浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單項題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={1，3，4，5}B={2，4，6，8}則（）A.{1，2，3，4，5，6，7，8}B.{1，2，3，4，6，8}C.{1，2，3，4，5，6，8}D.{4}【答案】C【解析】【分析】根據(jù)并集的知識求得正確答案.【詳解】根據(jù)并集的知識可知.故選：C2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必條件【答案】B【解析】【分析】分別求出兩個不等式的解集，結(jié)合充分、必要條件的知識求得正確答案.【詳解】，，解得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.下列函數(shù)中是奇函數(shù)，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義和單調(diào)性的性質(zhì)分別對各個選項分析判斷即可. 【詳解】對于A，為奇函數(shù)，在和上為減函數(shù)，而在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，所以A不合題意；對于B，為奇函數(shù)，在定義域上為減函數(shù)，所以B符合題意；對于C，為偶函數(shù)，所以C不合題意；對于D，由于為非奇非偶函數(shù)，所以D不合題意，故選：B.4.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b【答案】D【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定正確答案.【詳解】，在上遞增，所以，即.在上遞減，所以，所以.故選：D5.若m+n＝1（m＞0，n＞0），則的最小值為（）A.4B.6C.9D.12【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用基本不等式即可求解．詳解】因為m+n＝1（m＞0，n＞0），則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選：A． 6.設(shè)x∈R，定義符號函數(shù)，則函數(shù)=的圖象大致是AB.C.D.【答案】C【解析】【詳解】函數(shù)f（x）=|x|sgnx==x，故函數(shù)f（x）=|x|sgnx的圖象為y=x所在的直線，故答案為C．7.設(shè)函函＝x2﹣2x+2，若tx對任意的實數(shù)x1恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值即可．【詳解】因為tx對任意的實數(shù)x1恒成立，所以x2﹣2x+2tx對任意的實數(shù)x1恒成立， 等價于在上恒成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在處取最小值為，所以，所以實數(shù)t的取值范圍是．故選：C.8.已知是定義域為的單調(diào)函數(shù)，若對任意的，都有，則函數(shù)的零點為（）A.B.C.2D.3【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)單調(diào)，結(jié)合已知條件求出的解析式，然后再進(jìn)一步研究函數(shù)的零點．【詳解】解：因為是定義域為的單調(diào)函數(shù)，且對任意的，都有，故可設(shè)存在唯一的實數(shù)，使得，則設(shè)，所以，所以，則，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，故再令，，得：，解得（負(fù)值舍去）．則函數(shù)的零點為. 故選：A．二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的或不選的得0分9.下列各組函數(shù)為同一個函數(shù)的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】CD【解析】【分析】逐項判斷即可，A項定義域不同；B項定義域不同；CD項化簡后三要素相同；【詳解】對于A：的定義域為，的定義域為，因為這兩個函數(shù)的定義域不同，所以這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)，故A錯誤；對于B：的定義域為，的定義域為，因為這兩個函數(shù)的定義域不同，所以這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)，故B錯誤；對于C：的定義域為，的定義域為，，，所以這兩個函數(shù)是同一函數(shù)，故C正確；對于D：的定義域為，的定義域為，，所以這兩個函數(shù)是同一函數(shù)，故D正確；故選：CD.10.下列說法正確的有（） A.命題“，x2+x+1＞0”的否定為“”B.函數(shù)f（x）＝logax+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點（1，1）C.已知函數(shù)f（x）＝|x|+2，則f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對稱D.【答案】AB【解析】【分析】由全稱量詞命題的否定可判斷A；利用函數(shù)平移的即可判斷BC；由換底公式可可判斷D【詳解】對于A選項：“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定為“?x∈R．x2+x+10”，故A正確；對于B選項：由函數(shù)對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0且a≠1）恒過（1，0），所以f（x）＝logax+1恒過（1，1），故B正確；對于C選項：由函數(shù)y＝|x|圖像關(guān)于x＝0對稱，所以f（x）＝|x|+2，關(guān)于x＝0對稱，故C錯誤；對于D選項：由換底公式，故D錯誤；故選：AB．11.若，則下列不等式中，恒成立的是（）A.B.a3+b3a2b+b2aC.D.【答案】ABD【解析】【分析】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論，不等式的性質(zhì)及對勾函數(shù)單調(diào)性分別檢驗各選項即可判斷．【詳解】對A：當(dāng)a＞0，b＞0時，，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號，A正確；對B：a3+b3﹣a2b﹣ab2＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a﹣b）2（a+b）≥0，故a3+b3≥a2b+b2a，B正確；對C：，故，C錯誤；對D：令，又在上單調(diào)遞增， 且當(dāng)時，，故，D正確．下證在上單調(diào)遞增：在上任取，則，因為，故，故，即，故在上單調(diào)遞增.故選：ABD．12.已知函數(shù)是定義在R上的函數(shù)，其中f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且f（x）+g（x）＝ax2﹣x，若對于任意，都有，則實數(shù)a可以為（）A3B.2C.1D.0【答案】AB【解析】【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性可求，由函數(shù)的單調(diào)性定義分析可得，令，判斷出在上單調(diào)遞增，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得a的取值范圍．【詳解】根據(jù)題意，f（x）+g（x）＝ax2﹣x，則f（﹣x）+g（﹣x）＝ax2+x，兩式相加可得f（x）+f（﹣x）+g（x）+g（﹣x）＝2ax2，又由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，g（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以2g（x）＝2ax2，即g（x）＝ax2，若對于任意，都有，變形可得，令，則h（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，若a＝0，則h（x）＝﹣4x在上單調(diào)遞減，不滿足題意；若，則h（x）＝ax2﹣4x是對稱軸為的二次函數(shù)， 若h（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，只需，解得，所以a的取值范圍為，則a可以取值3，2.故選：AB三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)定義域為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【詳解】依題意，解得，所以的定義域為.故答案為：14.已知函數(shù)，則_____．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式求得正確答案.【詳解】由于，所以.故答案為：15.若冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)_____．【答案】4【解析】【分析】結(jié)合冪函數(shù)的定義以及單調(diào)性求得的值.【詳解】是冪函數(shù)，所以，解得或. 當(dāng)時，，在上遞增，符合題意.當(dāng)時，，上遞減，不符合題意.綜上所述，的值為.故答案為：16.在函數(shù)y＝3x圖象上有A（x1，t），B（x2，t+3），C（x3，t+6）（其中t3）三點，則△ABC的面積S（t）的最大值為________．【答案】．【解析】【分析】先利用對數(shù)式，求出x1，x2，x3，然后即可將△ABC的面積表示成的形式，代入x1，x2，x3，求其最大值即可．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)y＝3x圖象上有A（x1，t），B（x2，t+3），C（x3，t+6）（其中t3）三點，所以，即x1＝log3t，x2＝log3（t+3），x3＝log3（t+6），即,∵t3，∴單調(diào)遞減，∴t＝3時，．故答案為：． 四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合．（1）若，求；（2）若，求實數(shù)的取值集合．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)交集的知識求得正確答案.（2）根據(jù)對進(jìn)行分類討論，從而求得的取值范圍.【小問1詳解】依題意，當(dāng)時，，所以.【小問2詳解】由解得，，若，則，，符合題意.若，由于，所以.綜上所述，實數(shù)的取值集合為.18.計算下列各式的值．（1）； （2）．【答案】（1）（2）9【解析】分析】（1）利用指數(shù)運算公式和對數(shù)運算公式，即可解出；（2）利用對數(shù)運算公式，即可解出．【小問1詳解】原式；【小問2詳解】原式.19.已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，并且滿足．（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）若，求x的取值范圍．【答案】（1）0；（2）奇函數(shù)；（3）.【解析】【分析】（1）令x＝y(tǒng)＝0，即可得答案；（2）令y＝-x，結(jié)合(1)的結(jié)論即可判斷；（3）由題意可得，則原不等式等價于，由是定義在R上的增函數(shù)求解即可．【小問1詳解】令x＝y(tǒng)＝0，得，解得.【小問2詳解】 因為函數(shù)的定義域為R，令y＝-x，則有，即，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴為奇函數(shù)；【小問3詳解】因為，所以，又因為，即由，則，即，又因為為增函數(shù)，所以，解得，故x的取值范圍為．20.近年來，人們對能源危機(jī)、氣候危機(jī)有了更加清醒的認(rèn)識，各國對新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品的需求急劇擴(kuò)大，同時，對新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品的研發(fā)投入產(chǎn)量增加．杭州某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，研發(fā)出一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品，計劃生產(chǎn)投入市場．已知該產(chǎn)品的固定研發(fā)成本為180萬元，此外，每生產(chǎn)一萬臺該產(chǎn)品需另投入450萬元．設(shè)該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x（0＜x≤50）萬臺且能全部售完，根據(jù)市場調(diào)研，該產(chǎn)品投入市場的數(shù)量越多，每臺產(chǎn)品的售價將適當(dāng)降低．已知每萬臺產(chǎn)品的銷售收入為萬元，滿足：．（1）寫出年利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（單位：萬臺）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤＝銷售收入﹣固定研發(fā)成本﹣產(chǎn)品生產(chǎn)成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時，該企業(yè)的獲利最大？此時的最大利潤為多少？【答案】（1）； （2）當(dāng)年產(chǎn)量為30萬臺時，該企業(yè)的獲利最大，且此時的最大利潤為2270萬元．【解析】【分析】（1）由已知條件，根據(jù)利潤＝銷售收入﹣固定研發(fā)成本﹣產(chǎn)品生產(chǎn)成本即可建立年利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（單位：萬臺）的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)（1）所得分段函數(shù)，分別求出各段的最大值，比較大小即可得答案．【小問1詳解】當(dāng)0＜x≤20時，＝x﹣（180+450x）＝610x﹣2x2﹣180﹣450x＝﹣2x2+160x﹣180，當(dāng)20＜x≤50時，所以，.【小問2詳解】當(dāng)0＜x≤20時，＝﹣2x2+160x﹣180＝﹣2（x﹣40）2+3020，則函數(shù)在（0,20]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝20時，取得最大值，且最大值為2220；當(dāng)20＜x≤50時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝30（負(fù)值舍去）時等號成立，此時取得最大值，且最大值為2270，因為2270＞2220，所以，當(dāng)年產(chǎn)量為30萬臺時，該企業(yè)的獲利最大，且此時的最大利潤為2270萬元．21.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求實數(shù)k的值；（2）若對任意的x2∈，存在x1∈，使成立，求實數(shù)t的取值范圍．【答案】（1）；（2）． 【解析】【分析】（1）根據(jù)求解即可；（2）求得和在對應(yīng)區(qū)間上的最小值，根據(jù)其大小關(guān)系，再解不等式即可.【小問1詳解】因為x∈R，為奇函數(shù)，所以，所以，，經(jīng)檢驗，滿足題意，故.【小問2詳解】因為任意的x2∈，存在x1∈，使成立，所以在[t,+)上的最小值小于或等于在[1,2]的最小值，易知＝ex﹣e﹣x在R上為增函數(shù)，所以在[t,+)上也為增函數(shù)，所以的最小值為f(t)＝et﹣e﹣t，令m＝|x﹣t|，當(dāng)t≤1時，m＝|x﹣t|在x＝1處取小值為1﹣t，所以的最小值為e1﹣t，所以et﹣e﹣t≤e1﹣t，即(et)2≤1+e，所以，所以；當(dāng)1＜t＜2時，m＝|x﹣t|在x＝t處取小值為0，所以的最小值為e0＝1，et﹣e﹣t≤1，即，令k＝et，k＞0，則k2﹣k﹣1≤0，解得，即，解得＜＝1，與t＞1矛盾，故舍去；當(dāng)t≥2時，m＝|x﹣t|在x＝2處取小值為t﹣2，所以的最小值為et﹣2，et﹣e﹣t≤et﹣2，即，所以與t≥2矛盾，故舍去．綜上所述，t的范圍為：． 下證＝ex﹣e﹣x在R上為增函數(shù)：在上任取，則，又當(dāng)時，，，故，即，故＝ex﹣e﹣x在R上為增函數(shù).22.已知函數(shù)＝x2+bx+c（1≤b≤2），記集合A＝{x|＝x}，B＝{x|＝x}．（1）若b＝1，c＝，求集合A與B；（2）若集合A＝{x1，x2}，B＝{x1，x2，x3，x4}并且恒成立，求c的取值范圍．【答案】（1）A＝{﹣1，1}，B＝{﹣1，1}；（2）．【解析】【分析】（1）由二次方程的解法可得集合A；由因式分解可得集合B；（2）將＝x展開，并運用二次函數(shù)的零點式，結(jié)合韋達(dá)定理，可得x1+x2＝1﹣b，x1x2＝c，x3+x4＝﹣1﹣b，x3x4＝c+1+b，再由不等式恒成立思想解不等式可得所求取值范圍．【小問1詳解】當(dāng)b＝1，c＝﹣1時，＝x2+x﹣1，＝x2+x﹣1＝x，可得x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，所以A＝{﹣1，1}；＝x，故可得（x2+x﹣1）2+（x2+x﹣1）﹣1＝x，化簡得x4+2x3﹣2x﹣1＝0，即（x2﹣1）（x+1）2＝0，可得（x﹣1）（x+1）3＝0，解得x＝1或x＝﹣1，所以B＝{﹣1，1}；【小問2詳解】﹣x＝x2+（b﹣1）x+c＝（x﹣x1）（x﹣x2）， ﹣x＝﹣+﹣x＝（f（x）﹣x1）（f（x）﹣x2）+（x﹣x1）（x﹣x2）＝（f（x）﹣x+x﹣x1）（f（x）﹣x+x﹣x2）+（x﹣x1）（x﹣x2）＝（x﹣x1）（x﹣x2+1）（x﹣x2）（x﹣x1+1）+（x﹣x1）（x﹣x2）＝（x﹣x1）（x﹣x2）[（x﹣x2+1）（x﹣x1+1）+1]，而x1+x2＝1﹣b，x1x2＝c，所以x3+x4＝x1+x2﹣2＝1﹣b﹣2＝﹣1﹣b，x3x4＝x1x2+2﹣（x1+x2）＝c+1+b，所以恒成立，可得（1+b）2﹣4（1+b+c）＞0，且（1+b）2﹣4（1+b+c）≤2恒成立，由1≤b≤2，可得2≤1+b≤3，則g（b）＝（1+b）2﹣4（1+b）的值域為[﹣4,﹣3]，所以4c＜﹣4且4c+2≥﹣3，解得，即c的取值范圍是．