重慶沙坪壩區(qū)重慶市第一中學(xué)2020屆高三下學(xué)期4月月考文科數(shù)學(xué)試題 Word版含解析.docx

《重慶沙坪壩區(qū)重慶市第一中學(xué)2020屆高三下學(xué)期4月月考文科數(shù)學(xué)試題 Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

2019~2020學(xué)年4月重慶沙坪壩區(qū)重慶市第一中學(xué)高三下學(xué)期月考文科數(shù)學(xué)試卷（滿分：150分）一、選擇題（共十二題：共60分）1.已知集合，，則A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】由題意得：，∴故選C2.若，則A.B.C.D.【答案】D【解析】【詳解】∵∴故選D3.函數(shù)的圖象大致為A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性，當(dāng)時函數(shù)值的正負(fù)，以及當(dāng)時，，利用排除法可得出函數(shù)的圖象.【詳解】函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，，該函數(shù)為奇函數(shù)，排除A選項；當(dāng)時，，此時，，排除D選項；當(dāng)時，，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于，此時，，排除C選項.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別，一般結(jié)合函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號來進行判斷，考查推理能力，屬于中等題.4.已知向量滿足，，則A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】【詳解】分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果.詳解：因為所以選B.點睛：向量加減乘： 5.已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是A.(–13)B.(–1,)C.(0,3)D.(0,)【答案】A【解析】【詳解】由題意知：雙曲線的焦點在軸上，所以，解得，因為方程表示雙曲線，所以，解得，所以的取值范圍是，故選A．【考點】雙曲線的性質(zhì)【名師點睛】雙曲線知識一般作為客觀題出現(xiàn),主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.注意雙曲線的焦距是2c而不是c,這一點易出錯.6.如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是A.17πB.18πC.20πD.28π【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由三視圖知，該幾何體的直觀圖如圖所示：是一個球被切掉左上角的,即該幾何體是個球，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以它的表面積是的球面面積和三個扇形面積之和,即 ，故選A．【考點】三視圖及球的表面積與體積【名師點睛】由于三視圖能有效地考查學(xué)生的空間想象能力,所以以三視圖為載體的立體幾何題基本上是高考每年必考內(nèi)容,高考試題中三視圖一般與幾何體的表面積與體積相結(jié)合.由三視圖還原出原幾何體是解決此類問題的關(guān)鍵.7.在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為的球，若，，，，則的最大值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先保證截面圓與內(nèi)切，記圓的半徑為，由等面積法得，解得．由于三棱柱高為，此時可以保證球在三棱柱內(nèi)部，球的最大半徑為，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，由題意可知，球的體積要盡可能大時，球需與三棱柱內(nèi)切．先保證截面圓與內(nèi)切，記圓的半徑為，則由等面積法得，所以，又因為，，所以，所以．由于三棱柱高為，此時可以保證球在三棱柱內(nèi)部，若增大，則無法保證球在三棱柱內(nèi)，故球的最大半徑為，所以．故選：．【點評】本題考查球的最大體積的求法，考查空間想象能力，屬于中檔題.8.在中，，，且的面積為，則 A.1B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)三角形的面積求出AB，再利用余弦定理求BC得解.【詳解】由題得.由余弦定理得所以BC=2.故選C【點睛】本題主要考查三角形的面積的應(yīng)用和余弦定理，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.9.設(shè)，若滿足約束條件，則的最大值的取值范圍為AB.C.D.【答案】C【解析】【詳解】作出可行域如下圖：目標(biāo)函數(shù)為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點時，，因為，所以，故選C.10.若點為拋物線上的動點，為拋物線的焦點，則的最小值為（）A.1B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根據(jù)拋物線上所有點中，頂點到焦點的距離最小即可解出．【詳解】由，得，∴，則，所以焦點，由拋物線上所有點中，頂點到焦點的距離最小，得的最小值為.故選：D．11.雙曲線：的離心率是，過右焦點作漸近線的垂線，垂足為，若的面積是1，則雙曲線的實軸長是AB.C.1D.2【答案】D【解析】【詳解】分析：利用點到直線的距離計算出，從而得到，再根據(jù)面積為1得到，最后結(jié)合離心率求得.詳解：因為，，所以，故即，由，所以即，故，雙曲線的實軸長為.故選D.點睛：在雙曲線中有一個基本事實：“焦點到漸近線的距離為虛半軸長”，利用這個結(jié)論可以解決焦點到漸進線的距離問題.12.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點為，，…，，則A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩函數(shù)的對稱中心均為（0，1）可知出＝0，＝m，從而得出結(jié)論．【詳解】解：函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（﹣x）＝2﹣f（x），即為f（x）+f（﹣x）＝2，可得f（x）關(guān)于點（0，1）對稱， 函數(shù)圖象關(guān)于點（0，1）對稱，即有（，）為交點，即有（﹣，2﹣）也為交點，（，）為交點，即有（﹣，2﹣）也為交點，…則有（+）+（+）+…+（+），=＝m．故選A．【點睛】本題考查抽象函數(shù)的運用：求和方法，考查函數(shù)的對稱性的運用，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．二、填空題（共四題：共20分）13.已知向量，，若，則______．【答案】-2【解析】【分析】利用平面向量共線定理即可得出．【詳解】解：∵∥，∴﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2．故答案為﹣2．【點睛】本題考查了向量共線定理、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.設(shè)，若，則______．【答案】【解析】【分析】首先求出的定義域，設(shè)，，說明為奇函數(shù)，由得出，代入即可得出答案．【詳解】因為，易知，所以的定義域為， 設(shè)，，因為，所以為奇函數(shù)，所以，即，所以，故答案為：．15.若橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為，則此橢圓的離心率為__________．【答案】【解析】【詳解】當(dāng)時，由橢圓定義知，解得，不符合題意，當(dāng)時，由橢圓定義知，解得，所以，故填.點睛：本題由于不知道橢圓的焦點位置，因此必須進行分類討論，分析橢圓中的取值，從而確定c,計算橢圓的離心率.16.已知函數(shù)，為的零點，為圖象的對稱軸，且在上單調(diào)，則的最大值為________.【答案】【解析】【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)及條件可求得ω的表達式，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)可知－＝≤＝，求得ω≤12，經(jīng)驗證ω＝11不滿足題意，ω＝9滿足條件，得解.【詳解】因為x＝－為f(x)的零點，x＝為f(x)的圖象的對稱軸，所以－＝＋，即＝T＝·(k∈Z)， 所以ω＝2k＋1(k∈Z)，又因為f(x)在上單調(diào)，所以－＝≤＝，解得ω≤12，ω＝11時f(x)＝sin在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不成立，ω＝9時滿足條件，由此得ω的最大值為9.故答案為：9三、解答題（共五題：共50分）17.設(shè)數(shù)列的前項和是，且是等差數(shù)列，已知，.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【解析】【詳解】試題分析：(1)利用等差數(shù)列基本公式求出公差得到的通項公式；（2），利用裂項相消法求出數(shù)列的前項和.試題解析：（1）記，∴，又為等差數(shù)列，公差記為，，∴，得，∴，得時，，時也滿足.綜上（2）由（1）得∴，點睛：裂項抵消法是一種常見的求和方法，其適用題型主要有： （1）已知數(shù)列的通項公式為，求前項和：；（2）已知數(shù)列的通項公式為，求前項和：；（3）已知數(shù)列的通項公式為，求前項和:.18.為了解人們對于國家新頒布的“生育二胎放開”政策的熱度，現(xiàn)在某市進行調(diào)查，隨機調(diào)查了人，他們年齡的頻數(shù)分布及支持“生育二胎”人數(shù)如下表：年齡頻數(shù)支持“生二胎”（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面列聯(lián)表，并問是否有的把握認(rèn)為以歲為分界點對“生育二胎放開”政策的支持度有差異；年齡不低于歲的人數(shù)年齡低于歲的人數(shù)合計支持不支持合計（2）若對年齡在的被調(diào)查人中隨機選取兩人進行調(diào)查，恰好這兩人都支持“生育二胎放開”的概率是多少？參考數(shù)據(jù)：，，.【答案】（1）沒有，理由見解析；（2）.【解析】【分析】 （1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，利用參考數(shù)據(jù)即可對題中的結(jié)論進行判斷；（2）將所選人中支持“生育二胎放開”的人記為、、、，不支持“生育二胎放開”的人記為，利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“所抽取的兩人都支持“生育二胎放開””所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可計算出結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，列聯(lián)表如下：年齡不低于歲的人數(shù)年齡低于歲的人數(shù)合計支持不支持合計，因此，沒有的把握認(rèn)為以歲為分界點對“生育二胎放開”政策的支持度有差異；（2）由題意可知，年齡在的有人，其中支持“生育二胎放開”的有人，分別記為、、、，不支持“生育二胎放開”的人記為，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共種.事件“所抽取的兩人都支持“生育二胎放開””包含的基本事件有：、、、、、，共種，由古典概型的概率公式可知，所抽取的兩人都支持“生育二胎放開”的概率為.【點睛】本題考查獨立性檢驗基本思想的應(yīng)用，同時也考查了利用古典概型的概率公式計算事件的概率，一般利用列舉法列舉出所有的基本事件，遵循不重不漏的原則，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，四邊形是邊長為2的菱形，，，，E，F(xiàn)分別為AC，的中點． （1）求證：直線EF∥平面；（2）設(shè)分別在側(cè)棱，上，且，求平面BPQ分棱柱所成兩部分的體積比．【答案】（1）見解析（2）（或者）【解析】【分析】（1）取A1C1的中點G，連接EG，F(xiàn)G，證明FG∥A1B1．推出FG∥平面ABB1A1．同理證明EG∥平面ABB1A1，從而平面EFG∥平面然后證明直線EF∥平面ABB1A1；（2）證明BE⊥AC．推出BE⊥平面ACC1A1．求出四棱錐B﹣APQC的體積，棱柱ABC﹣A1B1C1的體積，即可得到面BPQ分棱柱所成兩部分的體積比．【詳解】（1）取的中點G，連接EG，F(xiàn)G，由于E，F(xiàn)分別為AC，的中點，所以FG∥．又平面，平面，所以FG∥平面．又AE∥且AE＝，所以四邊形是平行四邊形．則∥．又平面，平面，所以EG∥平面． 所以平面EFG∥平面．又平面，所以直線EF∥平面．（2）四邊形APQC是梯形，其面積．由于，E分別為AC的中點.所以．因為側(cè)面底面，所以平面．即BE是四棱錐的高，可得．所以四棱錐的體積為．棱柱的體積．所以平面BPQ分棱柱所成兩部分的體積比為（或者）．【點睛】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．20.已知橢圓的右焦點為F，P是橢圓C上一點，軸，.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l與橢圓C交于A、B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標(biāo)原點，且，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）由題意寫P點坐標(biāo)和b，代入方程解得a值，即得方程；（2）先計算斜率不存在時的面積，再設(shè)斜率存在是直線的方程并聯(lián)立方程得到韋達定理，求弦長與點到直線的距離，即可計算面積，換元，求其最大值即可. 【詳解】（1）由題知，點，，則有，又，解得，，故橢圓C的方程為.（2）當(dāng)軸時，M位于x軸上，且，由可得，此時.當(dāng)AB不垂直x軸時，設(shè)直線AB方程為，與橢圓交于，，由，得，，從而，已知，可得.設(shè)O到直線AB的距離為d，則，.將代入化簡得.令，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時的面積最大， 故面積的最大值為2.【點睛】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與橢圓的綜合應(yīng)用即三角形面積最大值的求法，屬于難題.21.已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時，，求的取值范圍.【答案】（1）見解析;（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再討論符號，根據(jù)符號確定對應(yīng)單調(diào)性，（2）由于，所以1得右側(cè)附近函數(shù)單調(diào)遞增，再結(jié)合（1）可得且，即得的取值范圍.試題解析：解：（1），當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，令，得；令，得.∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時，令，得；令，得.∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，∴，不合題意.當(dāng)時，，不合題意.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，∴，故滿足題意.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，故不滿足題意.綜上，的取值范圍為. 點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.四、選做題（共二題：共20分）22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為.以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的直角坐標(biāo)方程；（2）若與有且僅有三個公共點，求的方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，將代換，即可解出；（2）方法一：依題可知曲線是圓心為，半徑為的圓，是過點且關(guān)于軸對稱的兩條射線，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，以及直線與圓的位置關(guān)系，即可解出.【詳解】（1）由，，，代入得，，即的直角坐標(biāo)方程為．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】分類討論由（1）知是圓心為，半徑為的圓．而是過點且關(guān)于軸對稱的兩條射線．記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個公共點等價于與只有一個公共點且與有兩個公共點，或與只有一個公共點且與有兩個公共點．當(dāng)與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或．經(jīng)檢驗，當(dāng)時，與沒有公共點；當(dāng)時，與只有一個公共點，與有兩個公共點． 當(dāng)與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或．經(jīng)檢驗，當(dāng)時，與沒有公共點；當(dāng)時，與沒有公共點．綜上，所求的方程為．［方法二］：解方程組法聯(lián)立，化簡可得，，當(dāng)時，，因為與有且僅有三個公共點，所以該方程必然有實根，而，設(shè)方程的兩實根為，由可知，方程有兩個相異或相等正根．當(dāng)時，，因為與有且僅有三個公共點，所以該方程必然有實根，而，設(shè)方程的兩實根為，由可知，方程有兩個相異或相等負(fù)根．當(dāng)方程組有兩個相異正根，兩相等負(fù)根時，，解得：；當(dāng)方程組有兩個相等正根，兩相異負(fù)根時，，解得：．綜上，所求的方程為．【整體點評】（2）方法一：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系分類討論求出，是本題的最優(yōu)解；方法二：根據(jù)圖象的交點個數(shù)與方程個數(shù)之間的關(guān)系求解，是利用代數(shù)方法解決幾何問題的基本方式，對運算能力有一定要求． 23.選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，M為不等式的解集.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）證明：當(dāng)a，b時，.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】【詳解】試題分析：（I）先去掉絕對值，再分，和三種情況解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再進行因式分解，進而可證當(dāng)，時，．試題解析：（I）當(dāng)時，由得解得；當(dāng)時，；當(dāng)時，由得解得.所以的解集.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時，，從而，因此【考點】絕對值不等式，不等式的證明.【名師點睛】形如（或）型的不等式主要有兩種解法：（1）分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)的方程的根，將數(shù)軸分為，，（此處設(shè)）三個部分，在每個部分去掉絕對值號并分別列出對應(yīng)的不等式進行求解，然后取各個不等式解集的并集．（2）圖象法：作出函數(shù)和圖象，結(jié)合圖象求解．