四川省雅安市雅安中學等校聯(lián)考2023-2024學年高三下學期開學考試數(shù)學（文）Word版含解析.docx

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2024屆高三數(shù)學試題（文）考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘．2．請將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數(shù)的共軛復數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用復數(shù)的乘法化簡復數(shù)，再利用共軛復數(shù)的定義可得出結(jié)果.【詳解】因為，故復數(shù)共軛復數(shù)為.故選：B.2.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)絕對值不等式的解法及函數(shù)定義域的求法，由集合并集可得結(jié)果.【詳解】由，解得，所以．因為函數(shù)的定義域為，所以，所以，故選：B.3.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，，則 （）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由正弦定理知，，則．因為，所以．故選：A4.已知非零向量，滿足，且，則與夾角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的運算律，代入計算，結(jié)合平面向量的夾角計算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以．設與的夾角為，則．故選：B5.已知是三條不重合的直線，是三個不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則且C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面以及面面平行的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷B ；根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷C；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理可判斷D.【詳解】對于A，若，則或，A錯誤；對于B，若，則當且時，才有且，B錯誤；對于C，若，當時，推不出，C錯誤；對于D，如圖，設，在內(nèi)取點P，，作，垂足為，因為，則，而，則，又，故，D正確，故選：D6.函數(shù)的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可得到選項.【詳解】由函數(shù)，，令，解得，則其定義域為，關于原點對稱，所以函數(shù)在定義內(nèi)為偶函數(shù)，排除C，D選項，因為，觀察選項可知，選A.故選：A7.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標準差分別為3和1，另一組數(shù)據(jù)（其中）的平均數(shù)和標準差分別為10和4，則（）A.16B.8C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的線性關系確定它們的平均數(shù)與標準差的關系列方程，即可得的值，從而可得答案.【詳解】由題可知，，解得，則．故選：C8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為，，，則輸出的值為（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】執(zhí)行程序框圖可知，輸出的值為最小值，故判斷的大小關系即可得到答案.【詳解】執(zhí)行程序框圖可知，第一次判斷輸出中較小的數(shù)記為a，再進行第二次判斷，將a與c進行比較，記較小的數(shù)為a，最終輸出.故輸出的值為的最小值.因為，，，所以輸出的值為．故選：D9.已知函數(shù)，若存在，使得，則下列結(jié)論不正確的是（）A.B.C.在內(nèi)有零點D.若在內(nèi)有零點，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在定理逐項判斷即可得結(jié)論.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，且，，所以，，根據(jù)零點存在定理可得函數(shù)在內(nèi)有零點，故C正確；又因為，所以，故B正確；又因為，則可能大于，故A不正確；若函數(shù)在內(nèi)有零點，則，故D正確. 故選：A.10.當兩個變量呈非線性相關時，有些可以通過適當?shù)霓D(zhuǎn)換進行線性相關化，比如反比例關系，可以設一個新的變量，這樣與之間就是線性關系．下列表格中的數(shù)據(jù)可以用非線性方程進行擬合，1234562.53.64.45.46.67.5用線性回歸的相關知識，可求得的值約為（）A.2.98B.2.88C.2.78D.2.68【答案】B【解析】【分析】設后，得到與之間的關系表格，計算出的值，利用在線性回歸方程上進行計算即可.【詳解】設，則，則1491625362.53.64.45.46.67.5則，，則．故選：B.11.若函數(shù)在上恰有兩個零點，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】利用三角恒等變換先化簡函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可.【詳解】，令，得,由，得．因為恰有兩解，所以．故選：C12.我們把形如和的兩個雙曲線叫做共軛雙曲線．設共軛雙曲線，的離心率分別為，，則當取得最大值時，（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，由，可設，結(jié)合三角恒等變換與正弦型函數(shù)最值即可得答案.【詳解】由題意可知則．由，可設， 則，其中，當，即時，取得最大值，此時．故選：A.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知實數(shù)，滿足約束條件，則其表示封閉區(qū)域的面積為______．【答案】2【解析】【分析】利用線性規(guī)劃作出約束條件所表示的封閉區(qū)域，從而得解.【詳解】根據(jù)約束條件作出的平面區(qū)域圖如圖所示，易得，，，則，故封閉區(qū)域的面積為2.故答案為：2.14.已知拋物線的焦點為，是上一點，且，則______．【答案】6【解析】 【分析】根據(jù)拋物線的定義及焦半徑公式計算即可.【詳解】由題可知．故答案為：615.一個封閉的玻璃圓錐容器內(nèi)裝有部分水（如圖1），此時水面與線段交于點，將其倒置后（如圖2），水面與線段還是交于點，則______．【答案】##【解析】【分析】由已知可得前后兩次水面的交點相同可得圓錐的體積是圓錐體積的一半，再由圓錐的體積公式計算可求.【詳解】由題意知，在圖1中，圓錐的體積是圓錐體積的一半，分別設圓，圓的半徑為，，則．故答案為：16.已知，分別是函數(shù)和的零點，且，，則______．【答案】1【解析】【分析】求，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)零點及單調(diào)性可得，化簡可得的值. 【詳解】由題意可得，，又，當時，，所以在上單調(diào)遞減，因為，，且，又，所以，所以．故答案為：1.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，當時，用替換，然后代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由錯位相減法代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】當時，．當時，由，得，則，則，因為也符合上式，所以．【小問2詳解】由（1）可知，，則， 則，兩式相減得，則．18.為了防止注冊賬號被他人非法登錄，某系統(tǒng)在賬號登錄前，要先輸入驗證碼．已知該系統(tǒng)登入設置的每個驗證碼均由有序數(shù)字串組成，其中，某人非法登錄一個賬號，任選一組驗證碼輸入．（1）求這個人輸入的驗證碼恰有兩位正確的概率；（2）若這個人通過技術獲得了驗證碼的第一位數(shù)，求這個人輸入的驗證碼正確的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用古典概型概率求解；（2）利用古典概型的概率求解.【小問1詳解】解：由題可知，所有的驗證碼包括111，112，113，121，122，123，131，132，133，211，212，213，221，222，223，231，232，233，311，312，313，321，322，323，331，332，333，共27種．不妨設正確的驗證碼為111，則恰有兩位正確的驗證碼包括112，113，121，131，211，311，共6種，故這個人輸入的驗證碼恰有兩位正確的概率為．【小問2詳解】不妨設正確的驗證碼為111，這個人通過技術獲得的驗證碼的第一位數(shù)為1，則這個人輸入的驗證碼可能為111，112，113，121，122，123，131，132，133，共9種，則這個人輸入的驗證碼正確的概率為．19.如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均是邊長為2的正方形．（1）證明：． （2）若，求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直證明線線垂直，先連接，由已知得到四邊形為菱形后推出，再證明平面，得到，推出平面，最后可證明.（2）用等體積法求點到面的距離，先求出，得到，再由，得到，最后由體積相等解出即可.【小問1詳解】證明：連接，因為底面和側(cè)面均為正方形，所以四邊形為菱形，則．由底面和側(cè)面均為正方形，得，．因為，所以平面．又平面，所以．因為，所以平面．又平面，所以．【小問2詳解】因為，，所以．又平面，所以．，， 則．設點到平面的距離為，則，則，解得，即點到平面的距離為．20.已知函數(shù)．（1）若，當時，證明：．（2）若，證明：恰有一個零點．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求導可得，即可得到在上單調(diào)遞增，再由，即可證明；（2）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求導可得，即在上單調(diào)遞增，再結(jié)合，即可證明.【小問1詳解】證明：因為，所以，．當時，，則在上單調(diào)遞增，所以當時，．【小問2詳解】．令，則． 令，則．當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則在上單調(diào)遞增．因為，所以恰有一個零點，則恰有一個零點．21.已知橢圓的離心率為，且橢圓的短軸長為．（1）求橢圓的方程．（2）設是橢圓上第一象限內(nèi)的一點，是橢圓的左頂點，是橢圓的上頂點，直線與軸相交于點，直線與軸相交于點．記的面積為，的面積為．證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關于的方程，代入計算，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分別表示出點的坐標，從而表示出，然后結(jié)合橢圓的方程，代入計算，即可證明.【小問1詳解】由題可知，，解得，故橢圓的方程為．【小問2詳解】 證明：設，則直線的方程為，令，得．直線的方程為，令，得．，，．由，得，則．故為定值．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與相交于，兩點．（1）求曲線的普通方程；（2）設，證明：為定值． 【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）把平方后相加即可；（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，化簡后，利用韋達定理得到，再利用參數(shù)的幾何意義即可證明.【小問1詳解】由得則，即曲線的普通方程為．【小問2詳解】證明：將的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，得，整理得，則．，則為定值，證畢．[選修4-5：不等式選講]23.已知正實數(shù)，，滿足．（1）若，證明：．（2）求的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）3 【解析】【分析】（1）由基本不等式和乘“”法證明即可；（2）由基本不等式變形求解即可【小問1詳解】證明：由，得，則，當且僅當時，等號成立，證畢．【小問2詳解】因為，，，當且僅當時，等號成立，