四川省2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期診斷性考試數(shù)學(xué)(理)Word版含解析.docx

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四川省2021級(jí)高中畢業(yè)班診斷性檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后,僅將答題卡交回.一、選擇題:本題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)i為虛數(shù)單位,若,則()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的意義、復(fù)數(shù)乘法計(jì)算即得.【詳解】復(fù)數(shù),則.故選:A2.設(shè)集合,,則()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】改寫集合,利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)椋?,因?yàn)榕c的最小公倍數(shù)為,故. 故選:C.3.下圖是2023年11月中國(guó)的10個(gè)城市地鐵運(yùn)營(yíng)里程(單位:公里)及運(yùn)營(yíng)線路條數(shù)的統(tǒng)計(jì)圖,下列判斷正確的是()A.這10個(gè)城市中北京的地鐵運(yùn)營(yíng)里程最長(zhǎng)且運(yùn)營(yíng)線路條數(shù)最多B.這10個(gè)城市地鐵運(yùn)營(yíng)里程的中位數(shù)是516公里C.這10個(gè)城市地鐵運(yùn)營(yíng)線路條數(shù)的平均數(shù)為15.4D.這10城市地鐵運(yùn)營(yíng)線路條數(shù)的極差是12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的條形圖,逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】對(duì)于A,北京的地鐵運(yùn)營(yíng)線路條數(shù)最多,而運(yùn)營(yíng)里程最長(zhǎng)的是上海,A錯(cuò)誤;于是B,地鐵運(yùn)營(yíng)里程的中位數(shù)是公里,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,地鐵運(yùn)營(yíng)線路條數(shù)的平均數(shù)為,C正確;對(duì)于D,地鐵運(yùn)營(yíng)線路條數(shù)的極差是,D錯(cuò)誤.故選:C4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的y是()A.3B.6C.8D.10 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的程序框圖,依次代入計(jì)算判斷得解.【詳解】當(dāng)時(shí),不成立,執(zhí)行否,則,不成立,執(zhí)行否,則,不成立,執(zhí)行否,則,成立,執(zhí)行是,輸出,結(jié)束程序.故選:A5.已知向量、、滿足,,且,則()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值,再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)?,,且,則,可得,所以,,故.故選:B.6.雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別是,,已知到雙曲線H的一條漸近線的距離為,則為()A.4B.C.6D.8【答案】D【解析】【分析】求出雙曲線的漸近線方程,再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即得. 【詳解】雙曲線的漸近線方程為:,令,,于是,,所以故選:D7.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列滿足,,則()A.6B.12C.24D.48【答案】D【解析】【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比,由給定等式列出方程組求解.【詳解】設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為,由,得,整理得,解得,所以.故選:D8.設(shè),,,其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算,對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較即得.【詳解】顯然,又,則,即,,所以.故選:B9.函數(shù)的圖象為曲線C,斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn),則“”是“l(fā)是C的切線”的() A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出曲線C過點(diǎn)的切線的斜率,再利用充分條件、必要條件的定義判斷得解.【詳解】設(shè)直線l與曲線C相切的切點(diǎn)為,由,求導(dǎo)得,則,直線l方程為,而直線l經(jīng)過點(diǎn),因此,解得或,則或,顯然點(diǎn)在曲線C上,曲線C在點(diǎn)處切線的斜率,切線方程為,因此經(jīng)過點(diǎn)且斜率的直線l是曲線C的一條切線,所以“”是“l(fā)是C的切線”的充分不必要條件.故選:A10.如圖所示,在棱長(zhǎng)為2的正方體中,直線平面,是的中點(diǎn),是線段上的動(dòng)點(diǎn),則直線與側(cè)面的交點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),保證四點(diǎn)共面,從而得到向量與平面的法向量垂直,進(jìn)而分析得出的方程表示的軌跡是什么,求解即可.【詳解】分別以所在直線為軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系;其中點(diǎn),, 由于直線平面,設(shè),如圖所示:在矩形中,易得,可得:,可得點(diǎn)滿足,從而,設(shè)平面的法向量為,且,,可得,即,不妨取,由于直線與側(cè)面的交點(diǎn),設(shè)點(diǎn),可得四點(diǎn)共面,且,顯然,得方程,顯然方程在平面內(nèi)表示一條直線,當(dāng)時(shí),點(diǎn),此時(shí)兩點(diǎn)重合,當(dāng)時(shí),,點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,此時(shí)兩點(diǎn)重合,從而可得直線與側(cè)面的交點(diǎn)的軌跡為線段,且,故選:A. 11.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,且在區(qū)間上恰好有一個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù),再利用正弦函數(shù)圖象、性質(zhì)求解即得.【詳解】依題意,,由,得,則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是,顯然,于且,解得,當(dāng)時(shí),,由在區(qū)間上恰好有一個(gè)零點(diǎn),得,解得,所以的取值范圍是.故選:D12.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),過A,B分別向拋物線C的準(zhǔn)線作垂線,垂足為,.若直線,的斜率之積為,則的面積的最小值為()A.1B.C.2D.4【答案】C【解析】【分析】設(shè)出直線的方程,與拋物線方程聯(lián)立,結(jié)合已知求出直線所過定點(diǎn),再求出三角形面積最小值. 【詳解】顯然直線不垂直于y軸,設(shè)直線的方程為,,由消去x得:,則,,而拋物線的準(zhǔn)線方程為,,依題意,,因此,解得,即直線:恒過定點(diǎn),,于是的面積,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以的面積的最小值為2.故選:C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:圓錐曲線中的最值問題,往往需要利用韋達(dá)定理構(gòu)建目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,自變量可以斜率或點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等.而目標(biāo)函數(shù)的最值可以通過二次函數(shù)或基本不等式或?qū)?shù)等求得.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式分析求解.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為,令,得,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:.14.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 __________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件,結(jié)合變形等式,再構(gòu)造常數(shù)列求出通項(xiàng).【詳解】數(shù)列中,,當(dāng)時(shí),,兩式相減得,即,則有,因此數(shù)列是常數(shù)列,則,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為:15.已知,則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,將所求不等式變形為,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式,解之即可.【詳解】因?yàn)?,該函?shù)的定義域?yàn)?,,故函?shù)為奇函數(shù),因?yàn)閷?duì)任意的恒成立,所以,函數(shù)在上為減函數(shù),由可得,所以,,解得,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.16.已知正三棱柱的側(cè)面積為.當(dāng)這個(gè)正三棱柱的所有棱長(zhǎng)之和最小時(shí),它的外接球的表面積為__________.【答案】##【解析】 【分析】根據(jù)正三棱柱的側(cè)面積可以建立底面邊長(zhǎng)和高的數(shù)量關(guān)系,利用基本不等式求出正三棱柱的所有棱長(zhǎng)之和最小時(shí)的和,再利用正三棱柱的對(duì)稱性找到外接球球心,借助于直角三角形即可求得.【詳解】如圖,正三棱柱中,設(shè)底面邊長(zhǎng)為,高為,依題意知,即,而正三棱柱的所有棱長(zhǎng)之和為,由基本不等式可得:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).由解得:.設(shè)上下底面的中心分別為,則由正三棱柱的對(duì)稱性知它的外接球的球心為的中點(diǎn),設(shè)外接球半徑為R,連接,則易得,在中,,故外接球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:解決此類問題的思路即是根據(jù)側(cè)面積找到底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系,借助于基本不等式使所有棱長(zhǎng)之和最小時(shí)求得兩個(gè)量,再利用正三棱柱的對(duì)稱性找到外接球球心計(jì)算即得.三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分.17.某校服生產(chǎn)企業(yè)為了使設(shè)計(jì)所用的數(shù)據(jù)更精準(zhǔn),隨機(jī)地抽取了6位高中男生的身高和臂展的數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)如下表所示:身高167173174176182184臂展160165173170170182 (1)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r(精確到0.01)并說明可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系:(若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合.)(2)建立y關(guān)于x的線性回歸方程,并以此估計(jì)男裝上裝XL號(hào)(加大號(hào),對(duì)應(yīng)身高)對(duì)應(yīng)的臂展數(shù)據(jù).(結(jié)果中精確到0.1.參考數(shù)據(jù):,.)相關(guān)系數(shù)公式:,回歸方程中,,.【答案】(1),可用線性回歸模型擬合y與x關(guān)系;(2),臂展數(shù)據(jù)為.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定表格中數(shù)據(jù)計(jì)算,再比較回答.(2)利用最小二乘法公式求出回歸直線方程,并估計(jì)臂展數(shù)據(jù).【小問1詳解】依題意,,,,,,所以相關(guān)系數(shù),顯然,所以線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系. 【小問2詳解】由(1)知,,所以y關(guān)于x的線性回歸方程,當(dāng)時(shí),,所以估計(jì)男裝上裝XL號(hào)對(duì)應(yīng)的臂展數(shù)據(jù)為.18.設(shè)的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,面積為,且__________.在①平面向量,,且;②;③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面的橫線上,并回答下列問題.(1)求的值;(2)若的外接圓的直徑為,求的周長(zhǎng).【答案】(1)8;(2).【解析】【分析】(1)選擇條件①,利用向量共線的坐標(biāo)表示及正弦定理求出,再利用三角形面積公式及向量數(shù)量積的定義計(jì)算即得;選擇條件②,利用正弦定理及和角的正弦公式求出,再利用三角形面積公式及向量數(shù)量積的定義計(jì)算即得;選擇條件③,利用余弦定理求出,再利用三角形面積公式及向量數(shù)量積的定義計(jì)算即得.(2)利用(1)的結(jié)論,利用余弦定理求出即可.【小問1詳解】選擇條件①,向量,,且,則,在中,由正弦定理得,則,而,從而,由的面積為,得,解得,所以.選擇條件②,,整理得,由正弦定理得, 而,,于是,而,從而,由的面積為,得,解得,所以.選擇條件③,,整理得,由余弦定理得,而,從而,由的面積為,得,解得,所以.【小問2詳解】由的外接圓的直徑為及正弦定理,得,由余弦定理得,即,解得,所以的周長(zhǎng)為.19.在邊長(zhǎng)為4的菱形中,,E是AD的中點(diǎn),現(xiàn)將沿EB進(jìn)行翻折至的位置,如圖所示,F(xiàn)是CP的中點(diǎn).(1)線段CD上是否存在一點(diǎn)H,使得.若存在,指出點(diǎn)H的位置,并證明;若不存在,請(qǐng)說明理由;(2)當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí),求二面角的正弦值.【答案】(1)存在,為的中點(diǎn);(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件,利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得. (2)由的面積最大時(shí)可得,再建立空間直角坐標(biāo)系,利用面面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】連接,在邊長(zhǎng)為4的菱形中,,則是正三角形,由E是AD的中點(diǎn),得,,而,則,即,而平面,于是平面,又平面,則,由于F是CP的中點(diǎn),則當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),,必有,所以點(diǎn)H為線段CD的中點(diǎn)時(shí),.【小問2詳解】顯然的面積,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),因此當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí),,由(1)知,直線兩兩垂直,以點(diǎn)為原點(diǎn),直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,設(shè)平面的一個(gè)法向量,則,令,得,設(shè)平面的一個(gè)法向量,則,令,得,于是,所以二面角的正弦值為.20.設(shè).(1)討論的單調(diào)性; (2)若對(duì)任意的,關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】【分析】(1)分、兩種情況討論,分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化,由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),求出函數(shù)的值域?yàn)?,?gòu)造函數(shù),其中,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值,可得出,數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解:函數(shù)的定義域?yàn)椋?,?dāng)時(shí),對(duì)任意的,,此時(shí),函數(shù)的增區(qū)間為,無減區(qū)間;當(dāng)時(shí),由可得,由可得,由可得,此時(shí),函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為.綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)的增區(qū)間為,無減區(qū)間;當(dāng)時(shí),函數(shù)減區(qū)間為,增區(qū)間為.【小問2詳解】解:由(1)可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為.所以,,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.此時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?,令,其中,則,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,所以,,所以,對(duì)任意的,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,如下圖所示:對(duì)任意的,關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法:(1)直接法:先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值,根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象,然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題,突出導(dǎo)數(shù)的工具作用,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用;(2)構(gòu)造新函數(shù)法:將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題;(3)參變量分離法:由分離變量得出,將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.21.已知坐標(biāo)原點(diǎn)為,橢圓的上頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,且,.(1)求橢圓的方程;(2)過作互相垂直的兩條直線分別交于、兩點(diǎn),求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用已知條件求出、的值,可得出的值,由此可得出橢圓的方程;(2)分析可知,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為 ,將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,由可求出的值,然后利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【小問1詳解】解:易知點(diǎn)、,則,,,則,故,因此,橢圓的方程為.【小問2詳解】解:設(shè)點(diǎn)、,若軸,則、關(guān)于軸對(duì)稱,即點(diǎn),,不合乎題意,所以,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立可得,,由韋達(dá)定理可得,,因?yàn)椋?,同理可得,?因?yàn)橹本€不過點(diǎn),則,整理可得,解得,滿足,所以,,,則,因?yàn)?,令,則,因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),取最大值,且其最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種:一是幾何法,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值;二是代數(shù)法,常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題,然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.(二)選考題:共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)將的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn),求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)寫出直線的參數(shù)方程,將直線的參數(shù)方程代入曲線 的直角坐標(biāo)方程,列出韋達(dá)定理,利用的幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理可求得的取值范圍.【小問1詳解】解:由可得,所以,曲線的直角坐標(biāo)方程為.【小問2詳解】解:設(shè)直線的傾斜角為,其中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè)點(diǎn)、在直線上對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、,將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程可得,,由韋達(dá)定理可得,,所以,.[選修4—5:不等式選講]23.設(shè).(1)解不等式;(2)若,證明:.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)分、、三種情況解不等式,綜合可得出原不等式的解集;(2)分析函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值,利用柯西不等式求出的最大值,即可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】解:當(dāng)時(shí),,解得,此時(shí),;當(dāng)時(shí),,解得,此時(shí),;當(dāng)時(shí),,解得,此時(shí),. 綜上所述,不等式的解集為.【小問2詳解】解:由(1)可知,,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在、上為增函數(shù),又因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù),故函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為,所以,,因?yàn)?,由柯西不等式可得,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),即當(dāng)或時(shí),等號(hào)成立,

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