)古典概型即可得解.【詳解】解：由數(shù)據(jù)可知，表示恰有兩天下雨的數(shù)據(jù)為共5組，所以三天中恰有兩天下雨的概率近似為.故答案為：.14.平行于直線3x＋4y－2＝0，且與它的距離是1的直線方程為______________________．【答案】3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0【解析】【詳解】設所求直線方程為3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，則d＝，∴c＝3或c＝－7，即所求直線方程為3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.15.已知圓柱體體積是1，設分別是圓柱的上、下底面的中心，以圓柱的兩底面作為圓錐體的底面，以分別互為頂點和底面中心做2個圓錐體，則這兩個圓錐體公共部分的體積________．【答案】【解析】【分析】兩個圓錐體公共部分為兩個相同的圓錐，底面半徑為，高為，由圓錐的體積求解即可.【詳解】設圓柱的底面半徑為，高為，則圓柱體體積，以圓柱的兩底面作為圓錐體的底面，以分別互為頂點和底面中心做2個圓錐體， 如下圖，兩個圓錐體公共部分為兩個相同的圓錐，底面半徑為，高為，即每個圓錐的體積為：，所以兩個圓錐的公共部分為：.故答案為：.16.如圖，已知為等邊三角形，點是的重心．過點的直線與線段交于點，與線段交于點．設，且．設的周長為，的周長為，設，記，則的值域為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡得到，設的邊長為1，用和表示，，，再利用，得到，進而得到，通過和的范圍，求出 的范圍，進而可求出的范圍.【詳解】延長，交于，因為為的重心，所以，為中點，所以，，所以，，得，整理得，，設的邊長為1，則，，在中，由余弦定理得，，所以，，因為，所以，因為，，所以，，，又，則有，因為，所以，，因為，，所以的最小值為，最大值為，所以，單調遞增，則，所以，，即的值域為故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知坐標平面內兩點．（1）當直線的傾斜角為銳角時，求的取值范圍；（2）若直線的方向向量為，求的值． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結合兩點式求斜率，解不等式即可得出答案；（2）根據(jù)方向向量得，解方程即可得出答案.【小問1詳解】因為傾斜角為銳角，則，又即，解得．【小問2詳解】直線的方向向量為18.在中，角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若為角的平分線，點在上，且，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導公式求出，從而得解；（2）由得到，再由余弦定理得到，即可求出，最后由面積公式計算可得.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，所以在中，，， 所以，則，因為，所以．【小問2詳解】由，得，即①．由余弦定理得，所以②．由①②得（舍去）或，所以．19.某地區(qū)期末進行了統(tǒng)一考試，為做好本次考試的評價工作，現(xiàn)從中隨機抽取了60名學生的成績，經統(tǒng)計，這批學生的成績全部介于40至100之間，將數(shù)據(jù)按照，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中的值，以及該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（2）若采用分層隨機抽樣的方法，從成績在和的三組中抽取6人，再從這6 人中任選2人，求這2人的成績在同一組的概率．【答案】（1），眾數(shù)為85，中位數(shù)為76（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，求出的值，再求出眾數(shù)和中位數(shù)；（2）首先求出各段中抽取的人數(shù)，利用列舉法列出所有可能結果，最后由古典概型的概率公式計算可得.【小問1詳解】由圖可知：，所以，眾數(shù)為,因為，，所以中位數(shù)位于，設中位數(shù)為，則，，即中位數(shù)為.【小問2詳解】由圖可知分數(shù)在的概率為，分數(shù)在的概率為，分數(shù)在的概率為，所以若按分層抽樣從這三組中抽人，則分數(shù)在的人數(shù)為人，分數(shù)在的人數(shù)為人，分數(shù)在的人數(shù)為人，抽取的人中分數(shù)在內的有人，記這人分別為，分數(shù)在內的有人，記這人分別為，分數(shù)在內的有人，記這人分別為，從人中隨機抽取人的情況為，，共15種，其中人均在內的情況為，人均在內的情況為，故人的成績在同一區(qū)間的情況共4種，所以人的成績在同一區(qū)間的概率為.20.空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構成直角坐標系．如果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為 ，我們將這種坐標系稱為“斜坐標系”．我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜坐標系”下向量的斜坐標：分別為“斜坐標系”下三條數(shù)軸（軸，軸，軸）正方向上的單位向量，若向量，則與有序實數(shù)組一一對應，稱向量的斜坐標為，記作．（1）若，求的斜坐標；（2）在平行六面體中，，建立“空間斜坐標系”如下圖所示．①若，求向量的斜坐標；②若，且，求．【答案】（1）（2）①；②3【解析】【分析】（1）通過“空間斜60°坐標系”的定義，化簡為，，再計算的斜60°坐標.（2）設，，分別為與，，同方向的單位向量，則，，，①中，通過平行六面體得到，從而得到求向量的斜坐標；②中，通過平行六面體得到，由，得到，并結合題目中的，從而計算出值，并得到的值.【小問1詳解】 ，的斜坐標為．【小問2詳解】設分別為與同方向的單位向量，則，①②由題，由，知，由，知：，，解得，則．21.如圖，由直三棱柱和四棱錐構成的幾何體中，，，平面平面.（1）為三角形內（含邊界）的一個動點，且，求的軌跡的長度； （2）在線段上是否存在點，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在；.【解析】【分析】（1）作，連接，可以證明的軌跡為線段，求出的長度即可；（2）以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，，根據(jù)向量關系求出值即可.【詳解】（1）作，連接，由題知平面，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面，所以，因為，且，所以平面，所以的軌跡為線段，在中可解得;（2）存在.以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系,所以，所以，設平面的法向量， 所以，所以平面的一個法向量，設，所以，所以，解得或（舍），所以.【點睛】本題考查線面垂直以及利用向量法求解線面角問題，向量法是幾何與代數(shù)的紐帶，使計算化繁為簡，同時熟悉線面平行、垂直的證明方法，屬中檔題.22.如圖示，是以為直徑的圓的下半圓弧上的一動點（異于、兩點），、分別為、在過點的直線上的射影（、在直線的上方），記，，向量∥直線．（1）若，求面積最大值及取得最大值時的值；（2）若，用表示向量、在向量方向上的投影之和的絕對值，試問、滿足什么條件時，有最大值？（3）若，，，求的值．【答案】（1）時，；（2）時，的最大值等于2（3）4【解析】【分析】（1 ）先由直徑所對的圓周角為直角得到三角形的形狀，再利用三角函數(shù)的定義和面積公式進行求解；（2）利用平面向量的數(shù)量積的幾何意義進行化簡可得，再求最值即可；（3）先由直角三角形中的三角函數(shù)定義求得相關邊長，再由三角恒等變換進行求解.【小問1詳解】由為直徑得圓周角，，，所以當，即時，．【小問2詳解】由與相似得，又，所以，所以當時，的最大值等于2【小問3詳解】由相似三角形得，由直角三角形得，所以