初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（67）參數(shù)法證平幾題

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1、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料(67)參數(shù)法證平幾甲內(nèi)容提要1.聯(lián)系數(shù)量間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù).2.有一類平面幾何的證明，可以根據(jù)圖形性質(zhì)引入?yún)?shù)，布列方程，通過計(jì)算來完成，我們稱它為參數(shù)法.其關(guān)鍵是正確選定參數(shù)和準(zhǔn)確的進(jìn)行計(jì)算.乙例題例1如圖已知：AB是⊙O的直徑，C是半圓上的一點(diǎn)，CD⊥AB于D，⊙N與⊙O內(nèi)切且與AB、CD分別切于E，F(xiàn).求證：AC=AE.分析：選取兩圓半徑為參數(shù)，通過半徑聯(lián)系A(chǔ)C，AE的關(guān)系.證明：設(shè)⊙O，⊙N半徑分別為R和r，連接ON，NE.根據(jù)勾股定理：OE==，AE=OA＋OE＝R+

2、；OD=OE－r=－r，　　AD=OA＋OD＝R+－r根據(jù)射影定理AC2=AD×AB=(R+－r)×2R　　　=2R2+2R－2Rr=R2+2R+(R2－2Rr)=(R+)2∴AC=R+.　∴AC=AE例2.已知：△ABC的內(nèi)切圓I和邊AB，BC，CA分別切于D，E，F(xiàn)，AC×BC＝2AD×DB.求證：∠C＝Rt∠.證明：設(shè)AD＝x,　則DB＝c－x.代入AC×BC＝2AD×DB.得　　ab=2x(c－x).2x2－2cx+ab=0.∴x==,　　　又根據(jù)切線長(zhǎng)定理得x＝，∴＝.　　c2－2ab=a2－2ab+b

3、2.∴　c2=a2+b2.∴　∠C＝Rt∠.例3.已知：等邊三角形ABC中，P是中位線DE上一點(diǎn)，BP，CP的延長(zhǎng)線分別交AC于F，交AB于G.求證：.證明：設(shè)△ABC邊長(zhǎng)為a,　PD＝m,　PE=n,　BG=x,　CF=y.∵DE是△ABC的中位線，　∴DE∥BC，DE＝BC.∴　?。?）＋（2）：.∴，　　　，　　　∴.∴.例4.已知：如圖四邊形ABCD中，過點(diǎn)B的直線交AC于M，交CD于N，且S△ABC∶S△ABD∶S△BCD＝1∶3∶4.求證：M，N平分AC和CD.證明：設(shè)S△ABC＝1，　則S△ABD＝

4、3，　S△BCD＝4，　S△ACD＝3＋4－1＝6.設(shè)＝k(0

5、＝AC＋BD.求證：AB＝AC.證明：設(shè)AB＝c，AC＝b,BD=m,DC=n.根據(jù)勾股定理得　　　　　∴c－b=b－c，b=c.即AB＝AC.例6.如圖已知：一條直線截△ABC三邊AB，BC，AC或延長(zhǎng)線于D，E，F(xiàn).求證：　　　　　?。卫苟ɡ恚┳C明：設(shè)∠BDE＝α，∠DEB＝β，∠F＝γ.根據(jù)正弦定理：　在△BDE中，；在△CEF中，；在△ADF中，.　　　　∵Sin(180=Sinα.∴.××.即.丙練習(xí)671.　已知：如圖三條弦AB，CD，EF兩兩相交于G，H，I.IA＝GD＝HE，IC＝GF＝HB

6、.求證：△GHI是等邊三角形.2.　已知：在矩形ABCD中，AP⊥BD于P，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F.求證：PA3＝PE×PF×BD3.　已知：△ABC的兩條高AD，BE相交于H，求證：過A，B，H三點(diǎn)的圓與過A，C，H三點(diǎn)的圓是等圓.4.　已知：AB是⊙O的直徑，P是半圓上的一點(diǎn)，PC⊥AB于C，以PC為半徑的⊙P交⊙O于D，E.求證：DE平分PC.5.　已知：△ABC的兩條高AD和BE相交于P，且AD＝BC，F(xiàn)是BC的中點(diǎn).求證：PD＋PF＝BC6.　已知：平行四邊形ABCD中，∠A＜∠B，AC2×BD

7、2＝AB4＋AD4.求證：∠A＝∠B.7.　求證：四邊形內(nèi)切圓的圓心，它到一組對(duì)角的頂點(diǎn)的距離的平方的比，等于該組角的　　兩邊的乘積的比.8.　已知：AB是⊙O的直徑，E是半圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)E作⊙O的切線和過A，B的⊙O　的兩條切線分別相交于D，C，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于F，EF的延長(zhǎng)線交AB于H.求證：EF=FH.9.　已知：如圖⊙M和⊙N相交于A，B，公共弦AB的延長(zhǎng)線交兩條外公切線于P，Q.求證：PA=QB；　PQ2=AB2+CD2.10.已知：正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P，滿足等式PA∶PB∶PC

8、＝1∶2∶3.求證：∠APB＝135.　11.　一個(gè)直角三角形斜邊為c,內(nèi)切圓半徑是r,求內(nèi)切圓面積與直角三角形面積的比.　　　?。ㄌ崾荆阂?yún)?shù)a和b表示兩直角邊）　　　　　　?。?979年美國中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）參考答案練習(xí)671.設(shè)IA＝a,　IC＝b,　IH＝x,　HQ＝y(tǒng)用相交弦定理列方程組.2.引入?yún)?shù)α，設(shè)∠DBC＝α，PA2＝PB×PD＝…3.設(shè)∠ABH＝∠