河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，第二冊(cè)。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知函數(shù)，則（）A．3B．6C．D．2．已知直線(xiàn)與垂直，則（）A．2B．C．1D．3．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，且C與橢圓有公共的焦點(diǎn)，則C的方程為（）A．B．C．D．4．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，，則（）A．4B．1C．3D．5．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線(xiàn)OA，OB，點(diǎn)A，B（異于點(diǎn)O）均在圓上，則面積的最大值為（）A．26B．C．13D．6．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，N是拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，的面積為（）A．B．5C．D．127．設(shè)，，，則（） A．B．C．D．8．已知點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q落在圓上，則A．1B．C．D．0二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要．求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，，則（）A．B．．C．與的等比中項(xiàng)為4D．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列10．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為正方形，且，則（）A．B．直線(xiàn)BD與平面PCD所成的角為C．二面角的大小為D．四棱錐的外接球的表面積為11．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，，則的取值可能為（）A．2B．3C．4D．5三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量，，若，則______．13．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則______．14．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且斜率大于0的直線(xiàn)l與C相交于A，B兩點(diǎn)．若內(nèi)切圓的半徑為，則l的斜率為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 15．（13分）已知函數(shù)在處取得極大值5．（1）求a，b的值；（2）求與直線(xiàn)垂直，并與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)的方程．16．（15分）數(shù)列滿(mǎn)足，．（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，，，，，且．（1）證明：．（2）若，求直線(xiàn)PA與平面PBD所成角的正弦值．18．（17分）已知，函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求a的取值范圍．19．（17分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，C為M上一動(dòng)點(diǎn)，且C異于A，B兩點(diǎn)．（1）求M的離心率；（2）若的重心為A，點(diǎn)，求的最小值；（3）若的垂心為A，求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程． 2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)參考答案1．D因?yàn)?，所以，則．2．B因?yàn)?，所以，解得?．A由題可知，解得，故C的方程為．4．A因?yàn)?，，所以，，，，，，…，所以是?為周期的周期數(shù)列，則．5．C由題可知，圓C的半徑為，O在圓C上，因?yàn)椋訟B是圓C的一條直徑．當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，且最大值為．6．C當(dāng)MN與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)垂直時(shí)，取得最小值，此時(shí)，則的面積為．7．C設(shè)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，又，，所以．8．A由題可知，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以，則Q在圓上．聯(lián)立方程組 解得，則．9．BD因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，所以．由，解得或（舍去），則數(shù)列的公比，，，則，與的等比中項(xiàng)為．因?yàn)?，所以?shù)列是公差為的等差數(shù)列．故選BD．10．ABD以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（圖略），則，，，，，，，所以．A正確．，設(shè)平面PCD的法向量為，則令，得，，故直線(xiàn)BD與平面PCD所成的角為．B正確．，設(shè)平面BCP的法向量為，則，令，得，，由圖可知，二面角B-PC-D的大小為鈍角，則二面角B-PC-D的大小為．C不正確．由題可知，四棱錐P-ABCD的外接球的半徑，故四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為．D正確．11．CD令函數(shù)，則所以單調(diào)遞增，則，即，解得， 所以，，所以選CD．12．因?yàn)椋?，所以?3．26設(shè)的公差為d，由，可得，則，則．14．設(shè)，，，內(nèi)切圓的半徑為r，則．聯(lián)立方程組，整理得，則，則由，得，解得或（舍去）．又l的斜率大于0，所以，l的斜率為．15．解：（1）由，得．因?yàn)樵谔幦〉脴O大值5，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)時(shí)，在處取得極大值5，故．（2）由（1）可知，，因?yàn)榍芯€(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以切線(xiàn)的斜率為．設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，解得，則，所以所求切線(xiàn)的方程為，即． 16．解：（1）因?yàn)?，所以．又，所以是?為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則，所以．（2）由（1）可知，，則，令，則，則，所以令，則．17．（1）證明：如圖，連接EF交AC于點(diǎn)O，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)G，因?yàn)?，，所以，且．又底面ABCD為菱形，所以，所以．因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以O(shè)為EF的中點(diǎn)，則，，連接PO，從而，即，則．因?yàn)?，所以平面PEF．因?yàn)槠矫鍼EF，所以．（2）解：由（1）知，平面PEF，因?yàn)槠矫鍼EF，所以． 又，，所以PE⊥平面ABCD，所以，則．如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EF所在直線(xiàn)為x軸，AC的平行線(xiàn)為y軸，EP所在直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面PBD法向量為，則由得，令，得．，故直線(xiàn)PA與平面PBD所成角的正弦值為．13．解：（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由，可得，即，，令，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，由，可得，則，即．設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以， 所以，因此a的取值范圍為．19．解：（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以M的離心率．（2）易知．設(shè)，．因?yàn)榈闹匦臑锳，所以解得．因?yàn)?，所以即．因?yàn)辄c(diǎn)C異于A，B兩點(diǎn)，所以，且，所以T的軌跡不含，兩點(diǎn)．故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，（3）因?yàn)锳為的垂心，所以，．設(shè)，．當(dāng)直線(xiàn)BC或AC的斜率為0時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為或，點(diǎn)T與點(diǎn)C重合．當(dāng)直線(xiàn)BC或AC的斜率不為0時(shí)，直線(xiàn)AT與BT的斜率存在，則，，由（2）知，則，則．因?yàn)?，所以，，，則，得，則．因?yàn)椋?，都在曲線(xiàn)上，所以動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程為（挖去，，這三點(diǎn)）．