數(shù)值計算解線性方程組的迭代法

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1、第4章?解線性方程組的迭代法　　用迭代法求解線性方程組與第4章非線性方程求根的方法相似，對方程組進行等價變換，構(gòu)造同解方程組(對可構(gòu)造各種等價方程組，如分解，可逆，則由得到)，以此構(gòu)造迭代關(guān)系式　　　　　　　　　　????　???????????。?.1）　　任取初始向量，代入迭代式中，經(jīng)計算得到迭代序列。　　若迭代序列收斂，設(shè)的極限為，對迭代式兩邊取極限　　即是方程組的解，此時稱迭代法收斂，否則稱迭代法發(fā)散。我們將看到，不同于非線性方程的迭代方法，解線性方程組的迭代收斂與否完全決定于迭代矩陣的性質(zhì)，與迭代初始值的選取無關(guān)。迭代法的優(yōu)點是占有存儲空間少，程序?qū)崿F(xiàn)簡單

2、，尤其適用于大型稀疏矩陣；不盡人意之處是要面對判斷迭代是否收斂和收斂速度的問題。　　可以證明迭代矩陣的與譜半徑是迭代收斂的充分必要條件，其中是矩陣的特征根。事實上，若為方程組的解，則有　　再由迭代式可得到　　　　由線性代數(shù)定理，的充分必要條件?！　∫虼藢Φ?4.1)的收斂性有以下兩個定理成立?！　《ɡ?.1迭代法收斂的充要條件是。　　定理4.2迭代法收斂的充要條件是迭代矩陣的譜半徑　　因此，稱譜半徑小于1的矩陣為收斂矩陣。計算矩陣的譜半徑，需要求解矩陣的特征值才能得到，通常這是較為繁重的工作。但是可以通過計算矩陣的范數(shù)等方法簡化判斷收斂的工作。前面已經(jīng)提到過，若

3、

4、

5、A

6、

7、p矩陣的范數(shù)，則總有。因此，若，則必為收斂矩陣。計算矩陣的1范數(shù)和范數(shù)的方法比較簡單，其中　　于是，只要迭代矩陣滿足或，就可以判斷迭代序列是收斂的?！　∫⒁獾氖?，當(dāng)或時，可以有，因此不能判斷迭代序列發(fā)散。　　在計算中當(dāng)相鄰兩次的向量誤差的某種范數(shù)小于給定精度時，則停止迭代計算，視為方程組的近似解（有關(guān)范數(shù)的詳細定義請看3.3節(jié)。）4.1　雅可比（Jacobi）迭代法　　4.1.1雅可比迭代格式　　雅可比迭代計算　　元線性方程組　　　　　?????????????????（4.2）　　寫成矩陣形式為。若將式（4.2）中每個方程的留在方程左邊，其余各項移到方

8、程右邊；方程兩邊除以則得到下列同解方程組：　　記，構(gòu)造迭代形式　　　　或　　　　???　??（4.3）　　迭代計算式（4.3）稱為簡單迭代或雅可比迭代。任取初始向量，由式（4.3）可得到迭代向量序列　　雅可比迭代矩陣　　設(shè)　　由，得到等價方程：　　記　　不難看出，正是迭代式（4.3）的迭代矩陣，是常數(shù)項向量。于是式（4.3）可寫成矩陣形式：　　　　　　　　　　　?????????????????（4.4）　　其中：　　　　雅可比迭代算法　　下面描述解線性方程組的雅可比迭代算法，為了簡單起見，在算法中假定矩陣滿足雅可比迭代要求，即，并設(shè)由系數(shù)矩陣構(gòu)造迭代矩陣是收斂的。

9、　　1．定義和輸入系數(shù)矩陣與常數(shù)項向量的元素?！　?．FORi：=1，2，…，n　　　　{???//假定，形成常數(shù)項向量　　???????????FORj:=1,2,…,n　　??????????????　　????????　　}?????????????//形成迭代矩陣元素　　3．　　?????????????????//賦初始值，x1和x2分別表示和　　4．WHILE???　　????x1:=x2　　????x2:=B*x1+g???//?FOR?u:=1,2,…,n　　??????????????????//????s:=g[u];　　????????????

10、??????//??FORv:=1,2,…,n??s:=s+b[u][v]*x1[v];　　??????????????????//????x2[u]:=s；　　?ENDWHILE　　5．輸出方程組的解　　例4.1用雅可比方法解下列方程組：　　解：方程的迭代格式：?　　或?　　雅可比迭代收斂。　　取初始值，計算結(jié)果由表4.1所示。表4.1計算結(jié)果0　　1　　1　　1?1　　-1.5　　1.6　　0.9　　0.252　　-1.25　　2.08　　1.09　　0.483　　-0.915　　2.068　　1.017　　0.3354　　-0.9575　　1.9864　　0.

11、9847　　0.08165　　-1.01445　　1.98844　　0.99711　　0.056956　　-1.00722　　2.00231　　1.0026　　0.013877　　-0.997543　　2.00197　　1.00049　　0.009687　　方程組的準確解是　　4.1.2雅可比迭代收斂條件　　對于方程組，構(gòu)造雅可比迭代格式其中，。當(dāng)?shù)仃嚨淖V半徑時，迭代收斂，這是收斂的充分必要條件。迭代矩陣的某范數(shù)時，迭代收斂。要注意的是范數(shù)小于1只是判斷迭代矩陣收斂的充分條件，當(dāng)?shù)仃嚨囊环N范數(shù)

12、

13、B

14、

15、>1，并不能確定迭代矩陣是收斂還是發(fā)散。例如，，則，