四川省成都市樹德中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)（文） Word版含解析.docx

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樹德中學(xué)高2021級4月階段性測試數(shù)學(xué)試題（文科）時間：120分鐘總分：150分第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題（每小題5分，共60分）1.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】將復(fù)數(shù)代入目標(biāo)式，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法和共軛復(fù)數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：B．2.若與是兩條不同的直線，則“”是“”的（）A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用兩直線平行的結(jié)論即可進(jìn)行判斷.【詳解】由題意，若，則，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或時，，則“”是“”的必要不充分條件，故選：C．3.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是（） A.在區(qū)間上，是增函數(shù)B.當(dāng)時，取到極小值C.在區(qū)間上，是減函數(shù)D.在區(qū)間上，是增函數(shù)【答案】D【解析】【分析】對于ACD,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)和原函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系進(jìn)行判斷即可;對于B，根據(jù)極值點(diǎn)處左右兩邊的單調(diào)性進(jìn)行判斷.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)圖象知，在時，，遞減，A錯；時，取得極大值（函數(shù)是先增后減），B錯；時，，遞增，C錯；時，，遞增，D正確．故選：D.4.已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的6次數(shù)學(xué)測試成績統(tǒng)計(jì)的折線圖如下，下列說法正確的是（）A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，則B.甲成績比乙成績更穩(wěn)定C.甲成績的極差大于乙成績的極差D.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中折線圖的數(shù)據(jù)信息以及變化趨勢，結(jié)合平均數(shù)、方差和極差的定義逐項(xiàng)分析判斷【詳解】對A、B：由折線圖的變化趨勢可知：甲的成績較為集中，乙成績波動很大，故甲成績比乙成績更穩(wěn)定，故，故A錯誤，B正確；對C：極差為樣本的最大值與最小值之差，甲的極差大約為30，乙的極差遠(yuǎn)大于30 ，故甲的極差小于乙的極差，C錯誤；對D：由圖可知：甲的成績除第二次略低于乙的成績，其余均高于乙的成績，故，D錯誤；故選：B.5.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲于1674年得到了第一個關(guān)于π的級數(shù)展開式，該公式于明朝初年傳入我國.我國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家明安圖為提高我國的數(shù)學(xué)研究水平，從乾隆初年（1736年）開始，歷時近30年，證明了包括這個公式在內(nèi)的三個公式，同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式，著有《割圓密率捷法》一書，為我國用級數(shù)計(jì)算開創(chuàng)先河，如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于的級數(shù)展開式計(jì)算的近似值（其中P表示的近似值）”.若輸入，輸出的結(jié)果P可以表示為A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知程序框圖依次代入計(jì)算,即可得出輸出結(jié)果.【詳解】第1次循環(huán):;第2次循環(huán):； 第3次循環(huán):;…第8次循環(huán):,此時滿足判定條件,輸出結(jié)果.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出,其中解答中認(rèn)真審題,逐次計(jì)算,得到程序框圖的計(jì)算功能是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題6.橢圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，過中點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率為2，則（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】設(shè),所以，利用點(diǎn)差法，做差化簡，利用，解出．【詳解】設(shè)，∴，由AB的中點(diǎn)為M可得①，②，由A．B在橢圓上，可得，兩式相減可得③， 把①②代入③可得整理可得．故選：A.7.已知是區(qū)間內(nèi)任取的一個數(shù)，那么函數(shù)在上是增函數(shù)的概率是（　?。〢.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先得到恒成立，則解出的范圍，再根據(jù)其在內(nèi)取數(shù)，利用幾何概型公式得到答案.【詳解】，在上是增函數(shù)恒成立解得或又是區(qū)間內(nèi)任取的一個數(shù)由幾何概型概率公式得函數(shù)在上是增函數(shù)的概率故選：C．8.一艘船的燃料費(fèi)（單位：元/時）與船速（單位：）的關(guān)系是.若該船航行時其他費(fèi)用為540元/時，則在的航程中，要使得航行的總費(fèi)用最少，航速應(yīng)為A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根據(jù)題意列出總費(fèi)用與航速的關(guān)系,再求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值求解即可.【詳解】由題,的航程需要小時,故總的費(fèi)用.即.故.令有.故當(dāng)時,單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞增.使得航行的總費(fèi)用最少,航速應(yīng)為故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最值問題,需要根據(jù)題意列出關(guān)于航速的函數(shù)解析式,再求導(dǎo)分析單調(diào)性與最值即可.屬于中檔題.9.直線被圓所截得弦長的最小值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先判斷直線與圓的位置關(guān)系，再由圓心與直線過的定點(diǎn)與直線垂直求解.【詳解】解：易知直線l過定點(diǎn)，圓心，因?yàn)?，所以直線l與圓C相交，當(dāng)時，l被圓C所截得的弦最短，此時弦長．故選：A．10.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意都有，，則不等式的解集為A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到在R上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，.又任意都有.在R上恒成立.在R上單調(diào)遞增.當(dāng)時，有，即的解集為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，根據(jù)題目條件構(gòu)造一個新函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.11.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為.若在雙曲線的漸近線上存在點(diǎn)，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出雙曲線的右頂點(diǎn)和漸近線方程，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)，根據(jù)向量的數(shù)量積為；再由二次方程有實(shí)根的條件：判別式大于等于，化簡整理，結(jié)合離心率公式即可得到所求范圍．【詳解】雙曲線的右頂點(diǎn)，漸近線方程為，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，則，，由可得：，整理可得：，，， ，則：，由可得：.故選：B.12.已知函數(shù)若函數(shù)恰有5個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先研究時，的單調(diào)性和極值，畫出分段函數(shù)的圖象，換元后數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布情況，列出不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則時，.當(dāng)時，.作出大致圖象，函數(shù)恰有5個不同零點(diǎn)，即方程恰有5個根.令，則需方程. （l）在區(qū)間和上各有一個實(shí)數(shù)根，令函數(shù)，則解得.（2）方程（*）在和各有一根時，則即無解.（3）方程（*）的一個根為6時，可得，驗(yàn)證得另一根為，不滿足.（4）方程（*）的一個根為1時，可得，可知不滿足.綜上，.故選：A【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)結(jié)合問題，要利用數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，這道題目中要先研究出分段函數(shù)的圖象，再令，換元后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題，接下來就迎刃而解了.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題（每小題5分，共20分）13.已知線性相關(guān)的變量與的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示： 若其回歸直線方程是，則_____________.【答案】6.5【解析】【分析】根據(jù)回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心，代入即可求解.【詳解】由題意可得，，則，解得故答案為：6.5【點(diǎn)睛】此題考查回歸直線方程的理解應(yīng)用，利用回歸直線方程求解參數(shù)的取值，需要掌握回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心這一重要性質(zhì).14.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，設(shè)，則t的最大值為__________.【答案】5【解析】【分析】畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，將t=2x+y轉(zhuǎn)化為y=﹣2x+t，結(jié)合函數(shù)圖象求出t的最大值即可．【詳解】畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，由，解得：A（2,1），由t=2x+y得：y=﹣2x+t， 顯然直線y=﹣2x+t過A（2,1）時，t最大，故t的最大值是：t=4+1=5.故答案為：5．15.已知，對，且，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對條件做出的解釋構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】對，且，恒有，即，所以函數(shù)是增函數(shù)，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，故恒成立，即，設(shè)，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，即；故答案為：.16.已知A，B分別為拋物線與圓上的動點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，P，Q為平面內(nèi)兩點(diǎn)，且當(dāng)取得最小值時，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合；當(dāng)取得最大值時，點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合，則__________.【答案】【解析】【分析】如圖，利用拋物線和圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)時取得最小值；當(dāng)且僅當(dāng)A為射線與拋物線的交點(diǎn)，且為射線與圓的交點(diǎn)（為線段上的點(diǎn)）， 取得最大值.直線、的方程分別聯(lián)立拋物線方程，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式計(jì)算即可求解.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，如下圖所示：過點(diǎn)A作拋物線的垂線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得，則，當(dāng)時，取最小值，此時取最小值；直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的距離，當(dāng)且僅當(dāng)為射線與圓的交點(diǎn)，且為線段上的點(diǎn).所以，當(dāng)且僅當(dāng)A為射線與拋物線的交點(diǎn)，且為射線與圓的交點(diǎn)（為線段上的點(diǎn)），取得最大值.直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，所以， 故答案為：.三、解答題（17題10分，18～22題各12分，共70分）17.已知命題：復(fù)數(shù)，．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．命題：關(guān)于的函數(shù)在上是增函數(shù)．若是真命題，是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】【分析】由題可求出命題為真時的取值范圍，然后根據(jù)復(fù)合命題的真假即得.【詳解】若命題為真，則，解得；命題為真：可得，所以；由是真命題，可得命題為假命題，又是真命題，所以命題為真命題，所以或，且，故或，即的取值范圍為.18.已知函數(shù)，且．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值．【答案】（1）；（2）最大值為2，最小值為.【解析】【分析】（1）由題可得，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在的值，可求出切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，確定單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得最值.【小問1詳解】因?yàn)?，故，解得，因?yàn)?，所以?則所求切線的斜率為，且，故所求切線方程為，即；【小問2詳解】因?yàn)?，，所以，令，得（舍去），由，可得，函?shù)單調(diào)遞減，由，可得，函數(shù)單調(diào)遞增，所以的極小值為，又，，所以的最大值為2，最小值為.19.為慶祝黨的二十大的勝利召開，培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興的時代新人，某高校在全校開展“不負(fù)韶華，做好社會主義接班人”的宣傳活動．為進(jìn)一步了解學(xué)生對黨的“二十大”精神的學(xué)習(xí)情況，學(xué)校開展了“二十大”相關(guān)知識的競賽活動，現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，將他們的競賽成績（滿分為100分）分為5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)這100名學(xué)生的競賽成績的中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：競賽成績不低于70分為“優(yōu)秀”，競賽成績低于70分為“非優(yōu)秀”．請將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？（精確到0.001）優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男30女50 合計(jì)100參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．0.100.050.0250.0100.0050.0012.70638415.0246.635787910.828【答案】（1）中位數(shù)為72（2）表格見解析，有99%的把握認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”．【解析】【分析】（1）運(yùn)用頻率分布直方圖中位數(shù)計(jì)算公式可求得結(jié)果.（2）計(jì)算出優(yōu)秀人數(shù)完成列聯(lián)表，再運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷即可.【小問1詳解】因?yàn)椋愿傎惓煽兊闹形粩?shù)在內(nèi)．設(shè)競賽成績的中位數(shù)為m，則，解得，所以估計(jì)這100名學(xué)生的競賽成績的中位數(shù)為72．【小問2詳解】由（1）知，在抽取的100名學(xué)生中，競賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的有：人，由此可得完整的2×2列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男203050女401050合計(jì)6040100零假設(shè)：競賽成績是否優(yōu)秀與性別無關(guān). 因?yàn)?，所以?9%的把握認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”．20.某高科技公司對其產(chǎn)品研發(fā)年投資額x（單位：百萬元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下統(tǒng)計(jì)表1和散點(diǎn)圖.通過初步分析，求得年銷售量y關(guān)于年投資額x的線性回歸方程為.表1x12345y0.511535.5表2x1234500.41.11.7（1）該公司科研團(tuán)隊(duì)通過進(jìn)一步分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)劃用作為年銷售量y關(guān)于年投資額x的非線性回歸方程，請根據(jù)參考數(shù)據(jù)及表2的數(shù)據(jù)，求出此方程；（2）若求得線性回歸模型的相關(guān)系數(shù)，請根據(jù)參考數(shù)據(jù)，求出（1）中非線性回歸模型的相關(guān)系數(shù)，并比較兩種回歸方程的擬合效果哪個更好？（精確到0.01）參考數(shù)據(jù)：，；，，，，；參考公式：，， .【答案】（1）（2）0.99，非線性回歸方程擬合效果更好【解析】【分析】（1）根據(jù)已知公式計(jì)算，，根據(jù)，即可求得答案；（2）由（1）的結(jié)論，求得，與相比較，可得結(jié)論.【小問1詳解】由，則，記，即，，，，，所以，即非線性回歸方程為.【小問2詳解】由（1）可得：，x12345y0.511.535.50.540.961.743.155.67，顯然，故非線性回歸方程擬合效果更好.21.已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過作斜率之積為1的兩條直線與，設(shè)交E于A，B兩點(diǎn)，交E于C，D兩點(diǎn)，，的中點(diǎn)分別為M，N.試問：直線 是否恒過定點(diǎn)？若是，請求出該定點(diǎn)；若不是，請說明理由.【答案】（1）（2）過定點(diǎn)，【解析】【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)列出方程組求解即可；（2）直線，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)，進(jìn)而由點(diǎn)斜式方程得出恒過定點(diǎn).【小問1詳解】由題意可得，解得，則E的方程.【小問2詳解】設(shè)直線，，，聯(lián)立可得，，則，，所以，，所以，設(shè)，同理可得. 所以，所以直線，即，所以直線恒過定點(diǎn)，其坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在解決問題（2）時，關(guān)鍵在于利用直線斜率的關(guān)系表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而由點(diǎn)斜式方程得出恒過定點(diǎn).22.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在兩個不同的零點(diǎn)，且.求證：.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分類討論當(dāng)、時函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；（2）由（1），根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可得，由零點(diǎn)的定義得，令，由換元法得.結(jié)合分析法證明可得，利用二階導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性即可證明.【小問1詳解】因?yàn)椋?，（?。┊?dāng)時，恒成立，在單調(diào)遞增；（ⅱ）當(dāng)時，令得，，故時，，在上單調(diào)遞增； 時，，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】因?yàn)榇嬖趦蓚€不同的零點(diǎn)且，由（1）知，且，即，解得，且，又，所以，由，得，即，所以.下面證明：因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個零點(diǎn)，則，即，令，得，要證，只需證，等式兩邊取對數(shù)，得，即證，即證， 即證，設(shè)，，且，.當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，即.所以不等式得證.【點(diǎn)睛】破解含雙參不等式證明題的3個關(guān)鍵點(diǎn)（1）轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式.（2）巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值.（3）回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.