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1、KdV方程的近似行波解數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生：王芳指導(dǎo)教師：高正暉摘要：本文利用傅里葉級(jí)數(shù)法,吳消元法獲得了KdV方程的多組近似行波解.關(guān)鍵詞：KdV方程;傅里葉級(jí)數(shù)法;吳消元法;近似行波解1引言隨著應(yīng)用科學(xué)的發(fā)展,使得描述實(shí)際現(xiàn)象的非線性偏微分方程越來越突現(xiàn)其重要性.最早用于描述淺水波現(xiàn)象的KdV方程.在經(jīng)過長時(shí)間沉寂后,隨著孤波理論的發(fā)展,方程本身和解的意義被人們重新認(rèn)識(shí),吸引了科學(xué)家的研究興趣.人們發(fā)現(xiàn)各種不同形式的KdV方程可以描述很多領(lǐng)域中的不同現(xiàn)象.如:弱非線性,弱色散的平面波系統(tǒng)運(yùn)動(dòng),等離子體中的磁流
2、體波.而方程的近似解能使物理現(xiàn)象得到進(jìn)一步的解釋.因此,對數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、工程學(xué)家及應(yīng)用科學(xué)工作者來說,尋找對應(yīng)實(shí)用背景方程的近似解一直是大家關(guān)注的問題.由于非線性方程問題的復(fù)雜性和特殊性,非線性方程沒有統(tǒng)一的求解辦法,因而出現(xiàn)求解非線性方程的各種方法,如直接積分法,混合指數(shù)法,齊次平衡法,雙曲函數(shù)展開法及Baclund變換法等.所有這些方法都有一定的局限性.本文采用傅里葉級(jí)數(shù)法和吳文俊消元法,獲得了非線性方程KdV的多組近似行波解.2KdV方程的求解方程可表示為：.（1）現(xiàn)在用傅里葉級(jí)數(shù)法來求解上述方程，為了求
3、解（1）式.令：（2）將（2）式代入方程（1）可得常微分方程：.（3）對（3）式積分一次，取積分常數(shù)，得：.（4）由傅里葉級(jí)數(shù)法,設(shè)方程（4）有如下形式的行波解.（5）2.1當(dāng)時(shí)：.（6）其中為待定系數(shù).將（6）式代入（4）式即：（7）令(7)式中的常數(shù)項(xiàng)以及各次項(xiàng)的系數(shù)為零，得到如下方程組：解得：①②其中為任意常數(shù).于是方程（4）有如下形式的解：①②2.2當(dāng)時(shí)：（8）其中為待定系數(shù).將（8）式代入（4）式即：（9）令（9）中的常數(shù)項(xiàng)及各次項(xiàng)的系數(shù)為零，得到如下方程組：（10）利用吳消元法解上述關(guān)于的方程組得：①②
4、③④⑤⑥⑦⑧其中為任意常數(shù).于是方程（4）有如下形式的解：①②③④⑤⑥⑦⑧3結(jié)束語本文以KdV方程為例,介紹了用傅里葉級(jí)數(shù)法和吳消元法求解近似行波解的方法,從而揭示了求解非線性發(fā)展方程精確行波解理論與技巧.參考文獻(xiàn)：[1]趙長海.KdV方程的顯示行解[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010,23（3）:142-146.[2]高正暉，羅李平，楊柳.求非線性發(fā)展方程精確行波解的幾種方法[J].衡陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009,30（6）：13-17.[3]高正暉.(2+1)維CD方程的精確行波解[J].科學(xué)技術(shù)與工程
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7、r,KdVequationgroupsoftravelingwavesolutionsareobtainedbyusingFourierseriesmethodandWueliminationmethod.Keywords:KdVequation;Fourierseriesmethod;Wueliminationmethod;Approximatetravelingwavesolutions
