江蘇省鎮(zhèn)江市六校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘試卷總分150分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共計(jì)40分）.1.有5名學(xué)生報(bào)名參加3項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為（????）A．60B．125C．243D．1202.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的（????）A．B．C．D．3.某高中學(xué)校學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示.為了解該學(xué)校學(xué)生近視形成原因，在近視的學(xué)生中按年級(jí)用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，已知抽取到的高中一年級(jí)的學(xué)生36人，則抽取到的高三學(xué)生數(shù)為（????）A．32B．45C．64D．904.若二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為243，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（???）A．40B．60C．80D．1605.用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（????）A．40個(gè)B．42個(gè)C．48個(gè)D．52個(gè)6.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?duì)任意，，則不等式的解集是（）A．B．C．D．7.(x2－x＋1)5的展開式中x3的系數(shù)為（????）A．－20B．－24C．－30D．208.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式恒成立，則t的取值范圍為（????） A．B．C．D．h50．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.漏選得部分分，錯(cuò)選不得分）.1.隨機(jī)抽取6位影迷對(duì)電影《長津湖》的評(píng)分，得到一組樣本數(shù)據(jù)如下：，則下列關(guān)于該樣本的說法中正確的有（????）A．均值為95B．極差為6C．方差為26D．第80百分位數(shù)為972.在以下結(jié)論中正確的是（????）．A．B．C．不能被100整除D．已知，則3.下列說法正確的是（????）A．從含有2件次品和98件正品的100件產(chǎn)品中任取2件，則至少取到1件次品的取法有種B．甲乙等6名同學(xué)和1名老師站成一排照相，則老師必須站在最中間且甲乙必須站在一起的站法有192種C．將10個(gè)“三好生”名額分給4個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)名額，共有84種分法D．將5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，共有150種放法三．填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）.4.的展開式中x3y3的系數(shù)為.5.將5名實(shí)習(xí)教師全部分配到某校高二年級(jí)的甲、乙、丙3個(gè)班級(jí)實(shí)習(xí)，要求每個(gè)班至少一名，最多兩名，其中不去甲班，則不同的分配方案有種（用數(shù)字作答）.6.若曲線有三條過點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四．解答題（本大題共5小題，共計(jì)77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.7.（13分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 1.（15分）3名女生和5名男生排成一排．（最終答案化為數(shù)字?。?1)如果女生全排在一起，有多少種不同排法?(2)如果女生都不相鄰，有多少種排法?(3)如果女生不站兩端，有多少種排法?(4)其中甲必須排在乙前面（可不相鄰），有多少種排法?(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少種排法?2.（15分）已知，二項(xiàng)式.(1)若該二項(xiàng)展開式的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求展開式中的系數(shù)；(2)若展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng). 1.（17分）已知:（,n為常數(shù)）．（1）求|a0|+|a1|+|a2|+...+|an|；（2）我們知道二項(xiàng)式的展開式．若該等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：n(1+x)n?1=,令x=1，可得Cn1+2Cn2+3Cn3???+nCnn=．利用此方法解答以下問題：①求；②求．2.（17分）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對(duì)任意的，有． 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)3月月考試卷考試時(shí)間：120分鐘試卷總分150分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共計(jì)40分）.1.有5名學(xué)生報(bào)名參加3項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為（????）A．60B．125C．243D．120【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得正確答案.【詳解】每名學(xué)生都有種選擇方法，所以不同的報(bào)名方法的種數(shù)為.故選：C2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的（????）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)基本函數(shù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行判斷.【詳解】，A錯(cuò)誤；，B正確；，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤.故選：B3.某高中學(xué)校學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示.為了解該學(xué)校學(xué)生近視形成原因，在近視的學(xué)生中按年級(jí)用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，已知抽取到的高中一年級(jí)的學(xué)生36人，則抽取到的高三學(xué)生數(shù)為（????）A．32B．45C．64D．90【答案】D【分析】根據(jù)近視率求出三個(gè)年級(jí)的近視的人數(shù)，結(jié)合抽樣比例可得答案. 【詳解】近視的學(xué)生中，高一、高二、高三學(xué)生數(shù)分別為180人，320人，450人，由于抽取到的高一學(xué)生36人，則抽取到的近視學(xué)生中高三人數(shù)為90人.故選：D.1.若二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為243，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（????）A．40B．60C．80D．160【答案】A【分析】根據(jù)題意，令可得，再由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，即可得到結(jié)果.【詳解】令，可得，則，所以的展開式的通項(xiàng)為，令，可得.所以展開式中項(xiàng)的系數(shù)為40.故選：A2.用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（????）A．40個(gè)B．42個(gè)C．48個(gè)D．52個(gè)【答案】D【分析】分最后一位分別為0，2，4三種情況求解即可.【詳解】當(dāng)最后一位是時(shí)，共有種情況；當(dāng)最后一位是時(shí)，共有種情況；當(dāng)最后一位時(shí)，共有種情況，所以共有個(gè).故選：D3.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?duì)任意，，則不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法結(jié)合條件，得到在上單調(diào)遞減,利用單調(diào)性可得答案. 【詳解】設(shè)，則所以在上單調(diào)遞減，又由，即，所以所以故選：A1.(x2－x＋1)5的展開式中x3的系數(shù)為（????）A．－20B．－24C．－30D．20【答案】C【分析】先將(x2－x＋1)5轉(zhuǎn)化為[1＋(x2－x)]5，則展開式的通項(xiàng)公式Tr＋1＝(x2－x)r，r＝0，1，2，3，4，5，再求得(x2－x)r展開式的通項(xiàng)公式得到(－1)k·x2r－k，r＝0，1，2，3，4，5，k＝0，1，…，r，然后令2r－k＝3求解.【詳解】.[1＋(x2－x)]5展開式的第r＋1項(xiàng)Tr＋1＝(x2－x)r，r＝0，1，2，3，4，5，Tr＋1展開式的第k＋1項(xiàng)為·(x2)r－k(－x)k＝(－1)k·x2r－k，r＝0，1，2，3，4，5，k＝0，1，…，r，當(dāng)2r－k＝3，即或時(shí)是含x3的項(xiàng)，所以含x3項(xiàng)的系數(shù)為(－1)＋(－1)3＝－20－10＝－30.故選：C2.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式恒成立，則t的取值范圍為（????）A．B．C．D．【答案】D【分析】先求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和極值點(diǎn)的關(guān)系求出及的范圍，然后代入，構(gòu)造函數(shù)求最值即可.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋?，又函?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)， 所以方程在上有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則，解得，又設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增加，因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，即恒成立，所?故選：D.h50．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.漏選得部分分，錯(cuò)選不得分）.1.隨機(jī)抽取6位影迷對(duì)電影《長津湖》的評(píng)分，得到一組樣本數(shù)據(jù)如下：，則下列關(guān)于該樣本的說法中正確的有（????）A．均值為95B．極差為6C．方差為26D．第80百分位數(shù)為97【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的均值、極差、方差以及第80百分位數(shù)的計(jì)算，分別判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】由題意得的平均值為，A正確；極差為，B正確；方差為，C錯(cuò)誤；由于，故第80百分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)，即97，D正確，故選：ABD2.在以下結(jié)論中正確的是（????）． A．B．C．不能被100整除D．已知，則【答案】BD【分析】計(jì)算出、可判斷A；計(jì)算出、可判斷B；由可判斷C；令得，令則可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，，錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，所以正確；對(duì)于C，，能被100整除，錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，令，則，令則，所以，正確.故選：BD.1.下列說法正確的是（????）A．從含有2件次品和98件正品的100件產(chǎn)品中任取2件，則至少取到1件次品的取法有種B．甲乙等6名同學(xué)和1名老師站成一排照相，則老師必須站在最中間且甲乙必須站在一起的站法有192種C．將10個(gè)“三好生”名額分給4個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)名額，共有84種分法D．將5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，共有150種放法【答案】BCD 【分析】選項(xiàng)A至少取到1件次品的取法分為兩類，抽1個(gè)次品1個(gè)正品和抽2個(gè)次品；選項(xiàng)B特殊位置優(yōu)先排，相鄰問題要捆綁處理；選項(xiàng)C相同元素分配問題，可用隔板法；選項(xiàng)D不同元素分配問題，先分組再分配.【詳解】選項(xiàng)A：從含有2件次品和98件正品的100件產(chǎn)品中任取2件，則至少取到1件次品的取法有種，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：甲乙等6名同學(xué)和1名老師站成一排照相，則老師必須站在最中間，故只需排6名學(xué)生，老師左右各三個(gè)位置，甲乙必須站在一起，將甲乙捆綁看作一個(gè)元素，若甲乙在老師左邊，則左邊還有1個(gè)位置可以在甲乙左側(cè)或右側(cè)，右邊有3個(gè)位置，若甲乙在老師右邊，則左邊還有1個(gè)位置可以在甲乙左側(cè)或右側(cè)，左邊有3個(gè)位置，共有種，故B正確；選項(xiàng)C：隔板法，可以把問題看做由3個(gè)隔板插入10個(gè)相同元素中的9個(gè)空里，把10個(gè)元素分為4份，故共有種，C正確；選項(xiàng)D：先分組，再排列，第一類，將5個(gè)不同的小球分為數(shù)量為3、1、1的三組，再排列，有種；第二類，將5個(gè)不同的小球分為數(shù)量為2、2、1的三組，再排列，有種共有種，故D正確.故選：BCD三．填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）.1.的展開式中x3y3的系數(shù)為【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為（且）所以的各項(xiàng)與展開式的通項(xiàng)的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為所以的系數(shù)為 1.將5名實(shí)習(xí)教師分配到某校高二年級(jí)的甲、乙、丙3個(gè)班級(jí)實(shí)習(xí)，要求每個(gè)班至少一名，最多兩名，其中不去甲班，則不同的分配方案有種（用數(shù)字作答）【詳解】根據(jù)題意，去甲班實(shí)習(xí)的教師可以是1人或2人.有1人去甲班時(shí)，因?yàn)椴蝗ゼ装?，可從另?人中選1人去甲班，有種選法，再選2人去乙班，有種選法，剩下2人去丙班，有種方法，這是分3步完成的，故有種方案；有2人去甲班時(shí)，因?yàn)椴蝗ゼ装?，可從另?人中選2人去甲班，有種選法，再剩余3人分配到2個(gè)班的分法有種方法，所以這類辦法有種.故不同的分配方案有:.2.若曲線有三條過點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【詳解】設(shè)該切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，所以切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，整理得.要使過點(diǎn)的切線有3條，需方程有3個(gè)不同的解，即函數(shù)圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，且極小值、極大值分別為，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，即過點(diǎn)的切線有3條.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 四．解答題（本大題共5小題，共計(jì)77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.1.（13分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，求導(dǎo)得，整理得：……………………………………………..1分由得；由得……………………………………………..3分從而，函數(shù)減區(qū)間為，增區(qū)間為……………………………………………..5分所以函數(shù)極小值為，無極大值.……………………………………………7分（2）由已知時(shí)，恒成立，即恒成立，即恒成立，則.…………………………………………….9分令函數(shù)，由知在單調(diào)遞增，從而…………………………..11分經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是常函數(shù)，所以a的取值范圍是..………………………..13分2.（15分）3名女生和5名男生排成一排．（最終答案化為數(shù)字！）(1)如果女生全排在一起，有多少種不同排法?(2)如果女生都不相鄰，有多少種排法?(3)如果女生不站兩端，有多少種排法?(4)其中甲必須排在乙前面（可不相鄰），有多少種排法?(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少種排法?【詳解】（1）（捆綁法）由于女生排在一起，可把她們看成一個(gè)整體，這樣同5個(gè)男生合在一起有6個(gè)元素，排成一排有種排法，而其中每一種排法中，3個(gè)女生間又有種排法，因此共有（種）不同排法．……………………………………………..3分（2）（插空法）先排5個(gè)男生，有 種排法，這5個(gè)男生之間和兩端有6個(gè)位置，從中選取3個(gè)位置排女生，有種排法，因此共有（種）不同排法．……………………………………………..6分（3）解法一（位置分析法）因?yàn)閮啥瞬慌排?，只能?個(gè)男生中選2人排列，有種排法，剩余的位置沒有特殊要求，有種排法，因此共有（種）不同排法．………………………..9分解法二（元素分析法）在中間6個(gè)位置選3個(gè)安排女生，有種排法，其余位置無限制，有種排法，因此共有（種）不同排法．（4）（定序問題幾率法）8名學(xué)生的所有排列共種，其中甲在乙前面與乙在甲前面的各占其中，所以符合要求的排法種數(shù)為（種）．………………………………..12分（5）甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置．解法一（特殊元素法）甲在最右邊時(shí)，其他的可全排，有種；甲不在最右邊時(shí)，可從余下6個(gè)位置中任選一個(gè)，有種，而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個(gè)中的任一個(gè)上，有種，其余人全排列，共有種．……………………………………………..15分由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有（種）．解法二（特殊位置法）先排最左邊，除去甲外，有種，余下7個(gè)位置全排，有種，但應(yīng)剔除乙在最右邊時(shí)的排法種，因此共有（種）．解法三（間接法）8個(gè)人全排，共種，其中，不合條件的有甲在最左邊時(shí)，有種，乙在最右邊時(shí)，有種，其中都包含了甲在最左邊，同時(shí)乙在最右邊的情形，有種．因此共有（種）．1.（15分）已知，二項(xiàng)式.(1)若該二項(xiàng)展開式的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求展開式中的系數(shù)；(2)若展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】（1）因?yàn)檎归_式的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得，……………………………………………..2分則展開式的通項(xiàng)公式為 ，……………………………………………..4分令，解得，代入通項(xiàng)公式有：，所以的系數(shù)為；……………………………………………..7分（2）二項(xiàng)式通項(xiàng)公式為：，所以第一項(xiàng)的系數(shù)為：，第二項(xiàng)的系數(shù)為：，第三項(xiàng)的系數(shù)為：，由于前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，所以，解得，或，因?yàn)橹辽儆星叭?xiàng)，所以（舍），故，……………………………………………..9分二項(xiàng)式通項(xiàng)公式為：，設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，故，……………………………………………..11分即，即，解得，……………………………………………..13分因?yàn)?，所以或，故系?shù)最大的項(xiàng)為或.……………………………………………..15分1.（17分）已知:（,n為常數(shù)）．（1）求|a0|+|a1|+|a2|+...+|an|；（2）我們知道二項(xiàng)式的展開式．若該等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：n(1+x)n?1 =,令x=1，可得Cn1+2Cn2+3Cn3???+nCnn=．利用此方法解答以下問題：①求；②求．【詳解】試題分析：（1）利用賦值法，令即可；（2）①由題目給出的條件可知，需要對(duì)已知的式子進(jìn)行兩邊求導(dǎo)，再利用賦值法令即可；②因?yàn)楸绢}中出現(xiàn)了平方，所以需要兩邊先同時(shí)乘以x,再求導(dǎo)賦值即可．試題解析：（1）|a0|+|a1|+|a3|+...+|an|即為的各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和且絕對(duì)值之和為正數(shù)，令x=-1,則|a0|+|a1|+|a3|+...+|an|=；……………………………………………..5分（2）對(duì)等式兩邊求導(dǎo)得：．令x=1得=2n．……………………………………………..10分（3）將兩邊同乘x得a1x+2a2x2+3a3x3+...+nanxn，兩邊再對(duì)x求導(dǎo)：，令x=1得=……………………………………………..17分1.（17分）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對(duì)任意的，有．【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，……………………………………………..2分又，∴切線斜率……………………………………………..4分∴切線方程為：……………………………………………..5分（2）解：因?yàn)椋????所以，……………………………………………..7分 令，則，∴在上單調(diào)遞增，……………………………………………..9分∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.……………………………………………..11分（3）解：原不等式等價(jià)于，令，，即證，∵，……………………………………………..13分，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以命題得證.……………………………………………..17分