湖南省衡陽縣三校聯(lián)考2023-2024學年高二下學期4月月考數(shù)學 Word版含解析.docx

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高二數(shù)學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版必修第一冊至選擇性必修第三冊第七章7.4.1.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，復數(shù)，則（）A.B.5C.D.32.已知函數(shù)圖象的一個對稱中心為，則的解析式可能為（）A.B.CD.3.已知隨機變量，則（）A.B.C.D.4.甲與10名同學參加了一場一對一乒乓球友誼賽，這10名同學中有6名同學球技一般，有4名同學球技高超.甲打贏球技一般的同學的概率為0.9，打贏球技高超的同學的概率為0.1.甲從這10名同學中隨機選取一名作為對手，則他打贏這場比賽的概率為（）A.0.54B.0.58C.0.60D.0.645.在中，，則（）AB.C.D. 6.將一個母線長為，底面半徑為的圓錐木頭加工打磨成一個球狀零件，則能制作的最大零件的表面積為（）A.B.C.D.7.已知分別是橢圓的左?右焦點，是的右頂點，過的直線與直線交于點，射線與交于點，且，則的離心率為（）A.B.C.D.8已知函數(shù)滿足，則（　?。〢.10000B.10082C.10100D.10302二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.2017年至2022年湖南省年生產總量及其增長速度如圖所示，則（）A.2017年至2022年湖南省年生產總量逐漸增加B.2017年至2022年湖南省年生產總量的極差為14842.3億元C.2017年至2022年湖南省年生產總量增長速度的眾數(shù)為D.2017年至2022年湖南省年生產總量的增長速度的分位數(shù)為10.已知內角的對邊分別為為線段上的一點，且，則（）A.B.C.D.的面積為 11.已知集合滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則中的元素的個數(shù)為1B.若，則中的元素的個數(shù)為15C.若，則中的元素的個數(shù)為45D.若，則中的元素的個數(shù)為78三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的漸近線方程為__________.13.被17除的余數(shù)為______．14.的最小值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且．（1）求；（2）若，數(shù)列的前項和為，證明：．16.如圖，在正方體中，分別為的中點，點在的延長線上，且.（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角余弦值.17.已知是拋物線的焦點，過的直線與交于兩點，且到直線的距離之和等于.（1）求的方程；（2）若的斜率大于，在第一象限，過與垂直的直線和過與軸垂直的直線交于點，且 ，求的方程.18.A盒子中有6個小球，B盒子中有8個小球，甲?乙兩人玩摸球游戲，約定：甲先投擲一枚質地均勻的骰子，若骰子朝上的點數(shù)為偶數(shù)，則從A盒子中取出2個小球放入B盒子，否則從A盒子中取出3個小球放入B盒子，乙再投擲一枚質地均勻的骰子，若骰子朝上的點數(shù)大于4，則從B盒子中取出3個小球放入A盒子，否則從B盒子中取出2個小球放入A盒子，整個游戲過程為一個回合.（1）求第一個回合后兩個盒子中小球個數(shù)相同的概率；（2）兩個回合后，記兩個盒子中小球的個數(shù)分別為，求的分布列與期望.19.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若恒成立，求的取值集合；（3）若存在，且，求的取值范圍. 高二數(shù)學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版必修第一冊至選擇性必修第三冊第七章7.4.1.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，復數(shù)，則（）A.B.5C.D.3【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的乘法運算，結合復數(shù)相等及復數(shù)模求解即得.【詳解】由，得，而，因此，所以.故選：A2.已知函數(shù)圖象一個對稱中心為，則的解析式可能為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】借助二次函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質逐項計算即可得.【詳解】對A：二次函數(shù)不是中心對稱圖形，故A錯誤； 對B：當時，，由不是函數(shù)的對稱中心，故不是的對稱中心，故B錯誤；對C：當時，，由不是函數(shù)的對稱中心，故不是的對稱中心，故C錯誤；對D：當時，，由是函數(shù)的對稱中心，故是的對稱中心，故D正確.故選；D.3.已知隨機變量，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用二項分布的方差公式計算.【詳解】隨機變量，則.故選：A4.甲與10名同學參加了一場一對一乒乓球友誼賽，這10名同學中有6名同學球技一般，有4名同學球技高超.甲打贏球技一般的同學的概率為0.9，打贏球技高超的同學的概率為0.1.甲從這10名同學中隨機選取一名作為對手，則他打贏這場比賽的概率為（）A.0.54B.0.58C.0.60D.0.64【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結合全概率公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，用分別表示甲隨機選取的選手時球技一般的同學，球技高超的同學，用表示甲打贏這場比賽，可得， 所以由全概率公式，可得.故選：B.5.在中，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運算求解即得.【詳解】由，得，整理得.故選：D6.將一個母線長為，底面半徑為的圓錐木頭加工打磨成一個球狀零件，則能制作的最大零件的表面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】原問題可轉化為求該圓錐的內切球表面積，由圓錐的結構特征可得其內切球的半徑與該圓錐過頂點與底面直徑的軸截面的內切圓半徑相等，借助等面積法求出該半徑，結合球的表面積公式即可得.【詳解】原問題可轉化為求該圓錐的內切球表面積，該內切球的半徑與該圓錐過頂點與直徑的軸截面的內切圓半徑相等，畫出該軸截面如圖，由母線長為，底面半徑為可得該圓錐的高，設內切球的半徑為，則有，解得，即內切球表面積為.故選：A. 7.已知分別是橢圓的左?右焦點，是的右頂點，過的直線與直線交于點，射線與交于點，且，則的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】結合題意可得，借助相似三角形的性質可得，即可得，，代入橢圓方程計算即可得離心率.【詳解】不妨設點在軸上方，由，即有，，則，由，即，故，，故有，整理可得，故或（大于1，故舍去）， 故.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于借助點的橫縱坐標，結合題意得到的，計算出點坐標，再代入橢圓中即可得解.8.已知函數(shù)滿足，則（　　）A.10000B.10082C.10100D.10302【答案】C【解析】【分析】賦值得到，利用累加法得到，令得到，賦值得到，從而求出答案.【詳解】中，令得，，故，故， 其中，①，②，③……，，上面99個式子相加得，，令得，中，令得，故.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.2017年至2022年湖南省年生產總量及其增長速度如圖所示，則（）A.2017年至2022年湖南省年生產總量逐漸增加B.2017年至2022年湖南省年生產總量的極差為14842.3億元C.2017年至2022年湖南省年生產總量的增長速度的眾數(shù)為D.2017年至2022年湖南省年生產總量的增長速度的分位數(shù)為【答案】ABC【解析】 【分析】根據(jù)給定的條形圖及折線圖，結合極差、眾數(shù)及分位數(shù)的意義判斷即得.【詳解】對于A，2017年至2022年湖南省年生產總量逐漸增加，A正確；對于B，2017年至2022年湖南省年生產總量的極差為（億元），B正確；對于C，2017年至2022年湖南省年生產總量增長速度的眾數(shù)為，C正確；對于D，2017年至2022年湖南省年生產總量的增長速度從小到大依次為：，而，所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，D錯誤.故選：ABC10.已知內角的對邊分別為為線段上的一點，且，則（）A.B.C.D.的面積為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，結合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面積公式，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由正弦定理得，因為，所以，即，所以A錯誤；對于B中，由，可得，可得，由余弦定理，可得，解得，所以B正確；對于C、D中，由，可得，可得，所以，則的面積為，所以C正確，D錯誤.故選：BC. 11.已知集合滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則中的元素的個數(shù)為1B.若，則中的元素的個數(shù)為15C.若，則中的元素的個數(shù)為45D.若，則中的元素的個數(shù)為78【答案】BCD【解析】【分析】對于A，由集合的定義即可列舉出集合中所有的元素即可判斷；對于B，中的元素均為正奇數(shù)，對分類討論即可驗算；對于C，原問題等價于將11個大小相同、質地均勻的小球分給甲?乙?丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法即可驗算；對于D，原問題等價于將14個大小相同、質地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法驗算即可.【詳解】由題意得，所以中的元素的個數(shù)為，A錯誤.由題意得中的元素均為正奇數(shù)，在中，當時，有共5個元素，當時，有共4個元素，當時，有共3個元素，當時，有共2個元素，當時，有共1個元素，所以中的元素的個數(shù)為，B正確.，可轉化為將11個大小相同、質地均勻的小球分給甲?乙?丙3個人，每人至少分1個， 利用隔板法可得分配的方案數(shù)為，所以中的元素的個數(shù)為45，C正確.，可轉化為將14個大小相同、質地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法可得分配的方案數(shù)為，所以中的元素的個數(shù)為，D正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：判斷CD選項的關鍵是將問題進行適當?shù)霓D換，并利用隔板法，由此即可順利得解.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的漸近線方程為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定的方程，直接求出漸近線方程即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即.故答案為：13.被17除的余數(shù)為______．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質得到，再化簡得到，得到答案.【詳解】由題意得，因為，所以所求的余數(shù)為15．故答案為：1514.的最小值為__________.【答案】【解析】 【分析】可以看作兩點距離的平方，即可轉化為研究直線上的點到曲線的距離的平方的最小值，借助導數(shù)的幾何意義計算即可得.【詳解】可以看作兩點距離的平方，動點在函數(shù)的圖象上，動點在直線上，，當曲線在處的切線與平行時，最小，則，得或（負根舍去），所以切點），到的距離，所以的最小值為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且．（1）求；（2）若，數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式即可求解；（2）根據(jù)（1）結論及指數(shù)的運算，利用分組求和法、等比數(shù)列的前項和公式及裂項相消法即可求解.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，則， 數(shù)列的通項公式為，即.【小問2詳解】由（1）知，，，，,,.16.如圖，在正方體中，分別為的中點，點在的延長線上，且.（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】 【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明推理即得.（2）由（1）的坐標系，利用面面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】在正方體中，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，令，則，于是，顯然，則，而平面；所以平面.【小問2詳解】由（1）知平面的一個法向量為，，設平面的一個法向量，則，取，得，則，所以平面與平面夾角的余弦值是.17.已知是拋物線的焦點，過的直線與交于兩點，且到直線的距離之和等于.（1）求的方程；（2）若的斜率大于，在第一象限，過與垂直的直線和過與軸垂直的直線交于點，且，求的方程.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）由因為到直線的距離之和等于，根據(jù)拋物的定義和焦點弦長，列出方程，求得的值，即可求解；（2）設，聯(lián)立方程組，得到，結合跑線的焦點弦長得到，再設，求得，根據(jù)，求得的值，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，拋物線的焦點為，準線方程為，則到準線的距離之和等于，因為到直線的距離之和等于，可得，解得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】解：由焦點，可得設且，聯(lián)立方程組，整理得，則且，所以，設，由，可得，即，所以，由，可得，代入，可得，解得，所以直線的方程為. 18.A盒子中有6個小球，B盒子中有8個小球，甲?乙兩人玩摸球游戲，約定：甲先投擲一枚質地均勻的骰子，若骰子朝上的點數(shù)為偶數(shù)，則從A盒子中取出2個小球放入B盒子，否則從A盒子中取出3個小球放入B盒子，乙再投擲一枚質地均勻的骰子，若骰子朝上的點數(shù)大于4，則從B盒子中取出3個小球放入A盒子，否則從B盒子中取出2個小球放入A盒子，整個游戲過程為一個回合.（1）求第一個回合后兩個盒子中小球個數(shù)相同的概率；（2）兩個回合后，記兩個盒子中小球的個數(shù)分別為，求的分布列與期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）分別計算出每種情況的概率后借助相互獨立事件的乘法公式計算即可得；（2）分別計算出每個回合的各種情況的概率后，借助相互獨立事件的乘法公式計算兩個回合的不同情況的概率即可得.【小問1詳解】由題意可得從A盒子中取出2個小球放入B盒子的概率為，從A盒子中取出3個小球放入B盒子的概率也為，從B盒子中取出3個小球放入A盒子的概率為，從B盒子中取出2個小球放入A盒子的概率為，設、分別表示從盒子和從盒子中拿出個小球放入另一個盒子的情況，則第一個回合后兩個盒子中小球個數(shù)相同的概率為： ；【小問2詳解】一個回合中，從A盒子中取出個小球后再從B盒子中取出個小球的概率為:，此時A盒子、B盒子中分別有個、個小球，從A盒子中取出個小球后再從B盒子中取出個小球的概率為：，此時A盒子、B盒子中分別有個、個小球，從A盒子中取出個小球后再從B盒子中取出個小球的概率為：，此時A盒子、B盒子中分別有個、個小球，從A盒子中取出個小球后再從B盒子中取出個小球的概率為：，此時A盒子、B盒子中分別有個、個小球，即一個回合中，甲盒子中減少一球的概率為，甲盒子中小球數(shù)量不變的概率為，甲盒子中小球數(shù)量增加一個的概率為，設第一回合中甲盒子中小球減少一球、數(shù)量不變及增加一個的情況分別為,,,第二回合中甲盒子中小球減少一球、數(shù)量不變及增加一個的情況分別為,,,則的可能取值為、、、、，，，，，，即其分布列為： 其期望為.19.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若恒成立，求的取值集合；（3）若存在，且，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，再分類討論導函數(shù)值正負即可得解.（2）由已知可得，再利用（1）的結論求出函數(shù)的最小值，并構造函數(shù)探討函數(shù)最大值即得.（3）根據(jù)條件，將問題轉化為函數(shù)在和存在零點，再分類討論并借助導數(shù)、零點存在性定理探討零點即得.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，當時，，函數(shù)在上單調遞減；當時，由，得，遞減，由，得，遞增，所以當時，函數(shù)在上單調遞減；當時，函數(shù)在上單調遞減，在單調遞增.【小問2詳解】依題意，，由恒成立，得，則，由（1）知，，令，求導得，當時，，函數(shù)遞增，當時，，函數(shù)遞減，因此，由恒成立，得，則， 所以的取值集合為.【小問3詳解】由，得，令，依題意，函數(shù)在和上存在零點，求導得，在，當時，，當時，，函數(shù)在上單調遞增，，函數(shù)在上無零點，不符合題意，當時，令，求導得，當時，，函數(shù)，即在上單調遞增，，，則存在，使得，當時，，函數(shù)遞減，當時，，函數(shù)遞增，因此，，則函數(shù)上存在唯一零點；當時，令，求導得，令，求導得，函數(shù)在上單調遞增，，則，使得，當時，，函數(shù)遞減，當時，，函數(shù)遞增，則，于是，使得，當時，，函數(shù)，即遞減，當時，，函數(shù)，即遞增，則，因此，使得，當時，，函數(shù)遞增， 當時，，函數(shù)遞減，則，，從而函數(shù)在上存在唯一零點，則當，函數(shù)在和上各存在一個零點，所以的取值范圍是.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：①轉化，即通過構造函數(shù)，把問題轉化成所構造函數(shù)的零點問題；②列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結合函數(shù)的圖象列出關系式；③得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．