四川省成都市成都市第七中學2022-2023學年高一下學期期末數學試題 Word版含解析.docx

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成都七中高2025屆高一下期期末考試數學試卷注意事項:1.答題前,務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦擦干凈后,再選涂其它答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后,將答題卡交回.一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知,,與的夾角,則()A.10B.-10C.5D.-5【答案】B【解析】【分析】利用向量數量積運算即可求出結果.【詳解】因為,,與的夾角,所以,故選:B2.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時,下列結論正確的選項是()A.三角形的直觀圖是三角形B.平行四邊形的直觀圖必為矩形C.正方形的直觀圖是正方形D.菱形的直觀圖是菱形【答案】A【解析】【分析】根據三角形特征可知A正確;通過反例可說明BCD錯誤.【詳解】對于A,三角形的三個頂點不共線,直觀圖中,三個頂點對應的點也必然不共線,三角形的直觀圖依然是三角形,A正確;對于B,如下圖所示平行四邊形,其中,其直觀圖為平行四邊形,而非矩形,B錯誤; 對于C,正方形的直觀圖為平行四邊形,如下圖所示,C錯誤;對于D,如下圖所示的菱形,其中,其直觀圖為平行四邊形,若,則,,即,四邊形不是菱形,D錯誤.故選:A.3.拋擲兩枚質地均勻的骰子(標記為I號和Ⅱ號),觀察兩枚骰子出現“兩個點數相等”的概率為()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率求解.【詳解】解:拋擲兩枚質地均勻的骰子(標記為I號和Ⅱ號)一共36種結果,兩枚骰子出現“兩個點數相等”的有,一共6種,所以兩枚骰子出現“兩個點數相等”的概率為, 故選:C4.如圖,已知長方體,,,則直線與所成角的余弦值為()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】數形結合,找到直線與所成角,然后簡單計算即可.【詳解】連接,如圖直線與所成角為由題可知:,由,所以,所以故選:D5.下面選項中方差最大的是()A.8,8,8,8,8,8,8,8,8B.6,6,6,5,5,5,4,4,4C.7,7,6,6,5,4,4,3,3D.8,8,8,8,5,2,2,2,2【答案】D【解析】【分析】利用方差公式求出各選項方差即可. 【詳解】對于A:,對于B:;對于C:;對于D:;故選:D.6.的值為()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據,利用兩角和的正切公式計算可得.【詳解】.故選:C7.如圖,在中,已知,,,,邊上的兩條中線,相交于點P,則的余弦值為()A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】在中,設,則,利用平面向量的夾角公式求解.【詳解】解:在中,設,則,所以,,,,所以,故選:D8.如圖,三棱錐中,平面ABC,,,,點C到PA的距離,若BH和平面CDH所成角的正弦值為,則BC長度為()A.1B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】利用線面垂直的判定定理證明平面,再由,進而證明平面,進而可證明為和平面所成的角,則,求出,設,由,解方程即可得出答案.【詳解】因為平面,則平面,所以,又因為,且,平面, 所以平面,因為平面,所以,因為,且,平面,所以平面,平面,所以,因為,,,所以點是的中點,又因為,所以是等腰直角三角形,由平面,所以平面,所以為和平面所成的角,因為則,所以,則,因為是等腰直角三角形,所以,設,所以,又,又因為,所以,解得:.故選:A.二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項是符合題目要求的.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.對于兩個平面,和兩條直線m,n,下列命題中假命題是()A.若,,則B.若,,則C.若,,,則D.若,,,則【答案】ABC【解析】【分析】根據線線、線面、面面的位置關系,結合判定定理和性質定理對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A,若,,則或,故A是假命題;對于B,若,,有可能出現,故B是假命題;對于C,若,,,有可能出現,故C是假命題; 對于D,,,則或,若,則由得,若,則內有直線,而易知,從而,D是真命題.故選:ABC.10.在中,內角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,已知,且,,則的可能取值為()A.1B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】利用正余弦定理即可求出結果.【詳解】,,即,當時,即,因為,,所以,當時,,由正弦定理可得,由余弦定理可得:,解得,所以或.故選:AD.11.在等腰直角三角形中,,,則下列命題正確的是() A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根據向量的線性運算法則,可判定A正確;由,可判定B不正確;,可判定C不正確;由,,結合數量積的運算公式,可判定D正確.【詳解】如圖所示,等腰直角中,,,對于A中,由,所以A正確;對于B中,由,所以B不正確;對于C中,由,所以,所以C不正確;對于D中,由,所以,所以D正確.故選:AD.12.四棱錐的四個側面都是腰長為,底邊長為2的等腰三角形,則該四棱錐的高為()A.B.C.D.【答案】ACD【解析】 【分析】滿足要求的四棱錐有三種情形,對三種情況進行討論求出結果.【詳解】滿足要求的四棱錐有如下三種情形.(1)如圖,四條側棱長均為,則四棱錐為正四棱錐,連接交于點,連接,則平面,是四棱錐的高,則,,所以,四棱錐的高為;(2)如圖,有兩條側棱長為,作平面,記,,是四棱錐的高,于是,,且.解得,.四棱錐的高為;(3)如圖,三條側棱(、、)長為,一條側棱, ,,設與交于點.記.由等腰三角形三線合一可得:,平面,平面,,則平面,因為平面,所以平面平面,過O作,因為平面平面,所以平面,是四棱錐的高,則有,,.因為,于是,.將前面的結果代入上式,解得或.顯然,故.,在中,由余弦定理得,,,四棱錐的高為.故選:ACD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在答題卡上.13.已知,,且,則___________.【答案】3【解析】 【分析】利用向量平行的坐標表示即可得解.【詳解】因為,,且,所以,則.故答案為:3.14.一組數據按從小到大的順序排列如下:11,12,15,x,17,y,22,26,經計算,該組數據中位數是16,若分位數是20,則___________.【答案】33【解析】【分析】利用中位數與百分位數的定義求得,從而得解.【詳解】因為,故中位數,解得;因為,故75%分位數是,則;所以故答案為:33.15.一個人騎自行車由A地出發(fā)向東騎行了9km到達B地,然后由B地向南偏東30°方向騎行了6km到達C地,再從C地向北偏東30°騎行了16km到達D地,則A,D兩地距離為____________.【答案】【解析】【分析】結合題意建立直角坐標系,利用向量的坐標運算求出,從而求出即可.【詳解】以A為原點,AB所在直線為x軸建立直角坐標系,如圖,則,,即,,即,所以,故.所以A,D兩地距離為. 故答案為:.16.某兒童玩具的實物圖如圖1所示,從中抽象出的幾何模型如圖2所示,由,,,四條等長的線段組成,其結構特點是能使它任意拋至水平面后,總有一條線段所在的直線豎直向上,則___________.【答案】##【解析】【分析】根據題意可得兩兩連接后所得到的四面體為正四面體,且是其外接球的球心,設出棱長,在直角三角形中建立等式關系,求得,的長度,即可求得結果.【詳解】根據題意可得,,,相等且兩兩所成的角相等,兩兩連接后所得到的四面體為正四面體,且是其外接球的球心,延長交面于,連接,則為的外心,設,則,,,, 因為,所以解得,.故答案為:.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知復數,,其中.(1)若,求的值;(2)若是純虛數,求的值.【答案】(1)2(2)或.【解析】【分析】(1)利用復數相等幾何復數運算即可求出結果;(2)利用純虛數定義即可求出結果.【小問1詳解】∵,,,∴,從而,解得,所以的值為2.【小問2詳解】依題意得:,因為是純虛數, 所以,解得或.18.函數,其中,.(1)求函數的最小正周期;(2)若是三角形的內角,當時,求的集合.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)根據數量積公式,結合輔助角公式求得,再根據周期公式求解即可;(2)由,根據三角形內角范圍,可得或,從而可得答案.【小問1詳解】函數,,所以的最小正周期為:.【小問2詳解】,因為是三角形的內角,所以, 所以或,即或,所以的集合為.19.如圖,在四棱錐中,底面,在直角梯形中,,,,是中點.求證:(1)平面;(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】(1)取線段的中點,可證得四邊形為平行四邊形,從而得到,由線面平行的判定可證得結論;(2)由線面垂直性質和勾股定理可分別證得,,由線面垂直和面面垂直的判定可證得結論.【小問1詳解】取線段的中點,連接,分別為中點,,, 又,,,,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面.【小問2詳解】平面,平面,;設,則,,,,,,,;,平面,平面,平面,平面平面.20.400名大學生參加某次測評,根據男女學生人數比例,使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數,將數據分成7組:,并整理得到如下頻率分布直方圖:(1)在頻率分布直方圖中,求分數小于70的頻率;(2)已知樣本中分數小于40的學生有5人,試估計總體中分數在區(qū)間內人數;(3)已知樣本中有一半男生的分數不小于70,且樣本中分數不小于70的男女生人數相等.試估計總體中男生和女生人數的比例.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)根據頻率分布直方圖求得分數不小于的頻率為,進而求得樣本中分數小于的頻率;(2)根據題意,求得樣本中分數不小于50的頻率為,得到分數在區(qū)間內的人數為 ,進而求得總體中分數在區(qū)間內的人數;(3)根據題意分別求得樣本中的男生和女生人數,得到男生和女生人數的比例,結合分層抽樣的概念,即可求解.小問1詳解】解:根據頻率分布直方圖可知,樣本中分數不小于的頻率為所以樣本中分數小于的頻率為.【小問2詳解】解:根據題意,樣本中分數不小于50的頻率為,分數在區(qū)間內的人數為.所以總體中分數在區(qū)間內的人數估計為.【小問3詳解】解:由題意可知,樣本中分數不小于70的學生人數為,所以樣本中分數不小于70的男生人數為.所以樣本中的男生人數為,女生人數為,男生和女生人數的比例為.所以根據分層抽樣原理,總體中男生和女生人數的比例估計為.21.如圖,在平面四邊形ABCD中,,,,.(1)若,求AC長;(2)求CD的最小值.【答案】(1)(2)【解析】 【分析】(1)由余弦定理可得答案;(2)在中由正弦定理得,由余弦定理可得,在中由余弦定理,根據可得當時可得答案.小問1詳解】中,由余弦定理得,得,所以;【小問2詳解】在中,由正弦定理:,則,又,且,在中,由余弦定理:,且,所以當時,即最小值.22.如圖,在斜三棱柱中,,等腰的斜邊,在底面ABC上的投影恰為AC的中點.(1)求二面角的正弦值; (2)求的長;(3)求到平面的距離.【答案】(1)1(2)(3).【解析】【分析】(1)設中點為,則平面,然后由面面垂直的判定可得平面平面,從而可得二面角為直二面角;(2)由面面垂直的性質可得平面,則,再結合可得平面,則,從而可得為菱形,進而可求得結果;(3)利用等體積法求解即可.【小問1詳解】設中點為,因為在底面ABC上的投影恰為AC的中點.所以平面,因為平面,所以平面平面,所以二面角的正弦值為1.【小問2詳解】因為平面平面,且平面平面又因為,所以平面,因為平面,所以. 因為,,平面,所以平面,因為平面,所以,所以為菱形,所以,因為等腰的斜邊,所以,所以,所以,所以在直角中,,所以,所以為等邊三角形,所以.【小問3詳解】設到平面的距離為,連接,因為平面,平面,所以,所以,因為,所以,所以,所以.

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