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1、第一章反演理論第一節(jié)基本概念一．反演和正演1．反演反演是一個很廣的概念，根據(jù)地震波場、地球自由振蕩、交變電磁場、重力場以及熱學等地球物理觀測數(shù)據(jù)去推測地球內部的結構形態(tài)及物質成分，來定量計算各種有關的物理參數(shù)，這些都可以歸結為反演問題。在地震勘探中，反演的一個重要應用就是由地震記錄得到波阻抗。有反演，還有正演。要正確理解反演問題，還要知道正演的概念。2．正演正演和反演相反，它是對一個假設的地質模型，給定某些參數(shù)（如速度、層數(shù)、厚度）用理論關系式（數(shù)學模型）推導出某種可測量的量（如地震波）。在地震勘探中，正演
2、的一個重要應用就是制作合成地震記錄。3．例子考慮地球內部的溫度分布，假定地球內部的溫度隨深度線性增加，其關系式可表示成：T(z)=a+bz正演：給定a和b，求不同深度z的對應溫度T(z)反演：已經在不同點z測得T(z)，求a和b。二．反演問題描述和公式表達的幾個重要問題1．應用哪種參數(shù)化方式——離散的還是連續(xù)的？2．地球物理數(shù)據(jù)的性質是什么？觀測中的誤差是什么？3．問題能不能作為數(shù)學問題提出，如果能夠，它是不是適定的？4．對問題有無物理約束？5．能獲得什么類型的解，達到什么精度？要求得到近似解、解的范圍、還
3、是精確解？6．問題是線性的還是非線性的？7．問題是欠定的、超定的、還是適定的？8．什么是問題的最好解法？9．解的置信界限是什么？能否用其它方法來評價？第二節(jié)反演的數(shù)學基礎一．解超定線性反問題151．簡單線性回歸可利用最小平方法確定參數(shù)a、b使誤差的平方和最小。（1-2-1）擬合公式為：（1-2-2）該方法的公式原來只適用于解超定問題，但同樣適用于欠定問題，當我們有多個參數(shù)時，稱為多元回歸，在地球物理領域廣泛采用這種方法。此過程用矩陣形式表示，則稱為廣義最小平方法矩陣方演。2．非約束最小平方法反演——廣義矩陣
4、方法由前面討論可知，參數(shù)估計的最小平方方法用矩陣公式表示，所得到的算法等價于一個或多個模型參數(shù)的一個或多個數(shù)據(jù)集反演，步驟為：問題定義→矩陣公式→最小平方解線性問題采用廣義矩陣形式d=Gm（1-2-3）對于精確的數(shù)據(jù)模型，參數(shù)m為m=G-1d（1-2-4）但是由于試驗誤差，實際數(shù)據(jù)將不能精確擬合獲得，故采用最小平方法求解。解的矩陣表示式為（1-2-5）上式具體計算時可用奇異值分解方法G=U∧VT最后，得=（GTG）-1GTd=V∧-1UTd（1-2-6）一．約束線性最小平方反演15為了得到最合適的解，通?？?/p>
5、在方程d=Gm中加先驗信息，進行約束反演。約束方程為Dm=h（1-2-7）D一般為只有對角線有值的矩陣，我們希望朝著偏置使得最小。=（d-Gmd-Gm）+β2（Dm-hDm-h）（1-2-8）如果D是單位矩陣，可以得到約束解=（GTG+β2I）（GTd+β2h）（1-2-9）式中，β稱為Lagrange乘子。三．解非線性反演問題1．思路在實際工作中許多問題都是非線性的，而非線性問題求解通常比較復雜，這樣就產生這樣一個問題，給定一些非線性問題，而它們又不服從簡單的線性變換，那么能否用通用的方法使我們可以用一些
6、線性反演的方法來估算未知模型參數(shù)，并最終求得問題的解決呢？答案是肯定的。2．初始模型和線性化對于非線性問題di=fi（m1，m2，…mp）=fi（m），i=1，2，…n（1-2-10）設m0為初始模型，則其響應為（1-2-11）現(xiàn)假定f（m）在m0附近是線性的，從而關于m0的模型響應的微小攝動可以用Taylor級數(shù)展開為15或簡記為實際情況要考慮噪聲d=f（m）+e（1-2-12）令y=d-f（m0），，則有e=d-=y-Ax（1-2-13）e=y-Ax這樣，非線性問題轉化成線性問題，我們可以用線性的方法求
7、出問題的解。四、無約束非線性反演1．問題的公式化目標函數(shù)：q=eTe=(d-f(m))T(d-f(m))（1-2-14）利用前述結果，上式改寫為q=eTe=(y-Ax)T(y-Ax)（1-2-15）2．問題的解法：Gauss-Newton法對參數(shù)攝動的最小平方解（1-2-16）將攝動（x=δm）應用于起始模型m0，迭代公式如下：(1-2-17)其中mk為Jacobian矩陣A的賦值。3．Gauss-Newton法的局限性當AT15A病態(tài)（本征值很小或近于0）時，計算的解會大到令人難以置信。因此在實踐當中，必
8、須對mk做x的微小校正。4．最速下降（梯度）法初始模型僅在目標函數(shù)q的負梯度方向予以校正，即（1-2-18）其中k是合適的常數(shù)，進一步推導可得（1-2-19）以上方程中以[ATA]-1取代常數(shù)因子2k，將變?yōu)榉匠?-2-16所定義的Gauss-Newton法，k值決定校正步長。但以上方程并不含有任何逆矩陣，因此較Gauss-Newton法具備更好的起始收斂特征。最速下降法當采用最小平方解法時，其收斂速率將下降，因
